备战中考数学专题训练圆的综合的综合题分类及答案解析.docx

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备战中考数学专题训练圆的综合的综合题分类及答案解析

备战中考数学专题训练---圆的综合的综合题分类及答案解析

一、圆的综合

1．如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（﹣3，O），C（，O）．

（1）求⊙M的半径；

（2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：

EH=FH．

（3）在

（2）的条件下求AF的长．

【答案】

（1）4；

（2）见解析;（3）4．

【解析】

【分析】

（1）过M作MT⊥BC于T连BM，由垂径定理可求出BT的长，再由勾股定理即可求出BM的长；

（2）连接AE，由圆周角定理可得出∠AEC=∠ABC，再由AAS定理得出△AEH≌△AFH，进而可得出结论；

（3）先由

（1）中△BMT的边长确定出∠BMT的度数，再由直角三角形的性质可求出CG的长，由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG为平行四边形，进而可求出答案．

【详解】

（1）如图

（一），过M作MT⊥BC于T连BM，

∵BC是⊙O的一条弦，MT是垂直于BC的直径，

∴BT=TC=BC=2，

∴BM==4；

（2）如图

（二），连接AE，则∠AEC=∠ABC，

∵CE⊥AB，

∴∠HBC+∠BCH=90°

在△COF中，

∵∠OFC+∠OCF=90°，

∴∠HBC=∠OFC=∠AFH，

在△AEH和△AFH中，

∵，

∴△AEH≌△AFH（AAS），

∴EH=FH；

（3）由

（1）易知，∠BMT=∠BAC=60°，

作直径BG，连CG，则∠BGC=∠BAC=60°，

∵⊙O的半径为4，

∴CG=4，

连AG，

∵∠BCG=90°，

∴CG⊥x轴，

∴CG∥AF，

∵∠BAG=90°，

∴AG⊥AB，

∵CE⊥AB，

∴AG∥CE，

∴四边形AFCG为平行四边形，

∴AF=CG=4．

【点睛】

本题考查的是垂径定理、圆周角定理、直角三角形的性质及平行四边形的判定与性质，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．

2．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连结AC，过上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连结AE交CD于点F，且EG=FG，连结CE．

（1）求证：

∠G=∠CEF；

（2）求证：

EG是⊙O的切线；

（3）延长AB交GE的延长线于点M，若tanG=，AH=3，求EM的值．

【答案】

（1）证明见解析；

（2）证明见解析；（3）.

【解析】

试题分析：

（1）由AC∥EG，推出∠G=∠ACG，由AB⊥CD推出，推出∠CEF=∠ACD，推出∠G=∠CEF，由此即可证明；

（2）欲证明EG是⊙O的切线只要证明EG⊥OE即可；

（3）连接OC．设⊙O的半径为r．在Rt△OCH中，利用勾股定理求出r，证明△AHC∽△MEO，可得，由此即可解决问题；

试题解析：

（1）证明：

如图1．∵AC∥EG，∴∠G=∠ACG，∵AB⊥CD，∴，∴∠CEF=∠ACD，∴∠G=∠CEF，∵∠ECF=∠ECG，∴△ECF∽△GCE．

（2）证明：

如图2中，连接OE．∵GF=GE，∴∠GFE=∠GEF=∠AFH，∵OA=OE，∴∠OAE=∠OEA，∵∠AFH+∠FAH=90°，∴∠GEF+∠AEO=90°，∴∠GEO=90°，∴GE⊥OE，∴EG是⊙O的切线．

（3）解：

如图3中，连接OC．设⊙O的半径为r．

在Rt△AHC中，tan∠ACH=tan∠G==，∵AH=，∴HC=，在Rt△HOC中，∵OC=r，OH=r﹣，HC=，∴，∴r=，∵GM∥AC，∴∠CAH=∠M，∵∠OEM=∠AHC，∴△AHC∽△MEO，∴，∴，∴EM=．

点睛：

本题考查圆综合题、垂径定理、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，正确寻找相似三角形，构建方程解决问题吗，属于中考压轴题．

