第章薄板的小挠度弯曲问题.docx
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第章薄板的小挠度弯曲问题
第十二章薄板的小挠度弯曲问题
知识点
薄板的基本概念
薄板的位移与应变分量
薄板广义力
薄板小挠度弯曲问题基本方程
薄板自由边界条件的简化
薄板的莱维解
矩形简支薄板的挠度
基尔霍夫假设
薄板应力
广义位移与薄板的平衡
薄板的典型边界条件
薄板自由边界角点边界条件
挠度函数的分解
一、内容介绍
薄板是工程结构中的一种常用构件，它是由两个平行面和垂直于它们的柱面所围成的物体，几何特征是其高度远小于底面尺寸，简称板.薄板的弯曲变形属于弹性力学空间问题，由于数学求解的复杂性，因此，需要首先建立应力和变形分布的基本假设。
根据薄板的外载荷和几何特征，外力为横向载荷，厚度远小于薄板的平面宽度，可以忽略一些次要因素，引入一些基本变形假设，抽象建立薄板弯曲的力学模型。
薄板的小挠度弯曲理论是由基尔霍夫基本假设作为基础的.
根据基尔霍夫假设,采用位移解法，就是以挠度函数作为基本未知量求解。
因此，首先将薄板的应力、应变和内力用挠度函数表达.然后根据薄板单元体的平衡，建立挠度函数表达到平衡方程。
对于薄板问题，边界条件的处理与弹性力学平面等问题有所不同,典型形式有几何边界、混合边界和面力边界条件。
二、重点
1、基尔霍夫假设；2、薄板的应力、广义力和广义位移；3、薄板小挠度弯曲问题的基本方程；4、薄板的典型边界条件及其简化。
§12.1薄板的基本概念和基本假设
学习要点：
本节讨论薄板的基本概念和基本假设.
薄板主要几何特征是板的中面和厚度。
首先，根据几何尺寸,定义薄板为0。
5≤δ/b≥1/80，并且挠度小于厚度的五分之一，属于小挠度问题.对于小挠度薄板,在横向载荷作用下，将主要产生弯曲变形。
根据薄板的外载荷和几何特征，外力为横向载荷，厚度远小于薄板的平面宽度,可以忽略一些次要因素，引入一些基本变形假设，抽象建立薄板弯曲的力学模型.
薄板的小挠度弯曲理论是由三个基本假设作为基础的，因为这些基本假设是由基尔霍夫首先提出的，因此又称为基尔霍夫假设。
根据上述假设建立的薄板小挠度弯曲理论是弹性力学的经典理论,长期应用于工程问题的分析.实践证明是完全正确的.
学习思路：
1、薄板基本概念;2、基尔霍夫假设
1、薄板基本概念
薄板是工程结构中的一种常用构件，它是由两个平行面和垂直于它们的柱面所围成的物体,几何特征是其高度远小于底面尺寸，简称板
薄板的弯曲变形属于弹性力学空间问题,由于数学求解的复杂性，因此，需要首先建立应力和变形分布的基本假设。
薄板的上下两个平行面称为板面，垂直于平行面的柱面称为板边，如图所示。
两个平行面之间的距离称为板厚,用δ表示.平分板厚的平面称为板的中面。
设薄板宽度为a、b，假如板的最小特征尺寸为b，如果δ/b≥1/5,称为厚板；如果δ/b≤1/80，称为膜板；如果1/80≤δ/b≤1/5，称为薄板。
厚板属于弹性力学空间问题,而膜板只能承受膜平面内部的张力，因此，板的弯曲问题主要是薄板。
如果薄板的外载荷作用于板的中面，而且不发生失稳问题时,属于平面应力问题讨论.
