单摆与复摆.docx
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单摆与复摆
单摆与复摆读书报告
一、知识点简介
绕一个悬点来回摆动的物体，都称为摆，其周期一般和物体的形状、大小及密度的分布有关。
但若把尺寸很小的质块悬于一端固定的长度为I且不能伸长的
细绳上，把质块拉离平衡位置，使细绳和过悬点铅垂线所成角度小于5，放手
后质块往复振动，可视为质点的振动，其周期T只和绳长I和当地的重力加速度g有关，而与质块的质量、形状和振幅的大小都无关。
其运动状态可用简谐振动公式表示，称为单摆或数学摆。
如果振动的角度大于5，则摆不再做简谐振动，
振动的周期将随振幅的增加而变大。
复摆是一刚体绕固定的水平轴在重力的作用下作微小摆动的动力运动体系，又称物理摆。
复摆的周期与摆球的尺寸有关。
二、该知识点提出的背景
摆与其性质是由伽利略发现并进行初步研究的。
在意大利的比萨城里，17
岁的大学生伽利略在教堂时无意中观察到悬在天花板上的挂灯摆动逐渐平息的过程中，每次摆动所用的时间并不改变。
这一发现引起了伽利略的思考：
是不是其他的摆动也跟吊灯相似，摆动一次的时间跟摆动幅度没关系？
吊灯的轻重是否会影响摆动一次的时间？
伽利略通过脉搏计时，数着吊灯的摆动次数。
吊灯的摆动幅度、摆动速度不同，但两次测量的时间是相同的。
回家后，他继续研究，发现并提出了单摆的等时性，即小角度振动的单摆的周期与质块的质量、形状和振幅无关，并通过实验求得单摆的周期随摆线长度的二次方根而变动。
在此基础上，
荷兰数学家、物理学家惠更斯经过长期的研究，发现了单摆的周期规律，确定了单摆做简谐运动的周期公式，此公式为单摆做简谐运动时的周期T与摆长I、重力加速度g之间的定量关系。
如摆球的尺寸相当大，绳的质量不能忽略，在重力作用下，摆球为绕通过自身某固定水平轴摆动，视为刚体运动，当摆角不同时其运动方程的解也不同。
三、建立该知识点所经历的困难
首先，伽利略实验所用的大小不同的木球、铁球、石块、铜球，体积都较大，并不能很好地视其为质点，且绳子与小球连接起来也有困难，对摆线的长度也有
误差影响。
其次，最为困难的是没有标准的计时工具。
伽利略按自己脉搏的跳动来计时，发现它们往复运动的时间总是相等的。
伽利略无法精确地得到单摆的周期公式。
惠更斯在重复伽利略的实验时发现，单摆的等时性只是近似成立，当摆动幅度增大时，摆的周期就会变化。
惠更斯出众的数学才能帮助他解决了这一困难。
他通过精心研究从理论上证明，真正等时的摆，摆动轨迹是一条摆线•他通过严密的数学计算得到，要使摆动轨迹成一条摆线，单摆摆动时就必须按照一定的规律改变摆线悬点的位置，建立了摆运动的数学理论。
四、对该知识点的描述以及我的理解
单摆：
设质点的质量为m，绳长为I，当绳偏离竖直方向角时，质点受重力和绳的张力作用，重力的切向分力mgsin决定质点沿圆周的切向加速度，通过角
动量定理得到摆角关于时间的函数。
由此可得质点的切向
运动方程为
d2
ml——2mgsin
dt2
（1）
式中负号表示切向加速度总与摆角增大的方向相反。
1、当很小时，sin
，忽略阻力，式
（1）变为
ml
d2
dt2
mg
整理后得
（2）
d2dt2
而弹簧阵子运动所满足的方程为
（3）
咚2x0
dt2
（2）与（3）有相同的形式，因此小角度的单摆也做简谐运动。
方程（3）是一个二阶常系数线性齐次微分方程，其通解为Acos（t
式中A、为任意常数，由初值条件给定。
于是单摆的非线性的运动被线性地近似为简谐运动
cos（t）
式中
单摆的周期T21
\g
结论：
当单摆做小角度振动时，单摆的周期
T
完全决定于振动系
所以伽利略的结论：
单摆的周期随摆线长度的二次方根而变动得到了验证,并得到了进一步的修正与改进。
统本身的性质，仅与重力加速度g和摆长I有关，而与摆球的质量m无关
小角度的范围：
因为50.087266rad，sin50.087156，故通常规定振动
角度5时单摆做简谐运动。
2、当不是很小时，sin
35
3!
5!
