空间点直线平面的位置关系.docx
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空间点直线平面的位置关系
2.1.1平面
1．已知点P在直线l上，而直线l在平面α内，用符号表示为（ ）．
A．P⊂l⊂αB．P∈l∈α
C．P⊂l∈αD．P∈l⊂α
解析 直线和平面可看作点的集合，点是基本元素．
答案 D
2．如下四图表示两个相交平面，其中画法正确的是（ ）．
解析 对于A，图中没有画出平面α与平面β的交线，另外图中的实线也没有按照画法原则去画，因此A的画法不正确，同理B、C的画法也不正确，D的画法正确．
答案 D
3．如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则（ ）．
A．l⊂αB．l⊄α
C．l∩α＝MD．l∩α＝N
解析 据公理1可知：
直线l上两点M、N都在平面α内，所以l在平面α内，故选A.
答案 A
4．下列语句是对平面的描述：
①平面是绝对平的且是无限延展的；
②一个平面将无限的空间分成两部分；
③平面可以看作空间的点的集合，它是一个无限集；
④四边形确定一个平面．
其中正确的序号是________．
解析 根据平面的概念和特征①②③都是从不同的角度对平面的描述，因此都是
正确的．④是错误的．如图所示的四边形ABCD四个顶点是不在一个平面内的．
答案 ①②③
5．设平面α与平面β相交于l，直线a⊂α，直线b⊂β，a∩b＝M，则M________l.
解析 因为a∩b＝M，a⊂α，b⊂β，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.
答案 ∈
6．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，试画出平面AB1D1与平面ACC1A1的交线．
解 根据公理3，只要找到两平面的两个公共点即可．
如图，设A1C1∩B1D1＝O1.
∵O1∈A1C1，A1C1⊂平面ACC1A1，
∴O1∈平面ACC1A1.
又∵O1∈B1D1，B1D1⊂平面AB1D1，
∴O1∈平面AB1D1.
∴O1是平面ACC1A1与平面AB1D1的公共点．
而点A显然也是平面ACC1A与平面AB1D1的公共点．
连接AO1，根据公理3知AO1是平面AB1D1与平面ACC1A1的交线.
7．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论错误的是（ ）．
A．C1，M，O三点共线
B．C1，M，O，C四点共面
C．C1，O，A，M四点共面
D．D1，D，O，M四点共面
解析 在题图中，连接A1C1，AC，则AC∩BD＝O，A1C∩平面C1BD＝M.
∴三点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O三点共线，
∴选项A，B，C均正确，D不正确．
答案 D
8．在三棱锥A-BCD的各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF∩HG＝P，则点P（ ）．
A．一定在直线BD上
B．一定在直线AC上
C．在直线AC或BD上
D．不在直线AC上，也不在直线BD上
解析 如图所示，
∵EF⊂平面ABC，HG⊂平面ACD，EF∩HG＝P，
∴P∈平面ABC，P∈平面ACD.
又∵平面ABC∩平面ACD＝AC，
∴P∈AC，故选B.
答案 B
9．给出下列三个命题：
①空间四点共面，则其中必有三点共线；
②空间四点中有三点共线，则此四点必共面；
③空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面．
其中正确命题的序号是________．
解析 对于命题①③，可用平行四边形的四个顶点来排除．
答案 ②
10．已知平面α∩平面β＝l，点M∈α，N∈α，P∈β，P∉l且MN∩l＝R，过M，N，P三点所确定的平面记为γ，则β∩γ等于________．
解析 如图，MN⊂γ，R∈MN，
∴R∈γ.
又R∈l，∴R∈β.
又P∈r，P∈β，∴β∩γ＝PR.
答案 直线PR
11．求证：
两两相交且不共点的四条直线a、b、c、d共面．
证明
（1）无三线共点情况，如图
（1）．
设a∩d＝M，b∩d＝N，c∩d＝P，a∩b＝Q，a∩c＝R，b∩c＝S.
因为a∩d＝M，所以a，d可确定一个平面α.
因为N∈d，Q∈a，所以N∈α，Q∈α，
所以NQ⊂α，即b⊂α.
同理c⊂α，所以a，b，c，d共面．
②有三线共点的情况，如图
（2）．
设b，c，d三线相交于点K，与a分别交于N，P，M且K∉a，
因为K∉a，所以K和a确定一个平面，设为β.
因为N∈a，a⊂β，所以N∈β.所以NK⊂β，即b⊂β.
