独家首发成都市树德中学级数学第六课时解三角形应用举例二.docx

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独家首发成都市树德中学级数学第六课时解三角形应用举例二

第六课时解三角形应用举例

（二）

教学目标：

进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中有着广泛的应用，熟练掌握实际问题向解斜三角形类型的转化，通过解斜三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力；通过解斜三角形在实际中的应用，要求学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题，以及数学知识在生产，生活实际中所发挥的重要作用.教学重点：

1.实际问题向数学问题的转化；

2.解斜三角形的方法.

教学难点：

实际问题向数学问题转化思路的确定.

教学过程：

Ⅰ.复习回顾

上一节，我们一起学习了解三角形问题在实际中的应用，了解了一些把实际问题转化为解三角形问题的方法，掌握了一定的解三角形的方法与技巧.这一节，我们给出三个例题，要求大家尝试用上一节所学的方法加以解决.

Ⅱ.例题指导

［例1］如图所示，为了测量河对岸A、B两点间的距离，在这一岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝α，∠BCD＝β，∠BDC＝γ，∠ADC＝δ，试求AB的长.

分析：

如图所示，对于AB求解，可以在△ABC中或者是△ABD中求解，若在△ABC中，由∠ACB＝α－β，故需求出AC、BC，再利用余弦定理求解.而AC可在△ACD内利用正弦定理求解，BC可在△BCD内由正弦定理求解.

解：

在△ACD中，已知CD＝a，∠ACD＝α，∠ADC＝δ，由正弦定理得

AC＝＝

在△BCD中，由正弦定理得

BC＝＝

在△ABC中，已经求得AC和BC，又因为∠ACB＝α－β，所以用余弦定理.就可以求得AB＝

评述：

（1）要求学生熟练掌握正、余弦定理的应用；

（2）注意体会例1求解过程在实际当中的应用.

［例2］据气象台预报，距S岛300km的A处有一台风中心形成，并以每小时30km的速度向北偏西30°的方向移动，在距台风中心270km以内的地区将受到台风的影响.问：

S岛是否受其影响?

若受到影响，从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响?

持续时间多久?

说明理由.

分析：

设B为台风中心，则B为AB边上动点，SB也随之变化.S岛是否受台风影响可转化为SB≤270这一不等式是否有解的判断，则需表示SB，可设台风中心经过t小时到达B点，则在△ABS中，由余弦定理可求SB.

解：

设台风中心经过t小时到达B点，

由题意，∠SAB＝90°－30°＝60°

在△SAB中，SA＝300，AB＝30t，∠SAB＝60°，

由余弦定理得：

SB2＝SA2＋AB2－2SA·AB·cosSAB

＝3002＋（30t）2－2·300·30tcos60°

若S岛受到台风影响，则应满足条件

|SB|≤270，即SB2≤2702

化简整理得，t2－10t＋19≤0

解之得，5－≤t≤5＋

所以从现在起，经过5－小时S岛开始受到影响，（5＋）小时后影响结束.

持续时间：

（5＋）－（5－）＝2小时.

答：

S岛受到台风影响，从现在起，经过（5－）小时，台风开始影响S岛，且持续时间为2小时.

评述：

此题为探索性命题，可以假设命题成立去寻求解存在条件，也可假设命题不成立去寻求解存在条件.本题求解过程采用了第一种思路.SB≤270是否有解最终转化为关于t的一元二次不等式是否有解，与一元二次不等式解法相联系.

说明：

本节两个例题要求学生在教师指导下自己完成，以逐步提高解三角形应用题的能力.

练习：

1.海中有一小岛B，周围3．8海里有暗礁，军舰由西向东航行到A，望见岛在北75°东，航行8海里到C，望见岛B在北60°东，若此舰不改变航向继续前进，有无触礁危险?

答案：

不会触礁.

2.直线AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200km，汽车以80km／h速度由A向B行驶，同时摩托车以50公里的时速由B向C行驶，问运动开始几小时后，两车的距离最小.

答案：

约1.3小时.

Ⅲ.课时小结

通过本节学习，要求大家进一步掌握利用正、余弦定理解斜三角形的方法，明确解斜三角形知识在实际中的广泛应用，熟练掌握由实际问题向解斜三角形类型问题的转化，逐步提高数学知识的应用能力.

Ⅳ.课后作业

课本P21习题4，5，6.

解三角形应用举例

［例1］某渔船在航行中不幸遇险，发出求救信号，我海军舰艇在A处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°、距离A为10nmile的C处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以9nmile／h的速度向某小岛B靠拢，我海军舰艇立即以21nmile／h的速度前去营救，试问舰艇应按照怎样的航向前进?