3．如图，AB为⊙O的直径，AC为⊙O的弦，AD平分∠BAC，交⊙O于点D，DE⊥AC，交AC的延长线于点E．

（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；

（2）若AE＝8，⊙O的半径为5，求DE的长．

【答案】

（1）直线DE与⊙O相切

（2）4

【解析】

试题分析：

（1）连接OD，∵AD平分∠BAC，∴，∵，∴，∴，∴EA∥OD，∵DE⊥EA，∴DE⊥OD，又∵点D在⊙O上，∴直线DE与⊙O相切

（2）

如图1，作DF⊥AB，垂足为F，∴，∵，，∴△EAD≌△FAD，∴，，∵，∴，在Rt△DOF中，，∴

考点：

切线的证明，弦心距和半径、弦长的关系

点评：

本题难度不大，第一小题通过内错角相等相等证明两直线平行，再由两直线平行推出同旁内角相等．第二小题通过求出两个三角形全等，从而推出对应边相等，接着用弦心距和弦长、半径的计算公式，求出半弦长．

4．如图，AB是半圆O的直径，C是的中点，D是的中点，AC与BD相交于点E.

（1）求证：

BD平分∠ABC；

（2）求证：

BE=2AD；

（3）求的值.

【答案】

（1）答案见解析

（2）BE=AF=2AD（3）

【解析】

试题分析：

（1）根据中点弧的性质，可得弦AD=CD，然后根据弦、弧、圆周角、圆心角的性质求解即可；

（2）延长BC与AD相交于点F,证明△BCE≌△ACF,根据全等三角形的性质可得BE=AF=2AD；

（3）连接OD,交AC于H.简要思路如下：

设OH为1，则BC为2，OB=OD=，DH=,然后根据相似三角形的性质可求解.

试题解析：

（1）∵D是的中点

∴AD=DC

∴∠CBD=∠ABD

∴BD平分∠ABC

（2）提示：

延长BC与AD相交于点F,

证明△BCE≌△ACF,

BE=AF=2AD

（3）连接OD,交AC于H.简要思路如下：

设OH为1，则BC为2，OB=OD=，

DH=,=

=

5．矩形ABCD中，点C（3，8），E、F为AB、CD边上的中点，如图1，点A在原点处，点B在y轴正半轴上，点C在第一象限，若点A从原点出发，沿x轴向右以每秒1个单位长度的速度运动，点B随之沿y轴下滑，并带动矩形ABCD在平面内滑动，如图2，设运动时间表示为t秒，当点B到达原点时停止运动．

（1）当t=0时，点F的坐标为；

（2）当t=4时，求OE的长及点B下滑的距离；

（3）求运动过程中，点F到点O的最大距离；

（4）当以点F为圆心，FA为半径的圆与坐标轴相切时，求t的值．

【答案】

（1）F（3，4）；

（2）8-；（3）7；（4）t的值为或.

【解析】

试题分析：

（1）先确定出DF，进而得出点F的坐标；

（2）利用直角三角形的性质得出∠ABO=30°，即可得出结论；

（3）当O、E、F三点共线时，点F到点O的距离最大，即可得出结论；

（4）分两种情况，利用相似三角形的性质建立方程求解即可．

试题解析：

解：

（1）当t=0时．∵AB=CD=8，F为CD中点，∴DF=4，∴F（3，4）；

（2）当t=4时，OA=4．在Rt△ABO中，AB=8，∠AOB=90°，

∴∠ABO=30°，点E是AB的中点，OE=AB=4，BO=，∴点B下滑的距离为．

（3）当O、E、F三点共线时，点F到点O的距离最大，∴FO=OE+EF=7．

（4）在Rt△ADF中，FD2+AD2=AF2，∴AF==5，①设AO=t1时，⊙F与x轴相切，点A为切点，∴FA⊥OA，∴∠OAB+∠FAB=90°．∵∠FAD+∠FAB=90°，∴∠BAO=∠FAD．∵∠BOA=∠D=90°，∴Rt△FAE∽Rt△ABO，∴，∴，∴t1=，②设AO=t2时，⊙F与y轴相切，B为切点，同理可得，t2=．

综上所述：

当以点F为圆心，FA为半径的圆与坐标轴相切时，t的值为或．

点睛：

本题是圆的综合题，主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，中点的意义，勾股定理，相似三角形的判定和性质，切线的性质，解

（2）的关键是得出∠ABO=30°，解（3）的关键是判断出当O、E、F三点共线时，点F到点O的距离最大，解（4）的关键是判断出Rt△FAE∽Rt△ABD，是一道中等难度的中考常考题．

6．（8分）已知AB为⊙O的直径，OC⊥AB，弦DC与OB交于点F，在直线AB上有一点E，连接ED，且有ED＝EF.