同理c⊂β，d⊂β.所以a，b，c，d共面．
由
（1）、
（2）知a，b，c，d共面．
12．（创新拓展）在空间四边形ABCD中，H、G分别是AD、CD的中点，E，F
分别是边AB，BC上的点，且
＝
＝
.
求证：
直线EH、BD、FG相交于一点．
证明 连接EF、GH（如图所示）．
∵H、G分别是AD、CD的中点，
∴GH∥AC，且GH＝
AC.
∵
＝
＝
，
∴EF∥AC，且EF＝
AC.
∴GH∥EF，且GH≠EF.
∴EH与FG相交，设交点为P.
∵EH⊂平面ABD，
∴P∈平面ABD.
同理P∈平面BCD.
又∵平面ABD∩平面BCD＝BD，
∴P∈BD.
∴直线EH、BD、FG相交于一点．
2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系
1．分别和两条异面直线都相交的两条直线一定（ ）．
A．异面B．相交
C．不相交D．不平行
解析 和两条异面直线都相交的两条直线可能相交，也可能异面，但一定不平行．
答案 D
2．若两个三角形不在同一平面内，它们的边两两对应平行，那么这两个三角形
（ ）．
A．全等B．相似
C．仅有一个角相等D．全等或相似
解析 由等角定理知，这两个三角形的三个角分别对应相等，所以选D.
答案 D
3．长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有（ ）．
A．2对B．3对C．6对D．12对
解析 如图所示，在长方体AC1中，与对角线AC1成异面直线位置关系的是：
A1D1、BC、BB1、DD1、A1B1、DC，所以组成6对异面直线．
答案 C
4．下列命题不正确的是________．
①如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行；②如果两条直线都和第三条直线所成的角相等，那么这两条直线平行；③两条异面直线所成的角为锐角或直角；
④直线a与b异面，b与c也异面，则直线a与c必异面．
解析 命题①②中的两条直线可以相交，也可以异面，还可以平行，对于命题④，异面直线不具有传递性．
答案 ①②④
5．若正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则B1D与CC1所成角的正切值为________．
解析 如图B1D与CC1所成的角为∠BB1D.
∵△DBB1为直角三角形．
∴tan∠BB1D＝
＝
.
答案
6．如图，在长方体木块ABCD-A1B1C1D1中，P是面A1C1上的一点，过点P如何画一条直线和棱AB平行？
过点P如何画一条直线和BD平行？
解 如图，过点P在面A1C1内作直线l∥A1B1，
由于A1B1∥AB，
∴l∥AB，l即为所画直线．
连接B1D1，若P∈B1D1，
∵BB1綉DD1，
∴BD∥B1D1，B1D1即为所画直线．
若P∉B1D1，过点P作直线l1∥B1D1，
∵B1D1∥BD，∴l1∥BD.
∴l1为平面A1C1内过点P且与BD平行的直线．
7．已知异面直线a与b满足a⊂α，b⊂β，且α∩β＝c，则c与a，b的位置关系一定是（ ）．
A．c与a，b都相交
B．c至少与a，b中的一条相交
C．c至多与a，b中的一条相交
D．c至少与a，b中的一条平行
解析 ∵a⊂α，c⊂α，
∴a与c相交或平行．
同理，b与c相交或平行．
若c∥a，c∥b，则a∥b，这与a，b异面矛盾．
∴a，b不能都与c平行，即直线a，b中至少有一条与c相交．
答案 B
8．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；
③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.
以上结论中正确的为（ ）．
A．①②B．③④C．②③D．①③
解析 根据正方体平面展开图还原出原来的正方体，如图所示，由图可知AB⊥
EF，AB∥CM，EF与MN是异面直线，MN⊥CD，只有①③正确．
答案 D
9．（2012·菏泽高一检测）如图，若G、H、M、N分别是三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．
解析 ①中HG∥MN，③中GM∥HN且GM≠HN，故HG、NM必相交，②④正确．
答案 ②④
10．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别为AA1、AB、BB1、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于________．
解析 由于EF∥A1B，GH∥BC1，
所以A1B与BC1所成的角即为EF与GH所成的角，由于△A1BC1为正三角形，所以A1B与BC1所成的角为60°，即EF与GH所成的角为60°.
答案 60°
11．如图，△ABC和△A′B′C′的对应顶点的连线AA′，BB′，CC′交于同
一点O，且
＝
＝
＝
.
