专题工作报告怎么写精选.docx

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专题工作报告怎么写精选

专题13立体几何中的向量方法

1.【2017课标1，理18】如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且.

（1）证明：

平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC，，求二面角A-PB-C的余弦值.

【答案】

（1）见解析；

（2）.

以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.

由

（1）及已知可得，，，.

所以，，，.

设是平面的法向量，则

，即，

可取.

设是平面的法向量，则

，即，

可取.

则，

所以二面角的余弦值为.

2.【2017山东，理17】如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是的中点.

（Ⅰ）设是上的一点，且，求的大小；

（Ⅱ）当，，求二面角的大小.

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）因为，，

，平面，，

所以平面，

又平面，

所以，又，

因此

（Ⅱ）以为坐标原点，分别以，，所在的直线为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意得，，，故，，，设是平面的一个法向量.

由可得

取，可得平面的一个法向量.

设是平面的一个法向量.

由可得

取，可得平面的一个法向量.

所以.

因此所求的角为.

3.【2017北京，理16】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD//平面MAC，PA=PD=，AB=4．

（I）求证：

M为PB的中点；

（II）求二面角B-PD-A的大小；

（III）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．

【答案】（Ⅰ）详见解析：

（Ⅱ）；（Ⅲ）

【解析】

（I）设交点为，连接.

因为平面，平面平面，所以.

因为是正方形，所以为的中点，所以为的中点.

（II）取的中点，连接，.

因为，所以.

又因为平面平面，且平面，所以平面.

因为平面，所以.

因为是正方形，所以.

如图建立空间直角坐标系，则，，，

，.

设平面的法向量为，则，即.

令，则，.于是.

平面的法向量为，所以.

由题知二面角为锐角，所以它的大小为.

（III）由题意知，，.

设直线与平面所成角为，则.

所以直线与平面所成角的正弦值为.

4.【2017天津，理17】如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2.

（Ⅰ）求证：

MN∥平面BDE；

（Ⅱ）求二面角C-EM-N的正弦值；

（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长.

【答案】

（1）证明见解析

（2）（3）或

【解析】如图，以A为原点，分别以，，方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，0，2），E（0，2，2），M（0，0，1），N（1，2，0）.

（Ⅰ）证明：

=（0，2，0），=（2，0，）.设，为平面BDE的法向量，

则，即.不妨设，可得.又=（1，2，），可得.

因为平面BDE，所以MN//平面BDE.

（Ⅲ）解：

依题意，设AH=h（），则H（0，0，h），进而可得，.由已知，得，整理得，解得，或.

所以，线段AH的长为或.

5.【2017江苏，22】如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=，

.

（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；

（2）求二面角B-A1D-A的正弦值.

【答案】

（1）

（2）

【解析】在平面ABCD内，过点A作AEAD，交BC于点E.

因为AA1平面ABCD，

所以AA1AE，AA1AD.

如图，以为正交基底，建立空间直角坐标系A-xyz.

因为AB=AD=2，AA1=，.

则.

（1），

则.

因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为.

（2）平面A1DA的一个法向量为.

设为平面BA1D的一个法向量，

又，

则即

不妨取x=3，则，

所以为平面BA1D的一个法向量，

从而，

设二面角B-A1D-A的大小为，则.

因为，所以.

因此二面角B-A1D-A的正弦值为.

6.【2016高考新课标1卷】（本小题满分为12分）如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是．

（）证明：

平面ABEF平面EFDC；

（）求二面角E-BC-A的余弦值．

【答案】（）见解析（）

【解析】

（Ⅰ）由已知可得，，所以平面．

又平面，故平面平面．

（Ⅱ）过作，垂足为，由（Ⅰ）知平面．

以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系．

由（Ⅰ）知为二面角的平面角，故，则，，可得，，，．

由已知，，所以平面．

又平面平面，故，．

由，可得平面，所以为二面角的平面角，

．从而可得．

所以，，，．

设是平面的法向量，则

，即，

所以可取．

设是平面的法向量，则，

同理可取．则．

故二面角EBCA的余弦值为．

7.【2016高考新课标2理数】如图，菱形的对角线与交于点，，点分别在上，，交于点．将沿折到位置，．

（Ⅰ）证明：

平面；

（Ⅱ）求二面角的正弦值．

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）由已知得，，又由得，故.

因此，从而.由,得.

由得.所以，.

于是，

故.

又，而，

所以.

（Ⅱ）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，.设是平面的法向量，则，即，所以可取.设是平面的法向量，则，即，所以可取.于是，.因此二面角的正弦值是.

8.【2016高考天津理数】（本小题满分13分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2.

（I）求证：

EG∥平面ADF；

（）求二面角O-EF-C的正弦值；

（）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.

【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】依题意，，如图，以为点，分别以的方向为轴，轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得，.

（I）证明：

依题意，.设为平面的法向量，则，即.不妨设，可得，又，可得，又因为直线，所以.

