每天一道压轴题.docx

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每天一道压轴题

1．阅读理解

如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．

小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：

如图2，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：

如图3，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．

探究发现

（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？

　　（填“是”或“不是”）．

（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系．根据以上内容猜想：

若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为　　．

应用提升

（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．

请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．

2．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD平分∠ABC时

（1）若CE⊥BD于E，

①∠ECD=　　°；

②求证：

BD=2EC；

（2）如图，点P是射线BA上A点右边一动点，以CP为斜边作等腰直角△CPF，其中∠F=90°，点Q为∠FPC与∠PFC的角平分线的交点．当点P运动时，点Q是否一定在射线BD上？

若在，请证明，若不在；请说明理由．

3．

（1）阅读理解：

如图①，在△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．

解决此问题可以用如下方法：

延长AD到点E使DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断．

中线AD的取值范围是　　；

（2）问题解决：

如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：

BE+CF＞EF；

（3）问题拓展：

如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．

4．如图1，点A和点B分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，且OA=OB，点C和点D分别在第四象限和第一象限，且OC⊥OD，OC=OD，点D的坐标为（m，n），且满足（m﹣2n）2+|n﹣2|=0．

（1）求点D的坐标；

（2）求∠AKO的度数；

（3）如图2，点P，Q分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，且OP=OQ，直线ON⊥BP交AB于点N，MN⊥AQ交BP的延长线于点M，判断ON，MN，BM的数量关系并证明．

5．等腰Rt△ACB，∠ACB=90°，AC=BC，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上．

（1）如图1，求证：

∠BCO=∠CAO

（2）如图2，若OA=5，OC=2，求B点的坐标

（3）如图3，点C（0，3），Q、A两点均在x轴上，且S△CQA=18．分别以AC、CQ为腰在第一、第二象限作等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM，连接MN交y轴于P点，OP的长度是否发生改变？

若不变，求出OP的值；若变化，求OP的取值范围．

参考答案与试题解析

1．阅读理解

如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠BnAnC的平分线AnBn+1折叠，点Bn与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．

小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：

如图2，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：

如图3，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．

探究发现

（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？

　是　（填“是”或“不是”）．

（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系．根据以上内容猜想：

若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为　∠B=n∠C　．

应用提升

（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．

请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．

【解答】解：

（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是△ABC的好角；

理由如下：

小丽展示的情形二中，如图3，

∵沿∠BAC的平分线AB1折叠，

∴∠B=∠AA1B1；

又∵将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合，

∴∠A1B1C=∠C；

∵∠AA1B1=∠C+∠A1B1C（外角定理），

∴∠B=2∠C，∠BAC是△ABC的好角．

故答案是：

是；

（2）∠B=3∠C；如图所示，在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿∠B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C重合，则∠BAC是△ABC的好角．

证明如下：

∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1B1C=∠A1A2B2，

∴根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；

∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1﹣∠A1B1C=∠BAC+2∠B﹣2∠C=180°，

根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，

∴∠B=3∠C；

由小丽展示的情形一知，当∠B=∠C时，∠BAC是△ABC的好角；

由小丽展示的情形二知，当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角；

由小丽展示的情形三知，当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的好角；

故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C；

（3）由

（2）知设∠A=4°，∵∠C是好角，∴∠B=4n°；

∵∠A是好角，∴∠C=m∠B=4mn°，其中m、n为正整数得4+4n+4mn=180

∴如果一个三角形的最小角是4°，三角形另外两个角的度数是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．

2．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD平分∠ABC时

（1）若CE⊥BD于E，

①∠ECD=　22.5　°；

②求证：

BD=2EC；

（2）如图，点P是射线BA上A点右边一动点，以CP为斜边作等腰直角△CPF，其中∠F=90°，点Q为∠FPC与∠PFC的角平分线的交点．当点P运动时，点Q是否一定在射线BD上？