并求出靠近渔船所用的时间.

［例2］如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处（－1）海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船，奉命以10海里／时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里／时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜.问：

缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?

并求出所需时间.

［例3］用同样高度的两个测角仪AB和CD同时望见气球E在它们的正西方向的上空，分别测得气球的仰角是α和β,已知B、D间的距离为a，测角仪的高度是b，求气球的高度.

［例4］如图所示，已知半圆的直径AB＝2，点C在AB的延长线上，BC＝1，点P为半圆上的一个动点，以DC为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值.

［例5］如图所示，为了测量河对岸A、B两点间的距离，在这一岸定一基线CD，现已测出CD＝a和∠ACD＝α，∠BCD＝β，∠BDC＝γ，∠ADC＝δ，试求AB的长.

［例6］据气象台预报，距S岛300km的A处有一台风中心形成，并以每小时30km的速度向北偏西30°的方向移动，在距台风中心270km以内的地区将受到台风的影响.问：

S岛是否受其影响?

若受到影响，从现在起经过多少小时S岛开始受到台风的影响?

持续时间多久?

说明理由.

练习：

1.海中有一小岛B，周围3．8海里有暗礁，军舰由西向东航行到A，望见岛在北75°东，航行8海里到C，望见岛B在北60°东，若此舰不改变航向继续前进，有无触礁危险?

2.直线AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200km，汽车以80km／h速度由A向B行驶，同时摩托车以50公里的时速由B向C行驶，问运动开始几小时后，两车的距离最小.

解三角形应用举例

1．在△ABC中，下列各式正确的是（）

A.＝B.asinC＝csinB

C.asin（A＋B）＝csinAD.c2＝a2＋b2－2abcos（A＋B）

2．已知三角形的三边长分别为a、b、，则这个三角形的最大角是（）

A.135°B.120°C.60°D.90°

3．海上有A、B两个小岛相距10nmile，从A岛望B岛和C岛成60°的视角，从B岛望A岛和C岛成75°角的视角，则B、C间的距离是（）

A.5nmileB.10nmileC.nmileD.5nmile

4．如下图，为了测量隧道AB的长度，给定下列四组数据，测量应当用数据

A.α、a、bB.α、β、a

C.a、b、γD.α、β、γ

5．某人以时速akm向东行走，此时正刮着时速akm的南风，

那么此人感到的风向为，风速为.

6．在△ABC中，tanB＝1，tanC＝2，b＝100，则c＝.

7．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°

的方向航行30nmile后看见灯塔在正西方向，则这时船与灯

塔的距离是.

8．甲、乙两楼相距20m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为300，则甲、乙两楼的高分别是.

9．在塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为θ，由此点向塔沿直线行走30米，测得塔顶的仰角为2θ，再向塔前进10米，又测得塔顶的仰角为4θ，则塔高是米.

10．在△ABC中，求证：

－＝－.

11．欲测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，AB＝120m，求河宽.（精确到0.01m）

12．甲舰在A处，乙舰在A的南偏东45°方向，距A有9nmile，并以20nmile/h的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲舰以28nmile/h的速度行驶，应沿什么方向，用多少时间，能尽快追上乙舰？

解三角形应用举例答案

1．C2．B3．D4．C5．东南a6．40

7．108．20，

9．15

10．在△ABC中，求证：

－＝－.

提示：

左边＝－＝（－）－2（－）＝右边.

11．欲测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝45°，∠CBA＝75°，AB＝120m，求河宽.（精确到0.01m）

解：

由题意C＝180°－A－B＝180°－45°－75°＝60°

在△ABC中，由正弦定理＝

∴BC＝＝＝＝40

S△ABC＝AB·BCsinB＝AB·h

∴h＝BCsinB＝40×＝60＋20≈94.64

∴河宽94.64米.

12．甲舰在A处，乙舰在A的南偏东45°方向，距A有9nmile，并以20nmile/h的速度沿南偏西15°方向行驶，若甲舰以28nmile/h的速度行驶，应沿什么方向，用多少时间，能尽快追上乙舰？

解：

设th甲舰可追上乙舰，相遇点记为C

则在△ABC中，AC＝28t，BC＝20t，AB＝9，∠ABC＝120°

由余弦定理

AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosABC

（28t）2＝81＋（20t）2－2×9×20t×（－）

整理得128t2－60t－27＝0

解得t＝（t＝－舍去）

故BC＝15（nmile），AC＝21（nmile）

由正弦定理

∴sinBAC＝×＝

∠BAC＝arcsin

故甲舰沿南偏东－arcsin的方向用0.75h可追上乙舰.