河北省石家庄市新华区第二十八中学学年九年级上学期期末数学试题及参考答案.docx
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河北省石家庄市新华区第二十八中学学年九年级上学期期末数学试题及参考答案
河北省石家庄市新华区第二十八中学2021-2022学年九年级上学期期末数学试题
学校:
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
一、单选题
1．太阳发出的光照在物体上是__________，车灯发出的光照在物体上是__________（ ）
A．平行投影，中心投影B．中心投影，平行投影
C．平行投影，平行投影D．中心投影，中心投影
2．下列事件是必然事件的是（ ）
A．打开电视机正在播放广告
B．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数为50次
C．任意一个一元二次方程都有实数根
D．在平面上任意画一个三角形，其内角和是180°
3．下列函数中，对称轴是直线x＝－2的抛物线是（）
A．y＝2x2＋2B．y＝3x2－2C．y＝－（x＋2）2＋2D．y＝5（x－2）2－2
4．做“抛掷一枚质地均匀的硬币试验”，在大量重复试验中，对于事件“正面朝上”的频率和概率，下列说法正确的是（）
A．概率等于频率B．频率等于
C．概率是随机的D．频率会在某一个常数附近摆动
5．如图，从左面看该几何体得到的形状是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．一个不透明的口袋中有4个红球，2个白球，这些球出颜色外无其他差别，则摸到红球的概率是（）
A．
B．
C．
D．
7．二次函数y＝x2＋1的图象大致是（）
A．
B．
C．
D．
8．根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）一个解的范围是（）
x
3.23
3.24
3.25
3.26
ax2+bx+c
﹣0.06
﹣0.02
0.03
0.09
A．3＜x＜3.23B．3.23＜x＜3.24C．3.24＜x＜3.25D．3.25＜x＜3.26
9．如图，一块直角三角板的30°角的顶点P落在⊙O上，两边分别交⊙O于A、B两点，若⊙O的直径为4，则弦AB长为（ ）
A．2B．3C．
D．
10．如图①，观察一个正方体骰子，其中点数1与6相对，点数2与5相对，点数3与4相对，若在图②中的①、②、③、④中的某一处画一个“·”，然后去掉其余3处后，则能围成正方体骰子的是（）
A．①B．②C．③D．④
二、填空题
11．将二次函数
化成
的形式为__________．
12．如图，⊙O的半径为1，OA＝2.5，∠OAB＝30°，则AB与⊙O的位置关系是______．
13．如图，为一块铁板余料，BC＝10cm，高AD=10cm，要用这块余料裁出一个矩形PQMN，使矩形的顶点P、N分别在边AB，AC上．顶点Q，M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为_____．
14．如图，有一块四边形的铁板余料ABCD．经测量，AB＝50cm，BC=54cm，CD＝60cm，tanB＝tanC＝
，M、N边BC上，顶点P在CD上，顶点Q在AB上，且面积最大的矩形PQMN面积为_cm2．
三、解答题
15．共享经济已经进入人们的生活．小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片（除字母和内容外，其余完全相同）．现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是 ；
（2）小沈从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率．（这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示）
16．如图
（1）是一种包装盒的表面展开图，将它围起来可得到一个几何体的模型．
（1）图
（2）是根据a，h的取值画出的几何体的主视图和俯视图，请在网格中画出该几何体的左视图；
（2）已知h＝4，求a的值和该几何体的表面积．
17．如图，AB是⊙O的直径，点E在AB的延长线上，AC平分∠DAE交⊙O于点C，AD⊥DE于点D．
（1）求证：
直线DE是⊙O的切线．
（2）如果BE=2，CE=4，求线段AD的长．
18．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知B（3，0），C（0，-3），连接BC，点P是抛物线上的一个动点．
（1）求该抛物线的函数解析式．
（2）当
PAB的面积为8时，求点P的坐标．
19．某公司销售一种商品，成本为每件30元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：
销售单价x（元）
40
60
80
日销售量y（件）
80
60
40
（1）求y与x的函数关系式；
（2）求公司销售该商品获得的最大日利润．
参考答案：
1．A
【解析】
【分析】
根据太阳发出的光线是平行光线，灯发出的光线是不平行光线．
【详解】
∵太阳发出的光是平行光线，灯发出的光线是不平行的光线，
∴太阳发出的光照在物体上是平行投影，车灯发出的光照在物体上是中心投影．
故选A．
【点睛】
本题考查了平行投影与中心投影，解题的关键是了解太阳发出的光线是平行光线，灯发出的光线是不平行光线．
2．D
【解析】
【详解】
解：
A.打开电视机正在播放广告是随机事件，故不正确；
B.投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数为50次是随机事件，故不正确；
C.任意一个一元二次方程都有实数根是随机事件，故不正确；
D.在平面上任意画一个三角形，其内角和是180°是必然事件，正确；
故选D．
3．C
【解析】
【分析】
由抛物线的顶点式可得出答案．
【详解】
∵抛物线y=ax2+c的对称轴为y轴，
∴A、B不正确；
∵抛物线y=a（x-h）2的对称轴为x=h，
∴抛物线y=-（x+2）2的对称轴为x=-2，
故选C．
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，掌握不同的解析式所对称的抛物线的对称轴是解题的关键．
4．D
【解析】
【分析】
大量反复试验时，某事件发生的频率会稳定在某个常数的附近，这个常数就叫做事件概率的估计值，而不是一种必然的结果，据此一一判断选择即可.