如果外载荷为垂直于板的中面作用的横向载荷,则板主要变形为弯曲变形。
中面在薄板弯曲时变形成为曲面，中面沿垂直方向，即横向位移称为挠度。
对于薄板,仍然有相当的弯曲刚度,如果挠度小于厚度的五分之一，属于小挠度问题;如果超过这个界限,属于大变形问题。
本章只讨论薄板的小挠度弯曲问题。
根据薄板的外载荷和几何特征,外力为横向载荷，厚度远小于薄板的平面宽度，可以忽略一些次要因素，引入一些基本变形假设，抽象建立薄板弯曲的力学模型。
薄板的小挠度弯曲理论是由三个基本假设作为基础的，因为这些基本假设是由基尔霍夫首先提出的，因此又称为基尔霍夫假设.
2、基尔霍夫假设
薄板的小挠度弯曲理论是由三个基本假设作为基础的，因为这些基本假设是由基尔霍夫首先提出的，因此又称为基尔霍夫假设。
设中面为xy平面，则
1、变形前垂直于中面的直线变形后仍然保持直线,而且长度不变。
这相当于梁的弯曲变形平面假设，如图所示
根据这一假设，εz＝γzx＝γzy＝0。
2、垂直于中面方向的应力分量σz，τzx,τzy远小于其他应力分量，其引起的变形可以不计，但是对于维持平衡是必要的,这相当于梁的弯曲无挤压应力假设.
3、薄板弯曲时,中面各点只有垂直中面的位移w，没有平行中面的位移,即
uz=0=0，vz=0=0，w=w（x,y）
根据这一假设，板的中面将没有变形发生。
板的中面位移函数w（x，y）称为挠度函数。
根据上述假设建立的薄板小挠度弯曲理论是弹性力学的经典理论，长期应用于工程问题的分析，实践证明是完全正确的.
根据基尔霍夫假设，薄板弯曲的基本未知量可以取挠度函数w（x,y）.下面的工作是通过平衡微分方程、几何方程和本构方程，用挠度函数w（x,y）表达薄板内部任意一点的位移、应力、应变和内力等,然后利用薄板单元体的平衡建立挠度函数所要满足的微分方程。
因此，薄板的小挠度弯曲问题求解属于位移解法。
§12.2薄板小挠度弯曲问题的基本方程
学习要点:
根据基尔霍夫假设，薄板弯曲的基本未知量可以取挠度函数w（x,y）。
因此,薄板的小挠度弯曲问题求解采用位移解法。
本节的工作是通过平衡微分方程、几何方程和本构方程,用挠度函数w（x,y）表达薄板内部任意一点的位移、应力、应变和内力等，然后利用薄板单元体的平衡建立挠度函数所要满足的微分方程。
分析中应该注意，根据基本假设，与厚度方向相关的应变分量为零，其对应的应力分量产生的变形是忽略不计的。
但是应该注意这些应力分量对于平衡的影响必须考虑。
通过分析可以得到薄板问题的广义力和对应的广义位移.根据单元体的平衡，可以得到关于广义力和广义位移的关系式。
然后将其描述为挠度函数表达的薄板基本方程。
学习思路：
1、位移与应变分量；2、应力分量；3、广义力；4、广义位移与平衡关系；5、薄板弯曲小挠度问题的基本方程。
1、薄板位移和应变分量
根据薄板弯曲的第一个假设，则几何方程为
根据几何方程的第3式，则，从而w=w（x，y）。
薄板厚度方向的位移与z
坐标无关，可以应用板的中面位移表达板的挠度。
根据几何方程的5，6式，有
对z积分，可得
注意到第3个假设，uz=0=0，vz=0=0，因此f（x，y）=g（x，y）=0，所以
上述分析将位移分量通过挠度函数w（x，y）表示。
根据几何方程可以得到挠度函数表达的应变分量。
有
上式表明，薄板的弯曲应变是沿厚度线性分布的，在板的中面为零，上下板面处达到极值。
2、薄板的应力分量
根据基尔霍夫假设，本构方程简化为