若在，请证明，若不在；请说明理由．

【解答】解：

（1）①∵∠BAC=90°，CE⊥BD，∠ADB=∠CDE，

∴∠ABD=∠ECD，

又∵∠BAC=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，

∴∠ABD=22.5°，

∴∠ECD=22.5°；

故答案为：

22.5．

②如图，延长CE交BA的延长线于点G，

∵BD平分∠ABC，CE⊥BD，

∴CE=GE，

在△ABD与△ACG中，

，

∴△ABD≌△ACG（AAS），

∴BD=CG=2CE；

（2）点Q一定在射线BD上，

理由：

如图，连接CQ，过点Q作QM⊥BP于M，作QN⊥BC于N，

∵QF为∠PFC的角平分线，△CPF为等腰直角三角形，

∴QF为PC的垂直平分线，

∴PQ=QC，

∵Q为∠FPC与∠PFC的角平分线的交点，

∴CQ平分∠FCP，

∵△CPF为等腰直角三角形，

∴∠FCP=∠FPC=45°，

∴∠QCP=∠QPC=22.5°，

∴△PQC中，∠PQC=135°，

∵在四边形QNBM中，QM⊥BP，QN⊥BC，∠ABC=45°，

∴∠MQN=135°，

∴∠MQN=∠PQC，

∴∠NQC=∠MQP，

又∵QC=QP，QM⊥BP，QN⊥BC，

∴△QPM≌△QCN（AAS），

∴QM=QN，

又∵QM⊥BP，QN⊥BC，

∴点Q一定在射线BD上．

3．

（1）阅读理解：

如图①，在△ABC中，若AB=10，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．

解决此问题可以用如下方法：

延长AD到点E使DE=AD，再连接BE（或将△ACD绕着点D逆时针旋转180°得到△EBD），把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断．

中线AD的取值范围是　2＜AD＜8　；

（2）问题解决：

如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，求证：

BE+CF＞EF；

（3）问题拓展：

如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=140°，以C为顶点作一个70°角，角的两边分别交AB，AD于E、F两点，连接EF，探索线段BE，DF，EF之间的数量关系，并加以证明．

【解答】

（1）解：

延长AD至E，使DE=AD，连接BE，如图①所示：

∵AD是BC边上的中线，

∴BD=CD，

在△BDE和△CDA中，

，

∴△BDE≌△CDA（SAS），

∴BE=AC=6，

在△ABE中，由三角形的三边关系得：

AB﹣BE＜AE＜AB+BE，

∴10﹣6＜AE＜10+6，即4＜AE＜16，

∴2＜AD＜8；

故答案为：

2＜AD＜8；

（2）证明：

延长FD至点M，使DM=DF，连接BM、EM，如图②所示：

同

（1）得：

△BMD≌△CFD（SAS），

∴BM=CF，

∵DE⊥DF，DM=DF，

∴EM=EF，

在△BME中，由三角形的三边关系得：

BE+BM＞EM，

∴BE+CF＞EF；

（3）解：

BE+DF=EF；理由如下：

延长AB至点N，使BN=DF，连接CN，如图3所示：

∵∠ABC+∠D=180°，∠NBC+∠ABC=180°，

∴∠NBC=∠D，

在△NBC和△FDC中，

，

∴△NBC≌△FDC（SAS），

∴CN=CF，∠NCB=∠FCD，

∵∠BCD=140°，∠ECF=70°，

∴∠BCE+∠FCD=70°，

∴∠ECN=70°=∠ECF，

在△NCE和△FCE中，

，

∴△NCE≌△FCE（SAS），

∴EN=EF，

∵BE+BN=EN，

∴BE+DF=EF．

4．如图1，点A和点B分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，且OA=OB，点C和点D分别在第四象限和第一象限，且OC⊥OD，OC=OD，点D的坐标为（m，n），且满足（m﹣2n）2+|n﹣2|=0．

