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1、圆的垂径定理试题附答案讲解2013中考全国100份试卷分类汇编圆的垂径定理1、（2013年潍坊市）如图，OO的直径AB=12 CD是O O的弦，CDL AB垂足为P,且BP AP=1:5, 则CD的长为（ ）.A. 4 . 2B. 8、, 2 C. 2 . 5 D. 4、52、（2013年黄石）如右图，在Rt ABC中,AC =3，BC =4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为（厉 BA.9 B.524 C.518 D.53、（2013河南省）如图，CD是结论中不一定正确的是（ ）O的直径,弦AB _ CD于点G,直线EF与O相切与点D,则下列BDA. AG = BG B

2、. AB/ BF C.AD / BCD. / ABC= ADC已知。0的直径CD=10cm AB是。0的弦，AB丄CD垂足为 M 且AB=8cm贝U ACB. 匚！ cm如图，已知半径C. XI cm或匚！ cm D. 】；1：cm或 虬 二cmOD与弦AB互相垂直，垂足为点 C,若AB=8cm CD=3cm则圆O4、 （2013?泸州）的长为（）A. 】cm5、 （2013?广安）A. ：cm6B. 5cm1 cm6石拱桥的桥顶到水面的距离 CD为8m,桥拱半径OC为C. 4cm D.& （2013?绍兴）绍兴市著名的桥乡，如图,5n,则水面宽AB%（ ）A. 4m B. 5m C. 6m

3、D. 8m7、（2013?温州）如图，在OO中，OCL弦AB于点C, AB=4 OC=1贝U OB的长是（ ）A. : B. C. D. 皿8、（2013?嘉兴）如图，OO的半径ODL弦AB于点C,连结AO并延长交OO于点E,连结EC.若AB=8 CD=2 贝U EC的长为（ ）9、（2013?莱芜）将半径为3cm的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心 O,用图中阴影部分 的扇形围成一个圆锥的侧面，贝U这个圆锥的高为（ ）11、（2013浙江丽水）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径 OB=10水面宽AB=16面圆心O到水面的距离OC是A. 4 B. 5 C.6 D.812、（201

4、3?宜昌）如图，DC是OO直径，弦AB丄CD于 F，连接BQ DB则下列结论错误的是（DA. AD = BD B. AF=BF C. OF=CF D. / DBC=9013、（2013?毕节地区）如图在OO中，弦AB=8 OCLAB垂足为C,且OC=3则OO的半径（14、（2013?南宁）如图，AB是OO的直径，弦CD交AB于点E,且AE=CD=, / BAC= / BOD则OO215、（2013年佛山）半径为3的圆中，一条弦长为4,则圆心到这条弦的距离是（ ）A.3 B.4 C. , 5 D. .一 716、（ 2013甘肃兰州4分、12）如图是一圆柱形输水管的横截面，阴影部分为有水部分，如

5、果水17、 （2013?内江）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（ 13, 0），直线y=kx - 3k+4 与OO交于B C两点，则弦BC的长的最小值为 .18、 （13年安徽省4分、10）如图，点P是等边三角形ABC外接圆O O上的点，在以下判断中，不. 正确的是（ ）h当眩最长叭 AAPC是等腰三角形。当AAPC是尊腰三角形吋，P01 AC.C.当 P01AC 时，ZACP=30:.D.当ZACP=30 APBC是直角三角形E.19、 （2013?宁波）如图，AE是半圆O的直径，弦AB=BC=4，弦CD=DE=4连结OB OD则图中两个阴影部分的面积和为 .22、（ 20

6、13?株洲）如图AB是OO的直径，/ BAC=42，点D是弦AC的中点，则/DOCK度数是 度.23、（2013?黄冈）如图，M是CD的中点，EML CD若CD=4 EM=8则硕所在圆的半径为 24、（2013?绥化）如图，在OO中，弦AB垂直平分半径OC垂足为D,若OO的半径为2,则弦AB 的长为25、（2013哈尔滨）如图，直线 AB与OO相切于点A, AC CD是O O的两条弦，且CD/ AB,若O O 的半径为5，CD=4则弦AC的长为226、 （2013?张家界）如图，OO 的直径AB与弦CD垂直，且/ BAC=40，则/ BOD= .27、 （2013?遵义）如图，OC是OO的半径