代入应变表达式
有
薄板小挠度弯曲问题的正应力
和切应力
沿厚度也是线性分布的。
基本假设中的εz＝γzx＝γzy＝0，与厚度方向相关的应变分量为零，其对应的应力分量产生的变形是不计的。
应该注意的问题是，这些应力分量相对于其它应力分量产生的变形可以不计,但是对于平衡的影响必须考虑。
这里必须放弃物理方程中关于的εz＝γzx＝γzy＝0的结论，而要求σz＝—ν（σx+σy）≠0；τzx≠τzy≠0。
由于不计τxz，τyz，所以γxz＝γyz＝0,根据几何方程，当然必须放弃物理方程中关于的γxz和γyz的部分，即要γxz＝γyz＝0,而τxz，τyz又不等于0。
3、广义力
对于矩形薄板,采用图示坐标系.如果从薄板中选取一个微小单元体δdxdy,单元体在Oxy平面的投影为矩形abcd，单元体上部有横向载荷qdxdy,底面为自由表面。
其中外法线与x轴平行的的侧面有应力分量σx，τxz，τxy,根据公式
可以知道，应力分量σx，τxz，τxy均以中面为对称面而反对称分布。
这些应力分量将分别组成合成弯矩Mx，扭矩My和横向剪力FSx,如图所示
如果用Mx,My和FSx分别单位长度的弯矩，扭矩和横向剪力。
则
同理，讨论外法线与x轴平行的的侧面,有
下面设法将上述内力用挠度函数w（x,y）表示.将应力表达式
代入上述内力分量表达式，有
其中
同理
上述内力Mx，My，Myy和FSx和FSy称为广义力。
分别作用于单元体的侧面边界如图所示.
4、广义位移与平衡关系
上述广义力对应的广义应变为
κx是薄板中面在与Oxz平面平行的平面内的曲率，曲率取负号是由于挠曲面
凸面向下为正曲率，而对应的挠度函数的二阶导数为负值。
kxy称为中面对
于x，y轴的扭率。
利用广义应变，可以将广义力表示为
考虑单元体的平衡
则
如果讨论,即绕x轴的力矩之和等于零。
考虑单元体内力对于角点的力矩平衡,有
整理并且略去高阶小量，有
5、薄板弯曲小挠度问题的基本方程
同理，根据
有
根据，可以得到
简化并且略去高阶小量，有
将公式代入上式，并且注意到Mxy=Myx，有
将挠度函数w（x，y）代入上式，则
或者写作
其中号为拉普拉斯算符。
公式就是薄板小挠度
弯曲问题的基本方程。
从而，问题归结为在满足边界条件的基础上求解基本方程，确定挠度函数；然后根据公式计算广义力弯矩和扭矩;再根据公式
确定薄板应力分量。
§12。
3薄板边界条件
学习要点：
薄板弯曲问题的解必须满足基本方程和给定的边界条件。
由于薄板基本方程为一个四阶偏微分方程，因此对于矩形薄板，每个边界必须给出两个边界条件。
薄板弯曲问题的典型边界条件形式可以分为几何边界条件、面力边界条件和混合边界条件。
分别对应薄板的固定边界、自由边界和简支边界约束。
由于薄板弯曲问题应用位移解法,因此，本节对于不同的边界约束，推导边界条件的挠度函数表达形式。
应该注意的自由边界条件，由于自由边界属于面力边界，因此转换为位移边界条件时并不是完全独立的，必须作进一步的简化,特别是两个自由边界角点的约束变换。
学习思路:
1、典型边界条件形式；2、自由边界条件。
1、典型边界条件形式
薄板弯曲问题的解必须满足基本方程和给定的边界条件.由于方程
为一个四阶偏微分方程,因此对于矩形薄板，每个边界必须给出两
个边界条件.
薄板弯曲问题的典型边界条件形式为
1、几何边界条件：
就是在边界上给定边界挠度w和边界切线方向转角，t为边界切线方向.
