圆的垂径定理试题附答案讲解.docx

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圆的垂径定理试题附答案讲解

2013中考全国100份试卷分类汇编圆的垂径定理

1、（2013年潍坊市）如图，OO的直径AB=12CD是OO的弦，CDLAB垂足为P,且BPAP=1:

5,则CD的长为（）.

A.4...2

B.8、,2C.2.5D.4、5

2、（2013年黄石）如右图，在RtABC中,

AC=3，

BC=4，以点C为圆心，CA为

半径的圆与AB交于点D，则AD的长为（

厉B

A.

9B.

5

24C.

5

18D.

5

3、（2013河南省）如图，CD是

结论中不一定正确的是（）

O的直径,

弦AB_CD于点G,

直线EF与O相切与点D,则下列

B

D

A.AG=BGB.AB

//BFC.AD//BC

D./ABC=ADC

已知。

0的直径CD=10cmAB是。

0的弦，AB丄CD垂足为M且AB=8cm贝UAC

B.匚！

cm

如图，已知半径

C.XIcm或匚！

cmD.】；'1：

cm或虬二cm

OD与弦AB互相垂直，垂足为点C,若AB=8cmCD=3cm则圆O

4、（2013?

泸州）

的长为（—）

A.】cm

5、（2013?

广安）

A.：

cm

6

B.5cm

1'cm

6

石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m,桥拱半径OC为

C.4cmD.

&（2013?

绍兴）绍兴市著名的桥乡，如图,

5n,则水面宽AB%（）

A.4mB.5mC.6mD.8m

7、（2013?

温州）如图，在OO中，OCL弦AB于点C,AB=4OC=1贝UOB的长是（）

A.:

B.■C.'■D.皿

8、（2013?

嘉兴）如图，OO的半径ODL弦AB于点C,连结AO并延长交OO于点E,连结EC.若

AB=8CD=2贝UEC的长为（）

9、（2013?

莱芜）将半径为3cm的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O,用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，贝U这个圆锥的高为（）

11、（2013浙江丽水）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10水面宽AB=16

面圆心O到水面的距离OC是

A.4B.5C.6D.8

12、（2013?

宜昌）如图，DC是OO直径，弦AB丄CD于F，连接BQDB则下列结论错误的是（

D

A.AD=BDB.AF=BFC.OF=CFD./DBC=90

13、（2013?

毕节地区）如图在OO中，弦AB=8OCLAB垂足为C,且OC=3则OO的半径（

14、（2013?

南宁）如图，AB是OO的直径，弦CD交AB于点E,且AE=CD=,/BAC=/BOD则OO

2

15、（2013年佛山）半径为3的圆中，一条弦长为4,则圆心到这条弦的距离是（）

A.3B.4C.,5D..一7

16、（2013甘肃兰州4分、12）如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如果水

17、（2013?

内江）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13,0），直线y=kx-3k+4与OO交于BC两点，则弦BC的长的最小值为.

18、（13年安徽省4分、10）如图，点P是等边三角形ABC外接圆OO上的点，在以下判断中，不.正确的是（）

h当眩最长叭AAPC是等腰三角形。

当AAPC是尊腰三角形吋，P01AC.

C.当P01AC时，ZACP=30:

.

D.当ZACP=30\APBC是直角三角形°

E.

19、（2013?

宁波）如图，AE是半圆O的直径，弦AB=BC=4^，弦CD=DE=4连结OBOD则图中

两个阴影部分的面积和为.

22、（2013?

株洲）如图AB是OO的直径，/BAC=42，点D是弦AC的中点，则/DOCK度数是度.

23、（2013?

黄冈）如图，M是CD的中点，EMLCD若CD=4EM=8则硕所在圆的半径为24、（2013?

绥化）如图，在OO中，弦AB垂直平分半径OC垂足为D,若OO的半径为2,则弦AB的长为

25、（2013哈尔滨）如图，直线AB与OO相切于点A,ACCD是OO的两条弦，且CD//AB,若OO的半径为5，CD=4则弦AC的长为

2

26、（2013?

张家界）如图，OO的直径AB与弦CD垂直，且/BAC=40，则/BOD=.

27、（2013?

