广东省广州市萝岗区学年高一第一学期期末联考数学试题.docx
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广东省广州市萝岗区学年高一第一学期期末联考数学试题
2012学年第一学期期末教学质量监测
高一数学
本试卷分选择题和非选择题两部分,共4页,满分150分.考试时间120分钟.
注意事项:
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
并用2B铅笔将相应的信息点涂黑。
不按要求填涂的，答卷无效。
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需变动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，所有答题卡一并交回。
参考公式：
1.锥体的体积公式
锥体的侧面积公式=，其中是底面周长，是母线的长.
2.球的表面积公式,球的体积公式，其中为球的半径.
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一、选择题：
本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若，则是（）
Ａ.Ｂ.Ｃ.Ｄ.
2．若直线过点，，则此直线的倾斜角是（ ）
Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.
3．过点，且斜率为的直线的方程是（）
A.B.C.D.
4．如果指数函数在上是减函数，则的取值范围是（）.
Ａ.Ｂ.Ｃ.Ｄ.
5．函数在区间上的最大值是（）
A．B．C．D．
6．圆与圆的位置关系是（）
A.相交B.外切C.相离D.内切
7．已知，，则（）
Ａ.Ｂ.
Ｃ.Ｄ.
8．几何体的三视图如图，则几何体的表面积为（）
A．B．
C．D．
9．若是定义域为的偶函数，且在上为增函数，则，，的大小顺序为（）
A.B.
C.D.
10．已知是直线，是平面，给出下列命题：
①若，，则；②若，，则；
③若，，则；④若与异面，且，则与相交；
其中正确的命题的个数是（）
A.1B.2C.3D.4
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分．
11．函数的定义域为.
12．一个球的体积是，则这个球的表面积是.
13．若点为圆上一动点，则点到直线的距离的最大值为.
14．若函数在上的最大值是其最小值的2倍，则=.
三、解答题：
本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分12分）
已知函数，且．
（1）求m的值；
（2）判定的奇偶性,并说明理由；
（3）判断在上的单调性并给予证明.
16．（本小题满分12分）
已知两直线，，是和的交点，
（1）求的值；
（2）求过点且垂直于直线的直线的方程；
（3）求过点且平行于直线的直线的方程．
17．（本小题满分14分）
已知正方体，是四边形对角线的交点．
（1）求证：
平面；
（2）求证：
；
（3）设正方体的棱长为1，
求多面体的体积.
18．（本小题满分14分）
某种商品在30天内每克的销售价格（元）与时间的函数图像是如图所示的两条线段（不包含两点）；该商品在30天内日销售量（克）与时间（天）之间的函数关系如下表所示．
第天
5
15
20
30
销售量克
35
25
20
10
（1）根据提供的图象，写出该商品每克的销售价格（元）与时间的函数关系式；
（2）根据表中数据写出一个反映日销售量随时间变化的函数关系式；
（3）在
（2）的基础上求该商品的日销售金额的最大值，并求出对应的值.
（注：
日销售金额=每克的销售价格×日销售量）
19．（本小题满分14分）
已知直线与圆相交于两点．
（1）求;
（2）若为圆上的动点，求的取值范围.
20.（本小题满分14分）
已知二次函数．
（1）若，且,证明有两个零点；
（2）若，，，证明方程在区间内有一个实根．
2012学年第一学期期末教学质量监测高一数学参考答案
说明：
1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题：
本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
A
D
C
C
C
A
B
A
A
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，满分20分．
11．12．13．（或）14．
三、解答题：
本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
15．（本小题满分12分）（本小题主要考查函数的表示方法及基本性质，考查化归转化的数学思想方法．）
解：
（1）因为，，所以.……………………2分
（2）函数的定义域为.……………………3分
因为，………………………5分
所以是奇函数.…………………………6分
（3）设，…………………………7分
则………………………8分
………………………9分
因为，所以，，………………11分
所以，因此在上为单调增函数.………………12分
16．（本小题满分12分）（本小题主要考查直线平行、垂直的性质以及直线的交点等知识，考查数形结合的数学思想方法，以及运算求解能力．）
解：
（1）因为是和的交点，
所以，……………………………2分
解得……………………………4分
（2）由
（1）得．
因为，，所以， ……………………………6分
由点斜式得，，即．……………8分
（3）因为，所以，……………………………10分
由点斜式得，，即．……………12分
17．（本小题满分14分）（本小题主要考查直线与平面平行、垂直，平面与平面垂直的判定，空间几何体体积的计算，考查化归转化的数学思想方法，以及空间想象能力和推理论证计算能力）
解：
（1）证明：
连结，设，连结，
因为是正方体，所以是平行四边形．……………2分
所以，且．
又分别是的中点，
所以，且．
所以是平行四边形．
所以．……………………4分
又平面，平面，所以平面．…………5分
（2）方法一：
因为,，所以．…………6分
因为四边形是正方形，所以,……………………7分
而，所以．………………………………8分
因为,所以．………………………………9分
因为，所以．……………………………10分
方法二：
连接．
因为是正方形，所以．……………………………6分
因为平面,由三垂线定理得，．…………………………7分
同理可证，．…………………………………8分
因为平面,平面,,
所以平面．…………………………………9分
因为平面,所以平面平面．……………………………10分
（3）因为四边形是边长为1的正方形，所以,
因为,，所以．………………11分
又，所以．…………………………12分
因为,,
方法一：
．…………………………13分
所以．…………………………14分
方法二：
…………………13分
…………………………14分
18.（本小题满分14分）
（本小题主要考查具体的函数模型在实际问题中的应用，考查数形结合、化归转化的数学思想方法，以及应用意识和运算求解能力）
解：
（1）由图可知,，,，
设所在的直线方程为，
把代入得．…………………………1分
所以:
．………………………………………2分
由两点式得所在的直线方程为．……………………3分
整理得，，…………………………………4分
所以．………………………………5分
（2）设，把两点的坐标代入得，
解得………………………………6分
所以．……………………7分
把点（20,20），（30,10）代入也适合，
即对应的四点都在同一条直线上，……………………8分
所以．……………………9分
（本题若把四点中的任意两点代入中求出，再验证也可以）
（3）设日销售金额为，依题意得，
当时，，
配方整理得．……………………10分
所以当时，在区间上的最大值为900，……………………11分
当时，，
配方整理得，……………………12分
所以当时，在区间上的最大值为．……………………13分
综上可知日销售金额最大值为1125元，此时为25．……………………14分
19．（本小题满分14分）（本小题主要考查直线和圆相交，相切的有关性质，考查数形结合、化归转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力）
解：
（1）方法一：
由得．……………2分
解得，…………………4分
从而．,……………………5分
所以．……………………6分
方法二：
由圆方程得圆心,过点作交于点,连结，……2分
则,…………………………………4分
所以……………………………6分
（2）令，则．……………………7分
由得．……………………9分
依题意有，即．………11分
方法一：
设，令，则．……………………12分
由二次函数的图像可知，当时，，………………13分
方法二：
解不等式，得………………………13分
故的取值范围是．………………………14分
20.（本小题满分14分）（本小题主要考查函数的零点等基础知识，考查化归转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力）
（1）证明：
因为，所以，……………………1分
又因为，所以，即，……………………4分
所以，
所以方程有两个不等实根，所以有两个零点．………………6分
（2）证明：
设，……………………7分
则，……………………8分
，……………………9分
，……………11分
因为，所以，……………12分
又函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线，……………13分
所以在内有一个实根．……………………14分
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