强基计划第4讲计数原理与二项式定理学生版.docx
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强基计划第4讲计数原理与二项式定理学生版
❑环染色
•环染色问题
用k种不同的颜色将含有n（n“3）个部分的圆环染色，要求相邻的部分染不同的颜色，求所有可能的染色方案数an．
•变异的环染色问题
用k种不同的颜色将含有n（n“3）个部分的圆环以及中心染色，要求相邻的部分染不同的颜色，求所有可能的染色方案数an．
❑欧拉错排
•欧拉错排
错排问题是组合数学中的问题之一，考虑有n个元素的排列，如果一个排列中所有元素都不在自己原来的位置上，即a1,a2,···,an是1,2,···,n的一个排列，且满足
∀i=1,2,···,n,ai̸=i,
那么这样的排列就称为原排列的一个错排．n个元素的错排数记为D（n），研究一个排列错排个数的问题称为错排问题，因为这个问题最早被伯努利和欧拉研究，所以也称为伯努利-欧拉错排问题．
•错排数公式
由递推公式或通项公式知
D
（1）=0,D
（2）=1,D（3）=2,D（4）=9,D（5）=44,D（6）=265.
❑卡特兰数
•卡特兰数的定义
卡特兰数（Catalan）来源于卡特兰解决凸n+2边形的剖分时得到的数列Cn，在数学竞赛、信息学竞赛、组合数学、计算机编程等方面都会有其不同侧面的介绍．卡特兰问题的解决过程应用了大量的映射方法，堪称计数的映射方法的典范．
•卡特兰数的性质
1.通项公式一
C=1Cn
=Cn
−Cn−1;
2.通项公式二
nn+1
2n2n2n
n
C=1Σ.CiΣ2.
3.递推公式一
nn+1
n
i=0
且C0=1；
4.递推公式二
Cn+1=
2（2n+1）
n+2Cn,
Σ
n
且C0=1．
❑二项式定理
•二项式定理
Cn+1=CiCn−i,
i=0
n
它一共有n+1项，其中各项系数Cr（r=0,1,···,n）叫做展开式的二项式系数．
•二项展开式的通项
二项展开式的第r+1项称为通项，为
n
Tr+1=Cran−rbr（0™r™n,r∈N,n∈N+）
❑环染色
❑欧拉错排
+例题5
正整数1,2,3,···,n的全排列（a1,a2,···,an）满足ai
项更列的个数为xn，下列命题正确的是（）
A.xn=（n−1）（xn−1+xn−2）（n“3）
i（i=1,2,···,n）称为n项更列，记n
B.xn=n!
−C0x0−C1x1−···−Cn−2xn−2（n“3,x0=1,x1=0）
nnn
Σ·
ni
C.xn
=n!
（−1）
i!
i=2
n
D.xn=n!
·
Σi=2
（−1）i−1
i!
❑卡特兰数
❑二项式定理
1.定义“规范01数列”{an}如下：
{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k™2m，
a1,a2,···,ak中0的个数不少于1的个数．若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）
A.18个B.16个C.14个D.12个
2.4封不同的信放入4只写好地址的信封中，全部装错的概率为，恰好只有一封装错的概率为．
3.在.1+2x−x2Σ4的二项展开式中x7的系数是．
1.C．
2.9
24
，0．
3.−8．
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