7、，AB是弦，且OCLAB点P在OO上，/ APC=26，则 /BOC=度.28、（ 2013陕西）如图，AB是O O的一条弦，点C是O O上一动点，且/ ACB=30，点E、F分别 是AC BC的中点，直线EF与O O交于G H两点，若O O的半径为7,则GE+FH勺最大值为 .29、（ 2013年广州市）如图7,在平面直角坐标系中，点 O为坐标原点，点P在第一象限，P与30、（2013年深圳市）如图5所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥 在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在图的半径的活动。小刚身高 1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为

8、1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的31、(2013?白银)如图，在OO中，半径OC垂直于弦AB垂足为点E.(1)若 OC=5 AB=8 求 tan / BAQ(2)若/ DACh BAC且点D在OO的外部，判断直线AD与OO的位置关系，并加以证明.32、(2013?黔西南州)如图，AB是OO的直径，弦 CELAB与点E,点P在OO上，/仁/ C,(1)求证：CB/ PD3(2)若 BC=3 sin / P=3，求OO 的直径.533、(2013?恩施州)如图所示，AB是OO的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CDLAB 于点D, CD交AE于点F,过C作CG/ AE交

9、BA的延长线于点G. (2)求证：AF=CF (3)若/ EAB=30 , CF=2 求 GA的长.34、(2013?资阳)在OO中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦 AC翻折交AB于点D,连结CD(1) (2)参考答案1、 【答案】D.【考点】垂径定理与勾股定理【点评】连接圆的半径，构造直角三角形，再利用勾股定理与垂径定理解决 2、 【答案】C【解析】由勾股定理得 A吐5,则si nA =-，作CEL AD于E,则AE= DE在Rt AEC中， 5sinA =箜，即 4 = CE，所以，CE= 12，AE= 9，所以，AD= 18 AC 5 3 5 5 53、 【答案】C【解析】由垂径

10、定理可知:A 一定正确。由题可知：EFL CD又因为AB丄CD所以AB/ EF,即B 定正确。因为/ ABC和/ADC所对的弧是劣弧，AC根据同弧所对的圆周角相等可知 D一定正确。4、 【答案】C【考点】垂径定理；勾股定理.【专题】分类讨论【分析】先根据题意画出图形，由于点 C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论【解答】解：连接AC, AO/O 的直径 CD=10cm AB丄CD AB=8cm 二 AM=ABX 8=4cm OD=OC=5qm当C点位置如图1所示时，t OA=5cm AM=4cm CDL ABOM= ”=_ ,=3cm，二 CM=OC+OM=5+3=8cm AC= = . T

11、 -=4 cm当C点位置如图2所示时，同理可得 OM=3cm I OC=5cm - MC=5 3=2cm，191 192【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键5、【答案】A【考点】垂径定理；勾股定理.【分析】连接AO根据垂径定理可知 AC=AB=4cm设半径为x，则OC=k 3,根据勾股定理即可求得x的值【点评】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握垂径定理、勾股定 理的内容，难度一般6【答案】D【考点】垂径定理的应用；勾股定理.【分析】连接0A根据桥拱半径0C为5n，求出0A=5m根据CD=8m求出0D=3，根据AD= 7 求

12、出AD最后根据AB=2AD即可得出答案.【解答】解：连接0拟丁桥拱半径0C为阪TCD二弧屮p.0D=8 - 二 ADf/。八。皤洁 _ 3口皿 /-AB=2AD=2X4=S (w)【点评】此题考查了垂径定理的应用，关键是根据题意做出辅助线，用到的知识点是垂径定理、 勾股定理.7、【答案】B【考点】垂径定理；勾股定理.【分析】根据垂径定理可得 AC=BC=AB,在Rt OBC中可求出0BC=AB,在 Rt OBC中, 0B=厂 J厂二二匸.【解答】解：OCL弦AB于点C,. AC=B【点评】本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握垂径定理的内容8、【答案】D【考点】垂径定理；