……，物体所收的回复力与摆角
不成
简单的正比关系，因此物体也不再做简谐运动。
任意角度下单摆的周期公式的推导（忽略阻力）：
设摆长为I,摆线与竖直方向的夹角为，那么单摆的运动公式为:
J，于是有◎」总
dtdt2dtd/
dwd
⑵式改写成：
dgsin0dl
分离变量得：
2d2gsind
l
其通解为：
22gcosC
l
给定初始条件t0（0）,t00
则其特解为:
g
2—（cos
l
s"
（2））
设sin
sin—
2
，则t
sin
2
2arcsin（sin
化简得到
sin2—sin
2
2
2\g0
^2
d
sin）,———
2d-
J1
1T
4
d
.2.2sinsin
2
2cos
sin—
2
.2.2
sin—sin
2
g2
cos）4—（sin（—）
l2
2
」1sin—sin2
T4t4F（sin-,—）
\g22
其中F（k,）
1
0<1k2sin2
周期可以用级数表示成:
2
1
1sin-
22
2
・4
sin
2
.6sin-2
为摆角，F（sin—,—）为第一类完全椭圆积分
22
结论：
单摆大角度摆动的周期与单摆的摆角、绳长l和当地的重力加速度g
有关。
3、在实际的振动过程中，单摆会受到阻力的作用，称为阻尼振动。
因为小角度单摆可以参考弹簧振子的运动，所以弹簧振子在弹性力和黏滞阻
力的作用下，其运动方程为
d2x
m——2
dt2
kxv，
为与阻尼介质有关的比例系数。
dxm
dt
定义阻尼系数
——，固有圆频率0
2m
k，则
m
d2xdx
孑2d
在只存在阻力的情况下,
物体的动力学方程为
d22x2dx0
dt2dt
作变量代换［I
dvdt
dxv，则
dt
dV2v0
dt
分离变量并积分,
vdv
v0v
t
dt
0
解得vvoe
（4）的试探解
tcos（
（5）
将其代入（4）可知,
只有
022时，（5）才是（4）的解。
因此振子作阻尼振动的运动学方程为
xA°etcosj022t0）
其周期定义为相邻两个振动位移极大值间的时间间隔，即T
阻尼运动的周期大于无阻尼运动振动周期。
2可知，只有202（称为弱阻尼）时，（5）成立。
当阻
尼过大以致202（称为过阻尼）或者202（成为临界阻尼）时，振子只能由初始位置慢慢回到平衡位置而静止，此时运动已不再有周期性。
所以单摆小角度阻尼振动的周期为T
2
复摆:
复摆做的是刚体运动，如图所示。
若复摆的转动惯量为J，质量为m，质心C到固定转轴的垂直距离为h。
d2
dt2
mghsin
1、当摆角较小时，sin
，忽略阻力，复摆的运动方程为
d2
dt2
mghsin
mgh
由刚体定轴转动定理得
即mgho⑹
dt2J
式中豊h
由（4）可知，在摆角较小的情况下，复摆的运动也是简谐运动，其运动学方程为
cos（t）
周期为T
2、当复摆摆角较大时，忽略阻力，其运动的微分方程为J一mghsin
dt2
方程不存在解析解，只能用数值解法求解这一方程。
将上述方程简化为两个
d_
一阶微分方程，即dt
d_mghsin
dt
然后可以用计算精度较高的龙格-库塔法求解，编写程序输出结果。
个人理解：
在无阻力情况下单摆根据摆角不同可分为两种情况。
当摆角小于等于
5度时，近似推导出单摆做简谐振动，且周期为T21，只与重力加速度g以
\g
及摆线长度I有关。
当单摆振幅变大时，不再做简谐振动，根据数学推导，可得出其周期与振幅有关，振幅越大，周期也随之增大。
当考虑阻力时，小角度单摆做阻尼振动，在弱阻尼条件下阻尼振动的周期大于无阻尼振动周期，T22，°jg。
而过阻尼与临界阻尼时已不作周期性运动。
P0
而复摆是绕不通过质心的水平固定轴摆动的刚体，忽略阻力时，根据MJ
得出运动方程。
当摆角较小时，近似推导出复摆的运动也是简谐振动，且周期T2J。
当复摆振幅变大时，方程不存在解析解，需要通过编程来进一步
Vmgh
研究复摆的振幅对周期是否有影响。
五、其他形式
有上述讨论可知，单摆及复摆只有在做小角度摆动的情况下，其运动才是简谐振动。
其原因就在于它们所收的回复力Fsin都是非线性力。
若很小，
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则可作泰勒公式展开并略去高阶项，sin...，故得到简谐振
3!
5!
动满足的动力学方程式d；20o
dt
上述处理方法属于数学上的线性近似，其前提条件是趋向于0,只有在
0附近的小区域中，直线才与正弦曲线近似重合。
从势能的角度进行分析，单摆或复摆在运动的过程中重力势能的变化可以表示为Epmgrc（1cos），式中心是质心到转轴的距离。
24
由于cos1——...，在小角度摆动的情况下，略去4及以上各高阶
2!
4!
1
项，势能函数Ep；mgrC2，其形式与弹簧振子的弹性势能相仿。
所以，一个做微振动的系统一般都可以当作简谐振动处理。
六、存在的问题
1、复摆大角度振动时的运动分析问题。
由于大角度复摆的运动微分方程不存在解析解，因此在许多教材中避而不谈大角度振动。
而我则只搜寻到一种利用计算机模拟显示大角度的振动情况，但因编程知识有限而不能得出大角度的振动情况。
2、考虑阻力时，大角度单摆以及复摆的周期问题。
这个问题如今的解答都是通过计算机模拟仿真得到。
网上这方面的资料并不多，也并不完整。
七、意义及影响
在发现了摆的等时性后，伽利略很想应用摆的等时性指示时间，但是由于从事科学活动遭到了教会的迫害。
到1636年，他已经双目失明，还向荷兰政府建议试制摆钟，却没有如愿。
1656年，荷兰科学家惠更斯完成了伽利略的遗愿，不仅从理论上研究完善了钟摆及其理论，在《摆钟》（1658）及《摆式时钟或用
于时钟上的摆的运动的几何证明》（1673）中提出著名的单摆周期公式。
在研制摆钟时，他制作了一个秒摆（周期为2秒的单摆），导出了单摆的运动公式。
同时他应用摆的等时性，造出了一座带摆的时钟，利用重锤作单摆的摆锤，由于摆锤可以调节，计时就比较准确。
摆钟的出现大大提高了时钟的精确度，直至今天许多人仍在使用。
摆钟的出现也为后世科学实验时间的精确测量做出了巨大的贡献。
单摆不仅是准确测定时间的仪器，也可用来测量重力加速度的变化。
只要测出摆长I和周期T，就可以算出重力加速度。
而复摆可以应用于许多物理实验，测量重力加速度以及测量刚体的转动惯量，并运用于机械制造及生产中。
参考文献
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