（1）如图①，求证：

ED为⊙O的切线；

（2）如图②，直线ED与切线AG相交于G，且OF＝2，⊙O的半径为6，求AG的长．

【答案】

（1）见解析；

（2）12

【解析】

试题分析：

（1）连接OD，由ED=EF可得出∠EDF=∠EFD，由对顶角相等可得出∠EDF=∠CFO；由OD=OC可得出∠ODF=∠OCF，结合OC⊥AB即可得知∠EDF+∠ODF=90°，即∠EDO=90°，由此证出ED为⊙O的切线；

（2）连接OD，过点D作DM⊥BA于点M，结合

（1）的结论根据勾股定理可求出ED、EO的长度，结合∠DOE的正弦、余弦值可得出DM、MO的长度，根据切线的性质可知GA⊥EA，从而得出DM∥GA，根据相似三角形的判定定理即可得出△EDM∽△EGA，根据相似三角形的性质即可得出GA的长度

试题解析：

解：

（1）连接OD，∵ED=EF，∴∠EDF=∠EFD，∵∠EFD=∠CFO，∴∠EDF=∠CFO．∵OD=OC，∴∠ODF=∠OCF．∵OC⊥AB，∴∠CFO+∠OCF=∠EDF+∠ODF=∠EDO=90°，∴ED为⊙O的切线；

（2）连接OD，过点D作DM⊥BA于点M，由

（1）可知△EDO为直角三角形，设ED=EF=a，EO=EF+FO=a+2，由勾股定理得，EO2=ED2+DO2，即（a+2）2=a2+62，解得，a=8，即ED=8，EO=10．∵sin∠EOD=，cos∠EOD=，∴DM=OD•sin∠EOD=6×=，MO=OD•cos∠EOD=6×=，∴EM=EO﹣MO=10﹣=，EA=EO+OA=10+6=16．

∵GA切⊙O于点A，∴GA⊥EA，∴DM∥GA，∴△EDM∽△EGA，∴，即，解得GA=12．

点睛：

本题考查的是切线的判定、垂径定理和勾股定理的应用、等腰三角形的性质、角的三角函数值、相似三角形的判定及性质，解题的关键是：

（1）通过等腰三角形的性质找出∠EDO=90°；

（2）通过相似三角形的性质找出相似比．

7．如图，在直角坐标系中，⊙M经过原点O（0，0），点A（，0）与点B（0，－），点D在劣弧上，连结BD交x轴于点C，且∠COD＝∠CBO.

（1）求⊙M的半径；

（2）求证：

BD平分∠ABO；

（3）在线段BD的延长线上找一点E，使得直线AE恰为⊙M的切线，求此时点E的坐标．

【答案】

（1）M的半径r＝；

（2）证明见解析；（3）点E的坐标为（，）．

【解析】

试题分析：

根据点A和点B的坐标得出OA和OB的长度，根据Rt△AOB的勾股定理得出AB的长度，然后得出半径；根据同弧所对的圆周角得出∠ABD=∠COD，然后结合已知条件得出角平分线；根据角平分线得出△ABE≌△HBE，从而得出BH=BA=2，从而求出OH的长度，即点E的纵坐标，根据Rt△AOB的三角函数得出∠ABO的度数，从而得出∠CBO的度数，然后根据Rt△HBE得出HE的长度，即点E的横坐标.

试题解析：

（1）∵点A为（，0），点B为（0，－）∴OA=OB=

∴根据Rt△AOB的勾股定理可得：

AB=2∴M的半径r=AB=.

（2）根据同弧所对的圆周角相等可得：

∠ABD=∠COD∵∠COD=∠CBO∴∠ABD=∠CBO

∴BD平分∠ABO

（3）如图，由

（2）中的角平分线可得△ABE≌△HBE∴BH=BA=2∴OH=2－=

在Rt△AOB中，∴∠ABO=60°∴∠CBO=30°

在Rt△HBE中，HE=∴点E的坐标为（，）

考点：

勾股定理、角平分线的性质、圆的基本性质、三角函数.

8．如图1，是用量角器一个