（1）求点D的坐标；

（2）求∠AKO的度数；

（3）如图2，点P，Q分别在y轴正半轴和x轴负半轴上，且OP=OQ，直线ON⊥BP交AB于点N，MN⊥AQ交BP的延长线于点M，判断ON，MN，BM的数量关系并证明．

【解答】解：

（1）∵（m﹣2n）2+|n﹣2|=0，

又∵（m﹣2n）2≥0，|n﹣2|≥0，

∴n=2，m=4，

∴点D坐标为（4，2）．

（2）如图1中，作OE⊥BD于E，OF⊥AC于F．

∵OA=OB，OD=OC，∠AOB=∠COD=90°，

∴∠BOD=∠AOC，

∴△BOD≌△AOC，

∴EO=OF（全等三角形对应边上的高相等），

∴OK平分∠BKC，

∴∠OBD=∠OAC，易证∠AKB=∠BOA=90°，

∴∠OKE=45°，

∴∠AKO=135°．

（3）结论：

BM=MN+ON．

理由：

如图2中，过点B作BH∥y轴交MN的延长线于H．

∵OQ=OP，OA=OA，∠AOQ=∠BOP=90°，

∴△AOQ≌△BOP，

∴∠OBP=∠OAQ，

∵∠OBA=∠OAB=45°，

∴∠ABP=∠BAP，

∵NM⊥AQ，BM⊥ON，

∴∠ANM+∠BAQ=90°，∠BNO+∠ABP=90°，

∴∠ANM=∠BNO=∠HNB，

∵∠HBN=∠OBN=45°，BN=BN，

∴△BNH≌△BNO，

∴HN=NO，∠H=∠BON，

∵∠HBM+∠MBO=90°，∠BON+∠MBO=90°，

∴∠HBM=∠BON=∠H，

∴MH=MB，

∴BM=MN+NH=MN+ON．

5．等腰Rt△ACB，∠ACB=90°，AC=BC，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上．

（1）如图1，求证：

∠BCO=∠CAO

（2）如图2，若OA=5，OC=2，求B点的坐标

（3）如图3，点C（0，3），Q、A两点均在x轴上，且S△CQA=18．分别以AC、CQ为腰在第一、第二象限作等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM，连接MN交y轴于P点，OP的长度是否发生改变？

若不变，求出OP的值；若变化，求OP的取值范围．

【解答】解：

（1）如图1，∵∠ACB=90°，∠AOC=90°，

∴∠BCO+∠ACO=90°=∠CAO+∠ACO，

∴∠BCO=∠CAO；

（2）如图2，过点B作BD⊥y轴于D，则∠CDB=∠AOC=90°，

在△CDB和△AOC中，

，

∴△CDB≌△AOC（AAS），

∴BD=CO=2，CD=AO=5，

∴OD=5﹣2=3，

又∵点B在第三象限，

∴B（﹣2，﹣3）；

（3）OP的长度不会发生改变．

理由：

如图3，过N作NH∥CM，交y轴于H，则

∠CNH+∠MCN=180°，

∵等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM，

∴∠MCQ+∠ACN=180°，

∴∠ACQ+∠MCN=360°﹣180°=180°，

∴∠CNH=∠ACQ，

又∵∠HCN+∠ACO=90°=∠QAC+∠ACO，

∴∠HCN=∠QAC，

在△HCN和△QAC中，

，

∴△HCN≌△QAC（ASA），

∴CH=AQ，HN=QC，

∵QC=MC，

∴HN=CM，

∵点C（0，3），S△CQA=18，

∴

×AQ×CO=18，即

×AQ×3=18，

∴AQ=12，

∴CH=12，

∵NH∥CM，

∴∠PNH=∠PMC，

∴在△PNH和△PMC中，

，

∴△PNH≌△PMC（AAS），

∴CP=PH=

CH=6，

又∵CO=3，

∴CP=3+6=9（定值），

即OP的长度始终是9．