13、勾股定理；圆周角定理【分析】先根据垂径定理求出 AC的长，设。0的半径为r，则OC=r- 2,由勾股定理即可得出r 的值，故可得出AE的长，连接BE由圆周角定理可知/ ABE=90，在Rt BCE中，根据勾股定理 即可求出CE的长.【解答】W： -0的半径0D丄弦AB于点匚AB=8, .-.AC=AB=4J屮设00 的半径为则 0C=r - 2,在 RtAAOC 中，TAC二4, 0C=r - 2, .-.OA:=AC:+OC 即 r:=4:+ Cr - 2）解得 r=5, .AE=2r=10）小 连接BE, TAE是的直径,.-.ZABE=90 ,在中，* .AE=10, AB=8, BE=

14、AE2 _ABfc102 - sfc6,亠在皿磁.中，BE=6） BC=4,二隹二JbeJb产后再戈五【点评】本题考查的是垂径定理及勾股定理， 根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此 题的关键9、【答案】A【考点】圆锥的计算.【分析】过O点作OCLAB垂足为D,交。0于点C,由折叠的性质可知 OD为半径的一半，而 OA为半径，可求/ A=30 ,同理可得/ B=30 ,在厶AOB中，由内角和定理求/ AOB然后求得弧AB的长，利用弧长公式求得围成的圆锥的底面半径，最后利用勾股定理求得其高即可. 【解答】解：过0点作0C1AB,垂足为D,交00于点C,亠由折叠的性质可知，OD=OC=OA,

15、由此可得，在皿规中，ZA=30 ,同理可得ZB=30，屮 在ZXAOB中，由內甬和定理，得ZA0B=180o - ZA - ZB=120.弧AB的长为1SOKX3=2K设围成的圆锥的底面半径为180则27Tr=27l.-.r=lciri.-圆锥的高为冷护一严近【点评】本题考查了垂径定理，折叠的性质，特殊直角三角形的判断.关键是由折叠的性质得出含 30的直角三角形10、【答案】C【考点】垂径定理；勾股定理.【分析】连接OC先根据垂径定理求出PC的长，再根据勾股定理即可得出 OC的长【解答】解：连接 OC, VCD1AB, CD=8. APC=CD=X8=4（ 在 RtAOCP 中,TPO4, 0

16、片3, * 0C二 J PC 2 + OP A J 4 2+3 上 5 屮【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键11、【答案】C【考点】垂径定理；勾股定理.【分析】根据垂径定理得出 A吐2BC再根据勾股定理求出OC的长【解答】解：OCLAB,A吐16,二BC等于】2 AB= 8。在 Rt BOC中, OB= 10, BO 8,= = JIJ =飞。12、【答案】C【考点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理【分析】根据垂径定理可判断 A、B,根据圆周角定理可判断 D,继而可得出答案.【解答】 DC是。0直径，弦AB丄CD于 F,.点D是优弧AB

17、的中点，点C是劣弧AB的中点,A 、五二範，正确，故本选项错误；B、AF=BF正确，故本选项错误；C 、OF=CF不能得出，错误，故本选项错误； D / DBC=90，正确，故本选项错误； 【点评】本题考查了垂径定理及圆周角定理，解答本题的关键是熟练掌握垂径定理、圆周角定 理的内容，难度一般13、【答案】A【考点】垂径定理；勾股定理.【分析】连接OB先根据垂径定理求出BC的长，在Rt OBC中利用勾股定理即可得出 OB的长 度【解答】（ 军 ） 解；连接 OB, VOC1AB, AB=8；J .BC=AB=X8=4,在 中，0B珂 C 2+OB = J 3 ? + 4 匕徭【点评】本题考查的是

18、垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键14、【答案】B【考点】垂径定理；勾股定理；圆周角定理.【分析】先根据/ BAC= / BOD得出： =，故可得出ABICD,由垂径定理即可求出DE的长,2再根据勾股定理即可得出结论【解答】解：I/ BAC= / BODCS，二 AB丄 CD ： AE=CD=,二 DE冷 CD=4 设 OD=,则 OE=AEr=8 - r，在 RtODE中, OD=, DE=4 OE=8- r, 9D=dE+oE, 即卩 r2=42+ (8 - r) 2,解得 r=5 .【点评】本题考查的是垂径定理及圆周角定理，熟知平分弦(不是直径)的直径垂直于弦