【详解】
A.频率只能估计概率，故此选项错误；
B.概率等于
，故此选项错误；
C.频率是随机的，随实验而变化，但概率是唯一确定的一个值，故此选项错误；
D.当实验次数很大时，频率稳定在概率附近，故此选项正确.
综上，答案选D.
【点睛】
本题考查的是频率与概率的关系，能够准确掌握二者的关系是解题的关键.
5．B
【解析】
【分析】
根据该几何体的左视图进行判断即可．
【详解】
该几何体的左视图如下
故答案为：
B．
【点睛】
本题考查了几何体的三视图，掌握三视图的性质以及画法是解题的关键．
6．D
【解析】
【分析】
根据概率公式计算可得答案．
【详解】
解：
摸到红球的概率是
，
故选：
D．
【点睛】
此题考查了概率的计算公式，熟记概率的计算公式是解题的关键．
7．B
【解析】
【分析】
利用二次函数的开口方向和顶点坐标，结合图象找出答案即可．
【详解】
解：
二次函数y＝x2＋1中，
a＝1＞0，图象开口向上，顶点坐标为（0，1），
符合条件的图象是B．
故选B．
【点睛】
此题考查二次函数的图象，掌握二次函数的性质，图象的开口方向和顶点坐标是解决问题的关键．
8．C
【解析】
【详解】
试题分析：
观察表格可知ax2+bx+c的值与0比较接近的是-0.02和0.03，相对应的x的值分别为3.24秘3.25，因此方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）一个解的范围是3.24＜x＜3.25；
故选C.
考点：
一元二次方程的解
9．A
【解析】
【分析】
连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD，根据圆周角定理得出∠D=∠P=30°，∠ABD=90°，再由直角三角形的性质即可得出结论．
【详解】
连接AO并延长交⊙O于点D，连接BD．
∵∠P=30°，∴∠D=∠P=30°．
∵AD是⊙O的直径，AD=4，∴∠ABD=90°，∴AB=
AD=2．
故选A．
【点睛】
本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
10．A
【解析】
【分析】
根据正方体的展开图的特征即可求解．
【详解】
解：
∵1与6相对，在①、②、③、④中由展开图的知识可得①的位置是6的相对面，
则能围成正方体骰子的是①．
故选A.
【点睛】
本题考查了正方体的展开与折叠．可以动手折叠看看，充分发挥空间想象能力解决也可以．
错因分析容易题.失分的原因是：
不熟悉正方体的展开与折叠.
11．
【解析】
【分析】
利用配方法整理即可得解．
【详解】
解：
，
所以
．
故答案为
．
【点睛】
本题考查了二次函数的解析式有三种形式：
（1）一般式：
为常数）；
（2）顶点式：
；
（3）交点式（与
轴）：
．
12．相离
【解析】
【详解】
解：
过点O作OM⊥AB于点M，
在△OAM中，∠OAB＝30°，OA＝2.5，
根据直角三角形中，30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半可得OM=1.25>1，即可判定AB与⊙O的位置关系是相离．
故答案为：
相离．
13．25
【解析】
【分析】
设DE=x，根据矩形的性质得到
，PQ=MN=DE，证明△APN∽△ABC，得到
，求出PN=10-x得到矩形的面积，根据二次函数的性质求解．
【详解】
解：
设DE=x，
∵四边形PQMN是矩形，AD⊥BC，
∴
，PQ=MN=DE，
∴△APN∽△ABC，
∴
，
∴
，
∴PN=10-x，
∴矩形PQMN面积=
，
∴当x=5时，矩形PQMN面积有最大值，最大值为25cm2，
故答案为：
25．
．
【点睛】
此题考查了矩形的性质，相似三角形的判定及性质，二次函数的最值，正确掌握相似三角形的判定及性质定理是解题的关键．
14．486
【解析】
【分析】
设QM=PN=4k，BM=CN=3k，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．
【详解】
解：
如图，
∵四边形MNPQ是矩形，tanB=tanC=
，
∴设QM=PN=4k，BM=CN=3k，
∴MN=54-6x，
∴S矩形MNPQ=4k（54-6k）=-24（k-
）2+486，
∵-24＜0，
∴k=
时，矩形MNPQ的面积最大，最大值为486cm2，
此时BQ=PC=5k=
，符合题意，
∴矩形MNPQ的面积的最大值为486cm2．
故答案为：
486．
【点睛】
本题考查了锐角三角函数的知识，矩形的性质，二次函数的性质等知识，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质，属于中考常考题型．
15．
（1）
；
（2）
【解析】
【分析】
（1）根据概率公式直接得出答案；
（2）根据题意先画树状图列出所有等可能的结果数，两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，根据概率公式求解可得．
【详解】
（1）∵有共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，共四张卡片，
