>0⇔[f（x1）－f（x2）]·（x1－x2）>0；
（2）f（x）是单调递减函数⇔任意x1f（x2）⇔
<0⇔[f（x1）－f（x2）]·（x1－x2）<0.
知识点三 函数的奇偶性
对于定义域内的任意x（定义域关于原点对称）→
性质：
①函数y＝f（x）是偶函数⇔f（x）的图象关于y轴对称．
②函数y＝f（x）是奇函数⇔f（x）的图象关于原点对称．
③偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性相反．
④奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上的单调性相同，奇函数f（x）在x＝0处有定义时，必有y＝f（x）的图象过原点，即f（0）＝0.
类型一 函数概念及性质
命题角度1 函数三要素
例1 某省两相近重要城市之间人员交流频繁，为了缓解交通压力，特修一条专用铁路，用一列火车作为交通车，已知该车每次拖挂4节车厢，一天能来回16次，如果该车每次拖挂7节车厢，则每天能来回10次．
（1）若每天来回的次数是车头每次拖挂车厢节数的一次函数，求此一次函数的解析式和定义域；
（2）在
（1）的条件下，每节车厢能载乘客110人．问这列火车每天来回多少次才能使运营人数最多？
并求出每天最多运营人数．
反思与感悟 建立函数模型是借助函数研究问题的第一步，在此过程中要善于抓住等量关系，并把等量关系中涉及的量逐步用变量表示出来；在实际问题中，定义域不但受解析式的影响，还受实际含义约束．
跟踪训练1 如图，ABCD是边长为1的正方形，M是CD的中点，点P沿着路径A→B→C→M在正方形边上运动所经过的路程为x，△APM的面积为y.
（1）求y＝f（x）的解析式及定义域；
（2）求△APM面积的最大值及此时点P位置．
命题角度2 函数性质的综合应用
例2 已知函数f（x）对任意x，y∈R，总有f（x）＋f（y）＝f（x＋y），且当x>0时，f（x）<0，f
（1）＝－
.
（1）求证：
f（x）在R上是单调减函数；
（2）求f（x）在[－3,3]上的最大值和最小值；
（3）解不等式f（x）－f（－x）>2.
引申探究
证明f（x）为奇函数．若已证明f（x）为奇函数，如何解（3）?
反思与感悟
（1）解决有关函数性质的综合应用问题的通法就是根据函数的奇偶性解答或作出图象辅助解答，先证明函数的单调性，再由单调性求最值．
（2）研究抽象函数的性质时要紧扣其定义，同时注意特殊值的应用．
跟踪训练2 函数f（x）的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2）．
（1）求f
（1）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明你的结论；
（3）如果f（4）＝1，f（x－1）<2，且f（x）在（0，＋∞）上是增函数，求x的取值范围．
类型二 函数图象的画法及应用
例3 对于函数f（x）＝x2－2|x|.
（1）判断其奇偶性，并指出图象的对称性；
（2）画此函数的图象，并指出单调区间和最小值．
反思与感悟 画函数图象的主要方法有描点法和先研究函数性质再根据性质画图，一旦有了函数图象，可以使问题变得直观，但仍要结合代数运算才能获得精确结果．
跟踪训练3 已知f（x）为定义在R上的奇函数，且f（x）＝f（2－x），当x∈[0,1]时，f（x）＝x.求x∈[－3,5]时，f（x）＝
的所有解的和．
1．f（x）＝x2＋|x|是________函数（填奇、偶），其单调增区间为________．
2．已知集合P＝{x|y＝
}，集合Q＝{y|y＝
}，则P与Q的关系是________．
3．设函数f（x）＝
则f（－4）＝________，若f（x0）＝8，则x0＝________.
4．已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）－g（x）＝x3＋x2＋1，则f
（1）＋g
（1）＝________.
5．若f（x）是偶函数，其定义域为（－∞，＋∞），且在[0，＋∞）上是单调减函数，则f（－
）与f（a2＋2a＋
）的大小关系是________．
1．函数是高中数学最重要的基础之一，函数的概念及其表示基础性强，渗透面广，常与其他知识结合考查，试题多数为填空题，重点考查函数的定义域与值域的求解以及分段函数的相关问题．
2．单调性、奇偶性是函数性质的核心内容，常集于一体综合命题．解题捷径是结合题意选择其中易判断的性质为突破口，而后根据解题需要灵活选择研究和变形方向．
3．
（1）函数图象的识别，应抓住函数解析式的特征，从其定义域、值域、单调性、奇偶性等方面灵活判断，多可利用函数图象上点的坐标进行排除．
（2）应用函数图象的关键是从图象中提取所需的信息，提取图象中信息的方法主要有：
①定性分析法，通过对问题进行定性的分析，从而得出图象上升（或下降）的趋势，利用这一特征来分析解决问题．②定量计算法，通过定量的计算来分析解决问题；③函数模型法，由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
答案精析
题型探究
例1 解
（1）设每天来回y次，每次拖挂x节车厢，由题意设y＝kx＋b（k≠0），当x＝4时，y＝16，当x＝7时，y＝10，得到
解得
∴y＝－2x＋24.
