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1、专题工作报告怎么写精选专题13立体几何中的向量方法1.【2017课标1，理18】如图，在四棱锥P-ABCD中，AB/CD，且.（1）证明：平面PAB平面PAD；（2）若PA=PD=AB=DC，求二面角A-PB-C的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）.以为坐标原点， 的方向为轴正方向， 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.由（1）及已知可得， ， ， .所以， ， ， .设是平面的法向量，则，即，可取.设是平面的法向量，则，即，可取.则，所以二面角的余弦值为.2.【2017山东，理17】如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是的中点.（）设是上的

2、一点，且，求的大小；（）当，求二面角的大小.【答案】（）.（）.【解析】（）因为， ， 平面， ，所以平面，又平面，所以，又，因此 （）以为坐标原点，分别以， ， 所在的直线为， ， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由题意得 ， ， ，故， ， ， 设是平面的一个法向量.由可得取，可得平面的一个法向量. 设是平面的一个法向量.由可得取，可得平面的一个法向量. 所以.因此所求的角为.3.【2017北京，理16】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD平面ABCD，点M在线段PB上，PD/平面MAC，PA=PD=，AB=4（I）求证：M为PB的中点；（II）求二面角B-PD

3、-A的大小；（III）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值【答案】（）详见解析：（） ；（） 【解析】（I）设交点为，连接.因为平面，平面平面，所以.因为是正方形，所以为的中点，所以为的中点.（II）取的中点，连接， .因为，所以.又因为平面平面，且平面，所以平面.因为平面，所以.因为是正方形，所以.如图建立空间直角坐标系，则， ， ， .设平面的法向量为，则，即.令，则， .于是.平面的法向量为，所以.由题知二面角为锐角，所以它的大小为.（III）由题意知， ， .设直线与平面所成角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.4.【2017天津，理17】如图，在三棱锥P-ABC中，PA底面ABC

4、，.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2. （）求证：MN平面BDE；（）求二面角C-EM-N的正弦值；（）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长.【答案】 （1）证明见解析（2） （3） 或 【解析】如图，以A为原点，分别以， ， 方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），P（0，0，4），D（0，0，2），E（0，2，2），M（0，0，1），N（1，2，0）.（）证明： =（0，2，0），=（2，0， ）.设，为平面BDE的法向量，则，

5、即.不妨设，可得.又=（1，2， ），可得.因为平面BDE，所以MN/平面BDE.（）解：依题意，设AH=h（），则H（0，0，h），进而可得， .由已知，得，整理得，解得，或.所以，线段AH的长为或. 5.【2017江苏，22】 如图， 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AA1平面ABCD，且AB=AD=2，AA1=， .（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B-A1D-A的正弦值.【答案】（1）（2）【解析】在平面ABCD内，过点A作AEAD，交BC于点E.因为AA1平面ABCD，所以AA1AE，AA1AD.如图，以为正交基底，建立空间直角坐标系A-xyz.因

6、为AB=AD=2，AA1=， .则.(1) ，则.因此异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为.(2)平面A1DA的一个法向量为.设为平面BA1D的一个法向量，又，则即不妨取x=3，则，所以为平面BA1D的一个法向量，从而，设二面角B-A1D-A的大小为，则.因为，所以.因此二面角B-A1D-A的正弦值为.6.【2016高考新课标1卷】（本小题满分为12分）如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD, ,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是（）证明：平面ABEF平面EFDC；（）求二面角E-BC-A的余弦值【答案】（）见解析（）【解析】（）由已知可

7、得，所以平面又平面，故平面平面（）过作，垂足为，由（）知平面以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系由（）知为二面角的平面角，故，则，可得，由已知，所以平面又平面平面，故，由，可得平面，所以为二面角的平面角，从而可得所以，设是平面的法向量，则，即，所以可取设是平面的法向量，则，同理可取则故二面角EBCA的余弦值为7.【2016高考新课标2理数】如图，菱形的对角线与交于点，点分别在上，交于点将沿折到位置，（）证明：平面；（）求二面角的正弦值【答案】（）详见解析；（）.【解析】（）由已知得，又由得，故.因此，从而.由,得.由得.所以，.于是，故.又，而，所以.（）如图