遵义）如图，OC是OO的半径，AB是弦，且OCLAB点P在OO上，/APC=26，则/BOC=度.

28、（2013陕西）如图，AB是OO的一条弦，点C是OO上一动点，且/ACB=30，点E、F分别是ACBC的中点，直线EF与OO交于GH两点，若OO的半径为7,则GE+FH勺最大值为.

29、（2013年广州市）如图7,在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点P在第一象限，°P与

30、（2013年深圳市）如图5所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在图的半径的活动。

小刚身高1.6米，测得其影长为2.4

米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的

31、（2013?

白银）如图，在OO中，半径OC垂直于弦AB垂足为点E.

（1）若OC=5AB=8求tan/BAQ

（2）若/DAChBAC且点D在OO的外部，判断直线AD与OO的位置关系，并加以证明.

32、（2013?

黔西南州）如图，AB是OO的直径，弦CELAB与点E,点P在OO上，/仁/C,

（1）求证：

CB//PD

3

（2）若BC=3sin/P=3，求OO的直径.

5

33、（2013?

恩施州）如图所示，AB是OO的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CDLAB于点D,CD交AE于点F,过C作CG/AE交BA的延长线于点G.

（2）求证：

AF=CF（3）若/EAB=30,CF=2求GA的长.

34、（2013?

资阳）在OO中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D,连结

CD

（1）

（2）

参考答案

1、【答案】D.

【考点】垂径定理与勾股定理•

【点评】连接圆的半径，构造直角三角形，再利用勾股定理与垂径定理解决•

2、【答案】C

【解析】由勾股定理得A吐5,则sinA=-，作CELAD于E,则AE=DE在Rt△AEC中，5

sinA=箜，即4=CE，所以，CE=12，AE=9，所以，AD=18AC53555

3、【答案】C

【解析】由垂径定理可知:

A一定正确。

由题可知：

EFLCD又因为AB丄CD所以AB//EF,即B定正确。

因为/ABC和/ADC所对的弧是劣弧，AC根据同弧所对的圆周角相等可知D一定正确。

4、【答案】C

【考点】垂径定理；勾股定理.

【专题】分类讨论

【分析】先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论

【解答】解：

连接AC,AO

■/©O的直径CD=10cmAB丄CDAB=8cm二AM=ABX8=4cmOD=OC=5qm

当C点位置如图1所示时，tOA=5cmAM=4cmCDLAB

•••OM=「”「'=「_,「=3cm，二CM=OC+OM=5+3=8cm

•••AC==.T-=4"cm

当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cmIOC=5cm•-MC=53=2cm，

1^911^92

【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键

5、【答案】A

【考点】垂径定理；勾股定理.

【分析】连接AO根据垂径定理可知AC=AB=4cm设半径为x，则OC=k3,根据勾股定理即

可求得x的值

【点评】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握垂径定理、勾股定理的内容，难度一般

6【答案】D

【考点】垂径定理的应用；勾股定理.

【分析】连接0A根据桥拱半径0C为5n，求出0A=5m根据CD=8m求出0D=3，根据AD=—[7求出AD最后根据AB=2AD即可得出答案.

【解答】

解：

连接0拟丁桥拱半径0C为阪TCD二弧屮

p.0D=8-二ADf/。

八—。

皤洁_3口皿/-AB=2AD=2X4=S（w）

【点评】此题考查了垂径定理的应用，关键是根据题意做出辅助线，用到的知识点是垂径定理、勾股定理.

7、【答案】B

【考点】垂径定理；勾股定理.

【分析】根据垂径定理可得AC=BC=AB,在Rt△OBC中可求出0B

C=AB,在Rt△OBC中,0B=〔厂J「厂二二匸.

【解答】解：

：

OCL弦AB于点C,「.AC=B

【点评】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握垂径定理的内容

8、【答案】D

【考点】垂径定理；勾股定理；圆周角定理

【分析】先根据垂径定理求出AC的长，设。

0的半径为r，则OC=r-2,由勾股定理即可得出r的值，故可得出AE的长，连接BE由圆周角定理可知/ABE=90，在Rt△BCE中，根据勾股定理即可求出CE的长.