19、，并 且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键15、 【答案】C【考点】垂径定理；勾股定理.【分析】过点0作ODL AB于点D,由垂径定理可求出BD的长，在Rt BOD中，禾U用勾股定理 即可得出0D的长【解答】解：如图所示：过点0作0D1AB于点6 .05=3, AB二3, 0DJ.AB,二BD二AB二 X4二2, 在 RtZBOD 中，0D=Joe&口 上 _ 2【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意画出图形，利用勾股定理求出OD的长是解答此题的 关键16、 【答案】C【考点】垂径定理；勾股定理.【分析】过点O作ODLAB于点D,连接OA由垂径定理可知 AD=AB设OA二r,贝U OD=r-

20、2,2在Rt AOD中，利用勾股定理即可求r的值.【解答】解；如图所示；过点0作0D1AB于点D,连接0A,T 0D1AB,二 AD二丄AB二丄X 8=4cm,设 0A二“ 则 0D=r - 2,2 2在 RtAAOD 中，O4OD：+AD：,即 (r - 2)十4打解得 r=5cm.【点评】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形 是解答此题的关键.17、【答案】24【考点】一次函数综合题.【分析】根据直线y=kx -3k+4必过点D (3, 4)，求出最短的弦CD是过点D且与该圆直径垂 直的弦，再求出OD的长，再根据以原点 O为圆心的圆过点A (13, 0

21、),求出OB的长，再利用勾 股定理求出BD,即可得出答案.【解答】解；T直线y=kx - 3k+4必过点D(3, 4), 最短的弦CD是过点D且与该圆直径垂直的弦, 丁点D的坐标是3, 4)。.：0D二5,T以原点0为圆心的圆过点A (13, 0),二圆的半径为1気.06=13, ABD=12,BC的长的最小值为24；【点评】此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是垂径定理、勾股定理、圆的有关性质, 关键是求出BC最短时的位置.18、 【答案】C【考点】圆和等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，三角形 内角和定理。【分析】根据圆和等边三角形的性质逐一作出判断： 当弦P

22、B最长时，PB是。O的直径，所以根据等边三角形的性质， BP垂直平分AC，从而根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质得 P心PC即厶APC是等腰三角形，判断A正确；当厶APC是等腰三角形时，根据垂径定理，得 PCLAC判断B正确；当PCI AC时，若点P在优弧AC上，则点P与点B重合，/ ACP= 60,则/ ACP= 60, 判断C错误；当/ACP= 30 时，/ ABP=Z AC圧 30，又/ ABG60，从而/ PBG 30 ;又/ BAC =60，所以，/ BCP= 90,即厶PBC是直角三角形，判断 D正确。19、 【答案】10 n【考点】扇形面积的计算；勾股定理；垂径定理

23、；圆心角、弧、弦的关系.【分析】根据弦 AB=BC弦CD=DE可得/ BCD=90，/ BCD=90，过点 O作OHBC于点F, OGLCD于点G,在四边形OFCC中可得/ FCD=135，过点C作CN/ OF交OG于点 N,判断 CNG OMN为等腰直角三角形，分别求出 NG ON继而得出OG在Rt OG冲求出OD即得圆O的半 径，代入扇形面积公式求解即可.【解答】解；T弦AB=BC,弦CD=DE,点B是弧就的中点，点D是弧CE的中点， ZB0D=90* ,过点 0 作 0F1BC 于点 F, 0G1CD 于点 G,屮则 BF二FG二2迈，CG二肛I二Z ZF0G=45fi ,衽四边形 OF

24、CG 中，ZFCD=1356 , 过点 C 作 CN/0F,交 0G 于点 N.则ZFCNWF , ZhICG二 13兰-90a 二45, Acng为等腰三角形，二血贻乙卩过点N作N1I110F于点乩则MN-FC-2V2,卜衽琴腰三角形 中，/.0G=0N+NG=6,屮在Mass申o叫跖乔后庐圆o的半径为2血故50“叱躱匝二”,360【点评】本题考查了扇形的面积计算、勾股定理、垂径定理及圆心角、弧之间的关系，综合考 察的知识点较多，解答本题的关键是求出圆 0的半径，此题难度较大20、 【答案】 2 =【考点】垂径定理；勾股定理.【分析】通过作辅助线，过点 O作ODL AB交AB于点D,根据折叠