∴小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是
，
故答案为：
；
（2）画树状图如图：
共有12种等可能的结果数，其中两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数为2，
∴抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率=
．
【点睛】
本题考查了用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：
概率=所求情况数与总情况数之比．
16．
（1）见解析
（2）a的值为2
，该几何体的表面积为16
＋24．
【解析】
【分析】
（1）根据三视图的画法即可画出该几何体的左视图；
（2）根据俯视图和主视图即可求a的值，进而可求该几何体的表面积．
（1）
解：
如图所示，图中的左视图即为所求；
（2）
解：
根据俯视图和主视图可知：
a2＋a2＝h2＝42，
解得a＝2
，
几何体的表面积为：
2ah＋
ah＋
a2×2＝16
＋24．
答：
a的值为2
，该几何体的表面积为16
＋24．
【点睛】
本题考查了作图−三视图、几何体的表面积、展开图折叠成几何体，解决本题的关键是理解立体图形和平面图形之间的关系．
17．
（1）见解析
（2）AD=
．
【解析】
【分析】
（1）连接OC，由角平分线的性质及等腰三角形的性质得出∠DAC=∠ACO，则AD∥OC，证得∠OCE=90°，则可得出结论；
（2）连接OC，设OC=x，由勾股定理得出x2+42=（2+x）2，证明△COE∽△DAE，由相似三角形的性质可求出答案．
（1）
证明：
如图1，连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠DAE，
∴∠DAC=∠OAC，
∴∠DAC=∠ACO，
∴AD∥OC，
∵AD⊥DE，
∴∠ADC=90°，
∴∠OCE=∠ADC，
∴∠OCE=90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）
解：
设OC=x，
∵BE=2，CE=4，
∴OE=2+x，
∵OC2+CE2=OE2，
∴x2+42=（2+x）2，
∴x=3，
∴OC=3，
∵AD∥OC，
∴△COE∽△DAE，
∴
，
∴
，
∴AD=
．
【点睛】
本题考查了切线的判定和性质、相似三角形的判定与性质、切线的判定、勾股定理等知识，解题的关键是学会作常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．
18．
（1）y=x2-2x-3；
（2）点P坐标为（2
+1，4）或（-2
+1，4）或（1，-4）．
【解析】
【分析】
（1）利用待定系数法可求解析式；
（2）设点P（p，p2-2p-3），由三角形的面积公式可求解．
（1）
解：
∵抛物线y=x2+bx+c经过点B（3，0），C（0，-3），
∴
，
解得：
，
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3；
（2）
解：
∵抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A，B两点，
∴0=x2-2x-3，
∴x1=-1，x2=3，
∴点A（-1，0），
∴AB=4，
设点P（p，p2-2p-3），
∵△PAB的面积为8，
∴
×4×|p2-2p-3|=8，
∴p2-2p-3=4或p2-2p-3=-4，
∴p1=2
+1，p2=-2
+1，p3=1，
∴点P坐标为（2
+1，4）或（-2
+1，4）或（1，-4）．
【点睛】
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质，三角形的面积公式等知识，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
19．
（1）y=-x+120；
（2）最大日利润是2025元．
【解析】
【分析】
（1）根据题中所给的表格中的数据，利用待定系数法可得其关系式，也可以根据关系直接写出关系式；
（2）根据利润等于每件的利润乘以件数，再利用配方法求得其最值．
（1）
解：
设解析式为y=kx+b，
将（40，80）和（60，60）代入，可得
，
解得：
，
所以y与x的关系式为y=-x+120；
（2）
解：
设公司销售该商品获得的日利润为w元，
w=（x-30）y=（x-30）（-x+120）
=-x2+150x-3600
=-（x-75）2+2025，
∵x-30≥0，-x+120≥0，
∴30≤x≤120，
∵-1＜0，
∴抛物线开口向下，函数有最大值，
∴当x=75时，w最大=2025，
答：
当销售单价是75元时，最大日利润是2025元．
【点睛】
本题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有一次函数解析式的求解，二次函数的应用，在解题的过程中，注意正确找出等量关系是解题的关键，属于基础题目．
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