【解答】

W：

■-'©0的半径0D丄弦AB于点匚AB=8,.-.AC=AB=4J屮

设00的半径为「则0C=r-2,在RtAAOC中，TAC二4,0C=r-2,.-.OA:

=AC:

+OC\即r:

=4:

+Cr-2）解得r=5,.■.AE=2r=10）小连接BE,TAE是的直径,.-.ZABE=90°,在中，*■.■AE=10,AB=8,BE=^AE2_ABfc^102-sfc6,亠

在皿磁.中，■■■BE=6）BC=4,二隹二JbeJb产后再戈五•

【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键

9、【答案】A

【考点】圆锥的计算.

【分析】过O点作OCLAB垂足为D,交。

0于点C,由折叠的性质可知OD为半径的一半，而OA为半径，可求/A=30,同理可得/B=30,在厶AOB中，由内角和定理求/AOB然后求得弧

AB的长，利用弧长公式求得围成的圆锥的底面半径，最后利用勾股定理求得其高即可.【解答】

解：

过0点作0C1AB,垂足为D,交00于点C,亠

由折叠的性质可知，OD=OC=OA,

由此可得，在皿规中，ZA=30°,同理可得ZB=30°，屮在ZXAOB中，由內甬和定理，得ZA0B=180o-ZA-ZB=120°

.•.弧AB的长为1SOKX3=2K设围成的圆锥的底面半径为「

180

则27Tr=27l.-.r=lciri.-•圆锥的高为冷护一严近

【点评】本题考查了垂径定理，折叠的性质，特殊直角三角形的判断.关键是由折叠的性质得出含30°的直角三角形

10、【答案】C

【考点】垂径定理；勾股定理.

【分析】连接OC先根据垂径定理求出PC的长，再根据勾股定理即可得出OC的长

【解答】

解：

连接OC,VCD1AB,CD=8.APC=CD=X8=4（在RtAOCP中,TPO4,0片3,*

•'•0C二JPC2+OPAJ42+3上5•屮

【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键

11、【答案】C

【考点】垂径定理；勾股定理.

【分析】根据垂径定理得出A吐2BC再根据勾股定理求出OC的长

【解答】解：

：

OCLAB,A吐16,二BC等于】

2AB=8。

在Rt△BOC中,OB=10,BO8,==JI『—J=飞。

12、【答案】C

【考点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理

【分析】根据垂径定理可判断A、B,根据圆周角定理可判断D,继而可得出答案.

【解答】•••DC是。

0直径，弦AB丄CD于F,「.点D是优弧AB的中点，点C是劣弧AB的中点,

A、五二範，正确，故本选项错误；B、AF=BF正确，故本选项错误；

C、OF=CF不能得出，错误，故本选项错误；D/DBC=90，正确，故本选项错误；【点评】本题考查了垂径定理及圆周角定理，解答本题的关键是熟练掌握垂径定理、圆周角定理的内容，难度一般

13、【答案】A

【考点】垂径定理；勾股定理.

【分析】连接OB先根据垂径定理求出BC的长，在Rt△OBC中利用勾股定理即可得出OB的长度

【解答】

（军）解；连接OB,VOC1AB,AB=8；J.\BC=AB=X8=4,

在中，0B珂°C2+OB=J3?

+4匕徭

【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键

14、【答案】B

【考点】垂径定理；勾股定理；圆周角定理.

【分析】先根据/BAC=/BOD＜得出：

=」，故可得出ABICD,由垂径定理即可求出DE的长,

2

再根据勾股定理即可得出结论

【解答】解：

I/BAC=/BOD^C^S，二AB丄CD：

AE=CD=,二DE冷CD=4

££

设OD=,则OE=AEr=8-r，在RtODE中,OD=,DE=4OE=8-r,••9D=dE+oE,即卩r2=42+（8-r）2,解得r=5.

【点评】本题考查的是垂径定理及圆周角定理，熟知平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键

15、【答案】C

【考点】垂径定理；勾股定理.