（1）求证：
A′B′∥AB，A′C′∥AC，
B′C′∥BC；
（2）求
的值．
（1）证明 ∵AA′∩BB′＝O，
且
＝
＝
，
∴AB∥A′B′，
同理AC∥A′C′，BC∥B′C′.
（2）解 ∵A′B′∥AB，A′C′∥AC且AB和A′B′、AC和A′C′方向相反，
∴∠BAC＝∠B′A′C′.
同理∠ABC＝∠A′B′C′，∠ACB＝∠A′C′B′，
∴△ABC∽△A′B′C′
且
＝
＝
，
∴
＝
2＝
.
12．（创新拓展）如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别为CC1、AD的中点，求异面直线OE和FD1所成角的余弦值．
解 取D1C1的中点M，连接OM，OF，因为OF綉MD1，
所以四边形OFD1M是平行四边形，
所以OM綉FD1，
所以∠MOE是异面直线OE和FD1所成的角或其补角．
连接OC、ME.
OM＝FD1＝
＝
＝
a，
ME＝
＝
＝
a.
OE＝
＝
＝
a.
所以OE2＋ME2＝OM2＝
a2，
所以△OME是直角三角形，
且∠OEM＝90°，
所以cos∠MOE＝
＝
＝
，
即异面直线OE和FD1所成角的余弦值是
.
2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系
2.1.3平面与平面之间的位置关系
1．若直线m不平行于平面α，且m⊄α，则下列结论成立的是（ ）．
A．α内的所有直线与m异面
B．α内不存在与m平行的直线
C．α内存在唯一的直线与m平行
D．α内的直线与m都相交
解析 由题意可知m与α相交，故选B.
答案 B
2．如果直线l在平面α外，那么直线l与平面α（ ）．
A．没有公共点B．至多有一个公共点
C．至少有一个公共点D．有且只有一个公共点
解析 若l⊄α，则l∥α或l与α相交于一点．故选B.
答案 B
3．若一直线上有两点在已知平面外，则下列命题正确的是（ ）．
A．直线上所有的点都在平面外
B．直线上有无数多个点都在平面外
C．直线上有无数多个点都在平面内
D．直线上至少有一个点在平面内
解析 一直线上有两点在已知平面外，则直线与平面平行或相交．相交时有且只有一个点在平面内，故A、C不对；直线与平面平行时，直线没有一个点在平面内，故D不对．故选B.
答案 B
4．如果空间三个平面每两个都相交，那么它们的交线有________条．
解析 以打开的书页或长方体为模型，观察可得结论．
答案 1或3
5．一条直线和两个相交平面的交线平行，则这条直线满足________（填序号）．
①与两个平面都平行；②与两个平面都相交；③在两个平面内；④至少和其中一个平面平行．
解析 直线和两个平面的交线平行，这条直线可能在其中一个平面内且与另一个平面平行，也可能不在任何一个平面内且与两个平面都平行．
答案 ④
6．如果三个平面α、β、γ满足α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，且直线c⊂β，c∥b.
（1）判断c与α的位置关系，并说明理由；
（2）判断c与a的位置关系，并说明理由．
解
（1）c∥α.因为α∥β，所以α与β没有公共点，
又c⊂β，所以c与α无公共点，
则c∥α.
（2）c∥a.因为α∥β，所以α与β没有公共点，
又γ∩α＝a，γ∩β＝b，则a⊂α，b⊂β，且a，b⊂γ，
所以a，b没有公共点．由于a，b都在平面γ内，
因此a∥b，又c∥b，所以c∥a.
7.下列四个结论：
①两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行；②两条直线没有公共点，则这两条直线平行；③两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行；④一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行．其中正确的个数为（ ）．
A．0B．1C．2D．3
解析 ①两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线三种位置关系都有可能；②两条直线没有公共点，则这两条直线平行或异面；③两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线三种位置关系都有可能；④一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线也可能在这个平面内.
答案 A
8．若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线（ ）．
A．平行B．异面
C．相交D．平行或异面
解析 两直线分别在两个平行平面内，则两直线没有公共点，所以分别在这两个平行平面内的直线平行或异面．故选D.