（II）解：

易证，为平面的一个法向量.依题意，.设为平面的法向量，则，即.不妨设，可得.

因此有，于是，所以，二面角的正弦值为.

9.【2016年高考北京理数】（本小题14分）

如图，在四棱锥中，平面平面，，，，

，，.

（1）求证：

平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值；

（3）在棱上是否存在点，使得平面？

若存在，求的值；若不存在，说明理由.

【答案】

（1）见解析；

（2）；（3）存在，

【解析】

（1）因为平面平面，，

所以平面，所以，

又因为，所以平面；

（2）取的中点，连结，，

因为，所以.

又因为平面，平面平面，

所以平面.

因为平面，所以.

因为，所以.

如图建立空间直角坐标系，由题意得，

.

设平面的法向量为，则

即

令，则.

所以.

又，所以.

所以直线与平面所成角的正弦值为.

10.【2016高考浙江理数】（本题满分15分）如图,在三棱台中,平面平面

,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.

（）求证：

EF⊥平面ACFD；

（）求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.

【答案】（I）证明见解析；（II）．

【解析】（Ⅰ）延长，，相交于一点，如图所示．

因为平面平面，且，所以平面，因此．

又因为，，，

所以为等边三角形，且为的中点，则．

所以平面．

（Ⅱ）方法一：

过点作于Q，连结．

因为平面，所以，则平面，所以．

所以是二面角的平面角．

在中，，，得．

在中，，，得．

所以二面角的平面角的余弦值为．

方法二：

如图，延长，，相交于一点，则为等边三角形．

取的中点，则，又平面平面，所以，平面．

以点为原点，分别以射线，的方向为，的正方向，建立空间直角坐标系．

由题意得，，，，，．

因此，，，．

设平面的法向量为，平面的法向量为．

由，得，取；

由，得，取．

于是，．

所以，二面角的平面角的余弦值为．

易错起源1、利用向量证明平行与垂直

例1、如图，在直三棱柱ADE—BCF中，面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直，点M为AB的中点，点O为DF的中点．运用向量方法证明：

（1）OM∥平面BCF；

（2）平面MDF⊥平面EFCD.

证明　方法一　由题意，得AB，AD，AE两两垂直，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系．

设正方形边长为1，则A（0,0,0），B（1，0,0），C（1,1,0），D（0,1,0），F（1,0,1），M，O.

（1）＝，＝（－1,0,0），

∴·＝0,∴⊥.

∵棱柱ADE—BCF是直三棱柱，

∴AB⊥平面BCF，∴是平面BCF的一个法向量，

且OM⊄平面BCF，∴OM∥平面BCF.

（2）设平面MDF与平面EFCD的一个法向量分别为

n1＝（x1，y1，z1），n2＝（x2，y2，z2）．

∵＝（1，－1,1），＝，＝（1,0,0），＝（0，－1,1），

由　得

令x1＝1，则n1＝.

同理可得n2＝（0,1,1）．

∵n1·n2＝0，∴平面MDF⊥平面EFCD.

方法二　

（1）＝＋＋＝－＋

＝（＋）－＋＝－－＋

＝－（＋）－＋

＝－－.

∴向量与向量，共面，

又OM⊄平面BCF，∴OM∥平面BCF.

（2）由题意知，BF，BC，BA两两垂直，

∵＝，＝－，

∴·＝·＝0，

·＝·（－）

＝－2＋2＝0.

∴OM⊥CD，OM⊥FC，又CD∩FC＝C，

∴OM⊥平面EFCD.

又OM⊂平面MDF，∴平面MDF⊥平面EFCD.

【变式探究】如图，在底面是矩形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥底面ABCD，点E，F分别是PC，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2.

（1）求证：

EF∥平面PAB；

（2）求证：

平面PAD⊥平面PDC.

证明　

（1）以点A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A（0,0,0），B（1,0,0），C（1,2,0），D（0,2,0），P（0,0,1），

∵点E，F分别是PC，PD的中点，

∴E，F，

＝，＝（1,0,0）．

∵＝－，∴∥，

即EF∥AB，

又AB⊂平面PAB，EF⊄平面PAB，

∴EF∥平面PAB.

（2）由

（1）可知＝（1,0，－1），＝（0,2，－1），＝（0,0,1），＝（0,2,0），＝（1,0,0），

∵·＝（0,0,1）·（1,0,0）＝0，

·＝（0,2,0）·（1,0,0）＝0，

∴⊥，⊥，即AP⊥DC，AD⊥DC.

又AP∩AD＝A，

∴DC⊥平面PAD.

∵DC⊂平面PDC，

∴平面PAD⊥平面PDC.

【名师点睛】

用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理．如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线a∥b，只需证明向量a＝λb（λ∈R）即可．若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外．

【锦囊妙计，战胜自我】

设直线l的方向向量为a＝（a1，b