【分析】过点0作ODLAB于点D,由垂径定理可求出BD的长，在Rt△BOD中，禾U用勾股定理即可得出0D的长

【解答】

解：

如图所示：

过点0作0D1AB于点6'.'05=3,AB二3,0DJ.AB,二BD二AB二X4二2,在RtZ\BOD中，0D=Joe》—&口上_2

【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意画出图形，利用勾股定理求出OD的长是解答此题的关键

16、【答案】C

【考点】垂径定理；勾股定理.

【分析】过点O作ODLAB于点D,连接OA由垂径定理可知AD=AB设OA二r,贝UOD=r-2,

2

在Rt△AOD中，利用勾股定理即可求r的值.

【解答】

解；如图所示；过点0作0D1AB于点D,连接0A,

T0D1AB,二AD二丄AB二丄X8=4cm,设0A二“则0D=r-2,

22

在RtAAOD中，O4OD：

+AD：

即（r-2）十4打解得r=5cm.

【点评】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.

17、【答案】24

【考点】一次函数综合题.

【分析】根据直线y=kx-3k+4必过点D（3,4），求出最短的弦CD是过点D且与该圆直径垂直的弦，再求出OD的长，再根据以原点O为圆心的圆过点A（13,0）,求出OB的长，再利用勾股定理求出BD,即可得出答案.

【解答】

解；T直线y=kx-3k+4必过点D（3,4）,最短的弦CD是过点D且与该圆直径垂直的弦,丁点D的坐标是〔3,4）。

.：

0D二5,

T以原点0为圆心的圆过点A（13,0）,

二圆的半径为1気

■■.06=13,ABD=12,

■'■BC的长的最小值为24；

【点评】此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质,关键是求出BC最短时的位置.

18、【答案】C

【考点】圆和等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，三角形内角和定理。

【分析】根据圆和等边三角形的性质逐一作出判断：

当弦PB最长时，PB是。

O的直径，所以根据等边三角形的性质，BP垂直平分AC，从

而根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质得P心PC即厶APC是等腰三角形，判断

A正确；

当厶APC是等腰三角形时，根据垂径定理，得PCLAC判断B正确；

当PCIAC时，若点P在优弧AC上，则点P与点B重合，/ACP=60°,则/ACP=60°,判断C错误；

当/ACP=30°时，/ABP=ZAC圧30°，又/ABG60°，从而/PBG30°;又/BAC=60°，所以，/BCP=90°,即厶PBC是直角三角形，判断D正确。

19、【答案】10n

【考点】扇形面积的计算；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系.

【分析】根据弦AB=BC弦CD=DE可得/BCD=90，/BCD=90，过点O作OHBC于点F,OGLCD于点G,在四边形OFCC中可得/FCD=135，过点C作CN/OF交OG于点N,判断△CNG△OMN为等腰直角三角形，分别求出NGON继而得出OG在Rt△OG冲求出OD即得圆O的半径，代入扇形面积公式求解即可.

【解答】

解；T弦AB=BC,弦CD=DE,・・・点B是弧就的中点，点D是弧CE的中点，ZB0D=90*,过点0作0F1BC于点F,0G1CD于点G,屮

则BF二FG二2迈，CG二肛I二ZZF0G=45fi,衽四边形OFCG中，ZFCD=1356,过点C作CN//0F,交0G于点N.则ZFCNWF,ZhICG二13兰-90a二45",Acng为等腰三角形，二血贻乙卩

过点N作N1I110F于点乩则MN-FC-2V2,卜

衽琴腰三角形中，/.0G=0N+NG=6,屮

在Mass申o叫跖乔后庐圆o的半径为2血―

故50“叱躱匝二”,

360

【点评】本题考查了扇形的面积计算、勾股定理、垂径定理及圆心角、弧之间的关系，综合考察的知识点较多，解答本题的关键是求出圆0的半径，此题难度较大

20、【答案】2=

【考点】垂径定理；勾股定理.

【分析】通过作辅助线，过点O作ODLAB交AB于点D,根据折叠的性质可知OA=2O,根据勾股定理可将AD的长求出，通过垂径定理可求出AB的长.

【解答】_

解：

过点0作0D1AB交AB于点D,

'/OA=2OD=2cm,卍

二^VoA2-0Dfc^22-1

VODlAB,.\AB=2AD=2V3cid.

【点评】本题综合考查垂径定理和勾股定理的运用

21、【答案】28

【考点】圆周角定理；垂径定理.