答案 D
9．经过平面外两点可作这个平面的平行平面的个数是________．
解析 当过两点的直线与平面相交时，不能作出符合题意的平面；当过两点的直线与平面平行时，可作唯一的一个平行平面．
答案 至多可以作一个
10．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则a与b的位置关系是________．
解析 在长方体ABCD-A′B′C′D′中，E，F分别是AA′，BB′的中点．
A′B′∥平面ABCD，C′D′∥平面ABCD，A′B′∥C′D′；
A′B′∥平面ABCD，A′D′∥平面ABCD，A′D′∩A′B′＝A′；A′D′∥平面ABCD，EF∥平面ABCD.
A′D′与EF异面．
答案 平行、相交或异面
11．已知一条直线与一个平面平行，求证：
经过这个平面内的一点与这条直线平行的直线必在这个平面内．
解 已知：
a∥α，A∈α，A∈b，b∥a.
求证：
b⊂α.
证明 如图，∵a∥α，A∈α，
∴A∉a，
∴由A和a可确定一个平面β，
则A∈β，
∴α与β相交于过点A的直线，
设α∩β＝c，由a∥α知，a与α无公共点，而c⊂α，
∴a与c无公共点．
∵a⊂β，c⊂β，
∴a∥c.又已知a∥b，有A∈b，A∈c
∴b与c重合．
∴b⊂α.
12．（创新拓展）如图，已知平面α∩β＝l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？
证明你的结论．
解 平面ABC与β的交线与l相交．
证明：
∵AB与l不平行，且AB⊂α，l⊂α，
∴AB与l一定相交，
设AB∩l＝P，则P∈AB，P∈l.
又∵AB⊂平面ABC，l⊂β，
∴P∈平面ABC，P∈β.
∴点P是平面ABC与β的一个公共点，
而点C也是平面ABC与β的一个公共点，
且P，C是不同的两点，
∴直线PC就是平面ABC与β的交线．
即平面ABC∩β＝PC，而PC∩l＝P，
∴平面ABC与β的交线与l相交．
2.2.1直线与平面平行的判定
2.2.1平面与平面平行的判定
1．下列说法正确的是（ ）．
①一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；
②一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；
③一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；
④一个平面内有两条相交直线与另外一个平面平行，则这两个平面平行．
A．①③B．②④C．②③④D．③④
解析 由两平面平行的判定定理知③④正确．
答案 D
2．在六棱柱的表面中互相平行的面最多有几对（ ）．
A．2B．3C．4D．5
解析 当底面是正六边形时，共有4对面互相平行．
答案 C
3．在正方体EFGHE1F1G1H1中，下列四对截面中彼此平行的一对截面是（ ）．
A．平面E1FG1与平面EGH1
B．平面FHG1与平面F1H1G
C．平面F1H1H与平面FHE1
D．平面E1HG1与平面EH1G
解析 EG∥E1G1，FG1∥EH1，∴EG∥面E1FG1，EH1∥平面E1FG1，且EG∩EH1＝E，∴平面EGH1∥平面E1FG1.
答案 A
4．已知a和b是异面直线，且a⊂平面α，b⊂平面β，a∥β，b∥α，则平面α与β的位置关系是________．
解析 在b上任取一点O，则直线a与点O确定一个平面γ，
设γ∩β＝l，则l⊂β，
∵a∥β，∴a与l无公共点，
∴a∥l，∴l∥α.又b∥α，根据面面平行的判定定理可得α∥β.
答案 平行
5．如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，
①BM∥平面DE；
②CN∥平面AF；
③平面BDM∥平面AFN；
④平面BDE∥平面NCF.
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
解析 以ABCD为下底面还原正方体，如图：
则易判定四个命题都是正确的．
答案 ①②③④
6．（2012·南京高一检测）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，BC＝2AD.
（1）求证：
AB⊥PD.
（2）在线段PB上是否存在一点E，使AE∥平面PCD，若存在，指出点E的位置并加以证明；若不存在，请说明理由．
（1）证明 ∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB.
又∵AB⊥AD，PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD.
∵PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.
（2）法一 如图
（1），取线段PB的中点E，PC的中点F，连结AE，EF，DF，则EF是△PBC的中位线．
∴EF∥BC，EF＝
BC.
∵AD∥BC，AD＝
BC，∴AD∥EF，AD＝EF，
∴四边形EFDA是平行四边形，∴AE∥DF.
（1）
∵AE⊄平面PCD，DF⊂平面PCD，∴AE∥平面PCD.