依题意有
解得定义域为{x∈N|0≤x≤12}．
（2）设每天来回y次，每次拖挂x节车厢，由题意知，每天拖挂车厢最多时，运营人数最多，设每天拖挂S节车厢，则S＝xy＝x（－2x＋24）＝－2x2＋24x＝－2（x－6）2＋72，x∈[0,12]且x∈N.所以当x＝6时，Smax＝72，此时y＝12，则每日最多运营人数为110×72＝7920.
故这列火车每天来回12次，才能使运营人数最多，每天最多运营人数为7920.
跟踪训练1 解
（1）根据题意得
f（x）＝
f（x）的定义域为（0,1）∪[1,2）∪[2，
）＝（0，
）．
（2）易知f（x）在（0,1）上为单调增函数，在[1，
）上为单调减函数，
∴当x＝1时，f（x）max＝
－
＝
.
例2
（1）证明 由f（x）＋f（y）＝f（x＋y）可得f（x＋y）－f（x）＝f（y）．
在R上任取x1>x2，
令x＋y＝x1，x＝x2，
则f（x1）－f（x2）＝f（x1－x2）．
∵x1>x2，∴x1－x2>0.
又x>0时，f（x）<0，
∴f（x1－x2）<0，
即f（x1）－f（x2）<0.
由定义可知f（x）在R上是单调减函数．
（2）解 ∵f（x）在R上是单调减函数；
∴f（x）在[－3,3]上也是单调减函数；
∴f（－3）最大，f（3）最小．
又f
（1）＝－
，
∴f（3）＝f
（2）＋f
（1）
＝f
（1）＋f
（1）＋f
（1）
＝3×（－
）＝－2.
∴f（－3）＝f（4－3）－f（4）
＝f
（1）－f（3）－f
（1）
＝－f（3）＝2.
即f（x）在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.
（3）解 由
（2）知f（－3）＝2，
f（x）－f（－x）>2即f（x）>f（－x）＋2＝f（－x）＋f（－3）＝f（－3－x），
由
（1）知f（x）在R上为单调减函数，
∴f（x）>f（－3－x）⇔x<－3－x，
解得解集为{x|x<－
}．
引申探究
证明 令y＝－x，
则f（x）＋f（y）＝f（x）＋f（－x）
＝f（x－x）＝f（0）．
再令x＝y＝0，
有f（0）＋f（0）＝f（0＋0），
即2f（0）＝f（0），∴f（0）＝0.
∴f（x）＋f（－x）＝0，
即f（－x）＝－f（x），
∴f（x）为奇函数，
∴f（x）－f（－x）＞2⇔2f（x）＞2⇔f（x）＞1.
由
（2）知f（－3）＝f[－
＋（－
）]
＝f（－
）＋f（－
）＝2f（－
）＝2，
∴f（－
）＝1.
∴f（x）＞1⇔f（x）＞f（－
），
∵f（x）在R上为单调减函数，
∴解集为{x|x＜－
}．
跟踪训练2 解
（1）∵对于任意x1，x2∈D，有f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2），
∴令x1＝x2＝1，得f
（1）＝2f
（1），
∴f
（1）＝0.
（2）f（x）为偶函数．
证明：
令x1＝x2＝－1，有f
（1）＝f（－1）＋f（－1），
∴f（－1）＝
f
（1）＝0.
令x1＝－1，x2＝x有f（－x）＝f（－1）＋f（x），
∴f（－x）＝f（x），∴f（x）为偶函数．
（3）依题设有f（4×4）＝f（4）＋f（4）＝2，
由
（2）知，f（x）是偶函数，
∴f（x－1）<2⇔f（|x－1|）又f（x）在（0，＋∞）上是增函数．
∴0<|x－1|<16，解之得－15∴x的取值范围是{x|－15例3 解
（1）函数的定义域为R，关于原点对称，
f（－x）＝（－x）2－2|－x|＝x2－2|x|.
则f（－x）＝f（x），∴f（x）是偶函数．
图象关于y轴对称．
（2）f（x）＝x2－2|x|
＝
画出图象如图所示，
根据图象知，函数f（x）的最小值是－1，无最大值．
单调增区间是[－1,0]，[1，＋∞）；单调减区间是（－∞，－1]，[0,1]．
跟踪训练3 解 当x∈[－1,0]时，－x∈[0,1]，∴f（－x）＝－x.
又∵f（x）为奇函数，∴x∈[－1,0]时，f（x）＝－f（－x）＝x.
即x∈[－1,1]时，f（x）＝x.
又由f（x）＝f（2－x）可得f（x）的图象关于直线x＝1对称．
由此可得f（x）在[－3,5]上的图象如下：
在同一坐标系内画出y＝
的图象，
由图可知在[－3,5]上共有四个交点，
∴f（x）＝
在[－3,5]上共有四个解，从左到右记为x1，x2，x3，x4，
则x1与x4，x2与x3关于直线x＝1对称，
∴
＝1，
＝1.
∴x1＋x2＋x3＋x
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