8、，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，则，.设是平面的法向量，则，即，所以可取.设是平面的法向量，则，即，所以可取.于是， .因此二面角的正弦值是.8.【2016高考天津理数】（本小题满分13分）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2.（I）求证：EG平面ADF；（）求二面角O-EF-C的正弦值；（）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.【答案】（）详见解析（）（）【解析】依题意，如图，以为点，分别以的方向为轴，轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得，.（I）证明

9、：依题意，.设为平面的法向量，则，即 .不妨设，可得，又，可得，又因为直线，所以.（II）解：易证，为平面的一个法向量.依题意，.设为平面的法向量，则，即 .不妨设，可得.因此有，于是，所以，二面角的正弦值为.9.【2016年高考北京理数】（本小题14分）如图，在四棱锥中，平面平面，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）；（3）存在，【解析】（1）因为平面平面，所以平面，所以，又因为，所以平面；（2）取的中点，连结，因为，所以.又因为平面，平面平面，所以平面.因为平面，所以.因为，

10、所以.如图建立空间直角坐标系，由题意得，.设平面的法向量为，则即令，则.所以.又，所以.所以直线与平面所成角的正弦值为.10.【2016高考浙江理数】(本题满分15分)如图,在三棱台中,平面平面,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.()求证：EF平面ACFD；()求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.【答案】（I）证明见解析；（II）【解析】（）延长，相交于一点，如图所示因为平面平面，且，所以平面，因此又因为，所以为等边三角形，且为的中点，则所以平面（）方法一：过点作于Q，连结因为平面，所以，则平面，所以所以是二面角的平面角在中，得在中，得所以二面角的平面角的余弦值为方法二：如图，延长，

11、相交于一点，则为等边三角形取的中点，则，又平面平面，所以，平面以点为原点，分别以射线，的方向为，的正方向，建立空间直角坐标系由题意得，因此，设平面的法向量为，平面的法向量为由，得，取；由，得，取于是，所以，二面角的平面角的余弦值为易错起源1、利用向量证明平行与垂直例1、如图，在直三棱柱ADEBCF中，面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直，点M为AB的中点，点O为DF的中点运用向量方法证明：(1)OM平面BCF；(2)平面MDF平面EFCD.证明方法一由题意，得AB，AD，AE两两垂直，以点A为原点建立如图所示的空间直角坐标系设正方形边长为1，则A(0,0,0)，B(1，0,0)，C(1,

12、1,0)，D(0,1,0)，F(1,0,1)，M，O.(1)，(1,0,0)，0, .棱柱ADEBCF是直三棱柱，AB平面BCF，是平面BCF的一个法向量，且OM平面BCF，OM平面BCF.(2)设平面MDF与平面EFCD的一个法向量分别为n1(x1，y1，z1)，n2(x2，y2，z2)(1，1,1)，(1,0,0)，(0，1,1)，由得令x11，则n1.同理可得n2(0,1,1)n1n20，平面MDF平面EFCD.方法二(1)()().向量与向量，共面，又OM平面BCF，OM平面BCF.(2)由题意知，BF，BC，BA两两垂直，0，()220.OMCD，OMFC，又CDFCC，OM平面EF

13、CD.又OM平面MDF，平面MDF平面EFCD.【变式探究】如图，在底面是矩形的四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，点E，F分别是PC，PD的中点，PAAB1，BC2.(1)求证：EF平面PAB；(2)求证：平面PAD平面PDC.证明(1)以点A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)，点E，F分别是PC，PD的中点，E，F，(1,0,0)，即EFAB，又AB平面PAB，EF平面PAB，EF平面PAB.(2)由(1)可知(1,0，1)，(0,2，1)，(0,0,1)，(0,2,0)，(1,0,0)，(0,0,1)(1,0,0)0，(0,2,0)(1,0,0)0，即APDC，ADDC.又APADA，DC平面PAD.DC平面PDC，平面PAD平面PDC.【名师点睛】用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线ab，只需证明向量ab(R)即可若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外【锦囊妙计，战胜自我】设直线l的方向向量为a(a1，b