25、的性质可知 OA=2O,根据勾 股定理可将AD的长求出，通过垂径定理可求出 AB的长.【解答】 _解：过点0作0D1AB交AB于点D,/OA=2OD=2cm,卍二VoA2 - 0Dfc22 - 1VODlAB, .AB=2AD=2V3cid.【点评】本题综合考查垂径定理和勾股定理的运用21、【答案】28【考点】圆周角定理；垂径定理.【分析】根据垂径定理可得点 B是疋中点，由圆周角定理可得/ ADB= / BOC继而得出答案.2【解答】解：OBL AC，爲=奁，/ ADB= / BOC=282【点评】此题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这 条弧所对的圆心角的一

26、半.22、 【答案】48【考点】垂径定理【分析】根据点D是弦AC的中点，得到ODLAC，然后根据/ DOCMDOA即可求得答案.【解答】解：AB是OO 的直径，二 OA=OC / A=42O /-Z ACOMA=42TD 为 AC的中点，二 ODLAC，/Z DOC=90 -Z DCO=90 - 42 =48.【点评】本题考查了垂径定理的知识，解题的关键是根的弦的中点得到弦的垂线.23、 【答案】亠4OC由M是CD的中点，EML CD可得EMSOO的圆心点O,然后设半径为x, 8-x) 2+22=x2，解此方程即可求得答案.【考点】垂径定理；勾股定理.【分析】首先连接 由勾股定理即可求得：【解

27、答】EM1CD, AEMi*0 的圆心点 0,二 CM二 二2, 0M=8 - 0E-8 -阴2即 CS-x) ：+2:-x 解得；k二兰4二&5所在圆的半径为* H4【点评】此题考查了垂径定理以及勾股定理此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌 握数形结合思想与方程思想的应用.24、【答案】2二【考点】垂径定理；勾股定理.【分析】连接OA由AB垂直平分OC求出OD的长，再利用垂径定理得到 D为AB的中点，在 直角三角形AOD中，利用垂径定理求出 AD的长，即可确定出AB的长.【解答】解：连接0打由AB垂直平分0匚得到OD=1OC=1,2V0C1AB, .D为AB的中点，仪则 AB=2AD=

28、 2oa2 -qd2 - 1 屮故答案为：2V3.卩【点评】此题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键.25、【答案】2 5【考点】垂径定理；勾股定理；切线的性质.【分析】本题考查的是垂径定理的应用切线的性质及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出 直角三角形是解答此题的关键。【解答】连接OA作OELCD于E,易得OAL AB,CE=DE=2由于CD/ AB得EOA三点共线，连 OC,在直角三角形OE0中,由勾股定理得OE，从而AE=4再直角三角形AEC中由勾股定理得AC=25226、 【答案】80【考点】圆周角定理；垂径定理.【分析】根据垂径定理可得点 B是无中点，由圆周

29、角定理可得/ B0D=2BAC继而得出答案.【解答】解：，。的直径AB与弦CD垂直，；=，/BOD=2BAC=80 .【点评】此题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这 条弧所对的圆心角的一半.27、 【答案】52【考点】圆周角定理；垂径定理.【分析】由0C是。0的半径，AB是弦，且OCLAB根据垂径定理的即可求得： =：，又由圆周角定理，即可求得答案.【解答】解：OCMOO的半径，AB是弦，且OCLAB , = ：，/ BOC=ZAPC=226 =52.【点评】此题考查了垂径定理与圆周角定理此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用.28、 【答案】14-3.5

30、=10.5【考点】此题一般考查的是与圆有关的计算，考查有垂径定理、相交弦定理、圆心角与圆周角 的关系，及扇形的面积及弧长的计算公式等知识点。【解析】本题考查圆心角与圆周角的关系应用，中位线及最值问题。连接 OA OB因为/1ACB=30，所以/ AOB=60，所以 OA=OB=AB=7因为 E、F 中 AC BC的中点，所以 EFAB =3.5， 2因为GE+FH=GHEF,要使GE+FH最大，而EF为定值，所以GH取最大值时GE+FH有最大值，所以 当GH为直径时，GE+FH勺最大值为14-3.5=10.529、 【答案】（3, 2）【考点】垂径定理；勾股定理.【分析】过点P作PDLx轴于点D,连接OP先由垂径定理求出OD的长，再根据勾股定理求出 PD的长，故可得出答案.【解答】解|过点P作PDix轴于点乩连接0P,屮TA（6, 0）? PD 10A, 二。二0曲3,心在 RtAOPD 中，V0P=Vl3, 0D=3, 4-P7oP2