∴线段PB的中点E是符合题意的点．
法二 如图
（2），取线段PB的中点E，BC的中点F，连结AE，EF，AF，则EF是△PBC的中位线．∴EF∥PC.
∵EF⊄平面PCD，PC⊂平面PCD，
∴EF∥平面PCD.
∵AD∥BC，AD＝
BC，CF＝
BC，
∴AD∥CF，AD＝CF.
（2）
∴四边形DAFC是平行四边形，∴AF∥CD.
∵AF⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴AF∥平面PCD.
∵AF∩EF＝F，∴平面AEF∥平面PCD.
∴AE⊂平面AEF，∴AE∥平面PCD.
∴线段PB的中点E是符合题意的点．
7．已知a是平面α外的一条直线，过a作平面β使β∥α，这样的β有（ ）．
A．只能作一个B．至少一个
C．不存在D．至多一个
解析 ∵a是平面α外的一条直线，
∴a∥α或a与α相交．
当a∥α时，β只有一个，当a与α相交时，β不存在．
答案 D
8．（2012·济宁高一期中）如图，在下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是（ ）．
A．①③B．①④C．②③D．②④
解析 ①中，取NP中点O，连MO，则MO∥AB，
∴AB∥平面MNP；
②中，在平面MNP内找不到与AB平行的直线，故②不能得出；③中，AB与平面MNP相交；
④中，∵AB∥NP，
∴AB∥平面MNP.
答案 B
9．设m，n是平面α外的两条直线，给出下列三个论断：
①m∥n；
②m∥α；③n∥α，以其中两个为条件，余下的一个为结论，可构成三个命题，写出你认为正确的一个命题________．
解析 m⊄α，n⊄α，m∥n，m∥α⇒n∥α，即①②⇒③.
答案 ①②⇒③
10．已知点S是正三角形ABC所在平面外一点，点D，E，F分别是SA，SB，SC的中点，则平面DEF与平面ABC的位置关系是________．
解析 由D，E，F分别是SA，SB，SC的中点知EF是△SBC的中位线，
∴EF∥BC.
又∵BC⊂平面ABC，EF⊄平面ABC，
∴EF∥平面ABC.同理DE∥平面ABC.
∵EF∩DE＝E，
∴平面DEF∥平面ABC.
答案 平行
11．已知底面是平行四边形的四棱锥P-ABCD，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥面AEC？
证明你的结论，并说出点F的位置．
解 如图，连接BD交AC于O点，连接OE，过B点作OE的平行线交PD于点G，过点G作GF∥CE，交PC于点F，连接BF.
∵BG∥OE，BG⊄平面AEC，
OE⊂平面AEC，
∴BG∥平面AEC.
同理，GF∥平面AEC，
又BG∩GF＝G.
∴平面BGF∥平面AEC，
∴BF∥平面AEC.
∵BG∥OE，O是BD中点，∴E是GD中点．
又∵PE∶ED＝2∶1，∴G是PE中点．
而GF∥CE，∴F为PC中点．
综上，当点F是PC中点时，BF∥平面AEC.
12．（创新拓展）如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作与截面PBC1平行的截面，能否确定截面的形状？
如果能，求出截面的面积．
解 取AB，C1D1的中点M，N，连接A1M，MC，CN，NA1.
∵A1N綉PC1綉MC，
∴四边形A1MCN是平行四边形．
又∵A1N∥PC1，A1M∥BP，
A1N∩A1M＝A1，C1P∩PB＝P，
∴平面A1MCN∥平面PBC1.
因此，过点A1与截面PBC1平行的截面是平行四边形．
连接MN，作A1H⊥MN于点H.
∵A1M＝A1N＝
，MN＝2
，
∴△A1MN为等腰三角形．
∴A1H＝
.
∴S△A1MN＝
×2
×
＝
.
2.2.3直线与平面平行的性质
2.2.4平面与平面平行的性质
1．如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的（ ）．
A．一条直线不相交
B．两条相交直线不相交
C．无数条直线不相交
D．任意一条直线不相交
解析 线面平行，则线面无公共点，所以选D，对于C，要注意“无数”并不代表所有．
答案 D
2．如果平面α∥平面β，夹在α和β间的两线段相等，那么这两条线段所在直线的位置关系是（ ）．
A．平行B．相交
C．异面D．平行，相交或异面
解析 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，AA1∥BB1，
A1D∩A1B＝A1，AD1与A1B是异面直线．故选D.
答案 D
3．如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EF
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