2、面力边界条件：
在边界给定横向剪力和弯矩。
3、混合边界条件。
在边界同时给出广义力和广义位移。
以下讨论常见的边界支承形式和对应的边界条件：
一、固定边界
对于固定边界，如图所示
显然有边界挠度和转角均为零的几何条件。
因此,在x=0边界，有
二、简支边界
薄板在简支边界，不能有挠度，但是可以有微小的转动。
因此边界条件为挠度为零和弯矩为零,属于混合边界条件。
在x=0边界，有
由于，同时在边界x=0，有。
所以边界条
件可以写作
三、自由边界
对于自由边界
在x=0边界，有
上式给出了3个面力边界条件，进一步分析可以证明，这3个面力边界条件并不是独立的。
其中扭矩可以用等效剪力来表示。
作用在x=a边界上长度为dy的微单元体上的扭矩可以用两个大小相等，方向相反，相距的垂直剪力取代.显然这种代换是静力等效的
根据圣维南原理,代换的影响仅仅是局部的.因此，代换后，两个微小单元之间
增加一个集度为的剪力.因此边界x=a自由边界，总的分布剪力为
因此,边界条件可以改写作
应该指出，如果相邻的两个边界都是自由边界,则扭矩用上述剪力等效替代时，在两个边界的角点将会出现没有抵消的集中剪力FSR，如果边界角点受到支承，这个集中剪力就是支座对于薄板的角点的集中反力，如图所示
对于悬空的角点，由于边界角点B处于自由状态，因此有
根据公式，有
如果在角点有支座，而且挠度被阻止发生，有
此时，支座反力可以根据公式计算。
§12。
4矩形薄板的经典解法
学习要点:
本节以简支边界矩形薄板为例，说明薄板弯曲问题的求解方法。
问题求解的方法比较多，本节介绍分离变量法.这种方法采用无穷级数形式求解，在一般条件下,级数的收敛很快。
求解的方法是根据薄板变形，首先将挠度函数写作坐标x和y的函数乘积形式。
然后将挠度函数分解为基本方程的特解和齐次方程解两部份,分别应用边界条件确定。
学习思路：
1、边界条件与挠度函数形式;2、挠度函数的分解；3、基本方程的齐次解和特解；4、薄板的挠度和最大挠度。
1、边界条件与挠度函数形式
下面以简支边界矩形薄板为例，说明薄板弯曲问题的求解方法.设矩形薄板边长分别为a和b，受均匀分布横向载荷q（x，y）作用,如图所示
薄板的边界条件为
因此，问题的求解归结为在满足上述边界条件求解基本方程
薄板弯曲问题求解的方法比较多,以下介绍应用最广泛的分离变量法。
这种方法采用无穷级数形式求解，在一般条件下，级数的收敛很快。
对于直角坐标，最为方便的是莱维（Lévy.M.）解.设
其中Ym（y）是坐标y的函数.
由于x=0和x=a为简支边界,因此上述挠度函数是满足简支边界条件的。
问题是如何使得挠度函数的每一项都满足的边界条件.
2、挠度函数的分解
由于问题的基本方程是非齐次的偏微分方程，为简化分析，设
w=w1+w2
其中w1和w2分别为基本方程的齐次解和特解。
因此
由于w1为基本方程的齐次解，与载荷无关,而w1+w2必须满足全部边界条件，因此将w1取为级数形式.并且考虑其对称性，应该取奇数，即
由于上式对于所有的x均成立,所以
方程的通解形式为
由于薄板弯曲关于x坐标轴是对称的,所以Ym（y）只能是y的偶函数。
所以
Cm=Dm=0
因此
由于对称性条件的应用,在的两个边界上，原为4个边界条件，现在只需满足2个。
3、基本方程的齐次解和特解
对于特解w2,只要任意选择一个满足方程的解就可以。
如果横向载荷q为常数,可以取
根据上述分析，薄板的挠度函数为
因此,现在地问题是求出两组待定系数Am，Bm。
为了计算待定系数，将上式等号后第一项展开成三角级数。
有
因此,挠度函数可以表示为
将上述挠度函数代入边界条件
可以得到
其中。
求解上述方程,可以得到
4、薄板的挠度和最大挠度
所以，薄板的挠度为
在薄板的中心，x=a/2,y=0处，薄板有最大挠度
因为
所以
如果b≥a,上述级数收敛很快，只要取第一项便可取得比较好的结果。
当然,对于薄板的弯曲问题，也可以采用基于变分原理的瑞利－里茨和伽辽金方法求解，以及使用各种数值分析方法,例如有限差分法、有限元素法等。
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