【分析】根据垂径定理可得点B是疋中点，由圆周角定理可得/ADB=/BOC继而得出答案.

2

【解答】解：

：

OBLAC，•••爲=奁，•••/ADB=/BOC=28

2

【点评】此题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半.

22、【答案】48

【考点】垂径定理

【分析】根据点D是弦AC的中点，得到ODLAC，然后根据/DOCMDOA即可求得答案.

【解答】解：

：

AB是OO的直径，二OA=OC/A=42O/-ZACOMA=42°

TD为AC的中点，二ODLAC，/ZDOC=90-ZDCO=90-42°=48°.

【点评】本题考查了垂径定理的知识，解题的关键是根的弦的中点得到弦的垂线.

23、【答案】亠

4

OC由M是CD的中点，EMLCD可得EMSOO的圆心点O,然后设半径为x,8-x）2+22=x2，解此方程即可求得答案.

【考点】垂径定理；勾股定理.

【分析】首先连接由勾股定理即可求得：

【解答】

EM1CD,AEMi*®0的圆心点0,

二CM二二2,0M=8-0E-8-阴

2

即CS-x）：

+2:

-x\解得；k二兰

4

二&5所在圆的半径为*H

4

【点评】此题考查了垂径定理以及勾股定理•此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用.

24、【答案】2二

【考点】垂径定理；勾股定理.

【分析】连接OA由AB垂直平分OC求出OD的长，再利用垂径定理得到D为AB的中点，在直角三角形AOD中，利用垂径定理求出AD的长，即可确定出AB的长.

【解答】

解：

连接0打由AB垂直平分0匚得到OD=1OC=1,

2

V0C1AB,.\D为AB的中点，仪

则AB=2AD=2^oa2-qd^^2-1屮

故答案为：

2V3.卩

【点评】此题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键.

25、【答案】25

【考点】垂径定理；勾股定理；切线的性质.

【分析】本题考查的是垂径定理的应用切线的性质及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键。

【解答】连接OA作OELCD于E,易得OALAB,CE=DE=2由于CD//AB得EOA三点共线，连OC,

在直角三角形OE0中,由勾股定理得OE』，从而AE=4再直角三角形AEC中由勾股定理得AC=2^5

2

26、【答案】80°

【考点】圆周角定理；垂径定理.

【分析】根据垂径定理可得点B是无中点，由圆周角定理可得/B0D=2BAC继而得出答案.

【解答】解：

：

，。

。

的直径AB与弦CD垂直，•••；=」，•••/BOD=2BAC=80.

【点评】此题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半.

27、【答案】52°

【考点】圆周角定理；垂径定理.

【分析】由0C是。

0的半径，AB是弦，且OCLAB根据垂径定理的即可求得：

「=：

■，又由圆

周角定理，即可求得答案.

【解答】解：

：

OCMOO的半径，AB是弦，且OCLAB

•••,'=：

'，•••/BOC=ZAPC=2<26°=52°.

【点评】此题考查了垂径定理与圆周角定理•此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用.

28、【答案】14-3.5=10.5

【考点】此题一般考查的是与圆有关的计算，考查有垂径定理、相交弦定理、圆心角与圆周角的关系，及扇形的面积及弧长的计算公式等知识点。

【解析】本题考查圆心角与圆周角的关系应用，中位线及最值问题。

连接OAOB因为/

1

ACB=30，所以/AOB=60，所以OA=OB=AB=7因为E、F中ACBC的中点，所以EF』AB=3.5，2

因为GE+FH=GHEF,要使GE+FH最大，而EF为定值，所以GH取最大值时GE+FH有最大值，所以当GH为直径时，GE+FH勺最大值为14-3.5=10.5

29、【答案】（3,2）

【考点】垂径定理；勾股定理.

【分析】过点P作PDLx轴于点D,连接OP先由垂径定理求出OD的长，再根据勾股定理求出PD的长，故可得出答案.

【解答】

解|过点P作PDix轴于点乩连接0P,屮

TA（6,0）?

PD10A,二。

二0曲3,心

在RtAOPD中，V0P=Vl3,0D=3,4

-P^7oP2