浅析特殊二元一次方程组的巧妙解法.docx
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浅析特殊二元一次方程组的巧妙解法
浅析特殊二元一次方程组的巧妙解法
云南省曲靖市宣威市羊场镇初级中学 张荣芝
【摘要】解二元一次方程组最常用的方法是代人法和加减法，但对于一些特殊的二元一次方程组，若能根据方程组的特征，灵活运用一些技巧，不仅可以简化解题过程，而且有助于培养同学们的创新意识。
【关键词】二元一次方程组 巧解 创新意识 加减法
二元一次方程组的解题思路就是消元，通过消元把二元转化为一元。
消元分代入消元法和加减消元法，这是解二元一次方程组的基本方法。
解题时常遇到一些特殊形式的方程（组），它们结构巧妙而富有规律性。
此时应仔细观察题目的特点，抓住方程的结构特征或某种规律，联想一些解题方法与技巧，往往能避免常规解法带来的繁杂运算，找到较为简便的解法。
这两种方法都是从“消元”这个基本思想出发，先把“二元”转化为“一元”把解二元一次方程组的问题归结为解一元一次方程，在“消元”法中，包含了“未知”转化到“已知”的重要数学化归思想。
一、整体代入法
例1 解方程组
解：
原方程组可变形为
继续变形为 2x－3y+2x=－5
2x－3y=1
（2）代入
（1）得：
解得：
方程组的解为
再如：
2a＋b＝3
（1）
3a＋b＝4
（2）
解：
（2）式变形为（2a＋b）＋a＝4 （3）
把
（1）代入（3）得3＋a＝4
∴a＝1
把a＝1代入
（1）得b＝1
∴原方程组的解是 a＝1
b＝1
二、直接加减法 ax+by＝m
当方程组中未知数的系数具有轮换特点时，即类似于bx+ay=n 的形式，可以直接将两个方程相加、减，反复两次，然后联立得到新方程，从而巧妙地迅速求解，我们称之谓反复加减法．
例2 解方程组4x－3y＝3
（1）
3x－4y＝4
（2）
解：
（1）＋
（2）得 7x－7y＝7
∴ x－y＝1 （3）
（3）－
（2）得 x＋y＝﹣1（4）
由（3），（4）得 x＝0 x＝0
∴ y＝﹣1
再如：
可用此种方法快速求解
三、整体叠加法
例3解方程组
分析：
两个方程的第一项未知数
、
的系数相同，并且都含有
的倍数，故可将
视为一个整体，把两方程相加，先求出
的值，尔后将
的值分别代入两方程即可得解．
解：
（1）+
（2）得
3（x+y）+9（x+y）=72 x+y=6（3）
把（3）代入
（1）
（2）得3x+30=36 x=2
3y+24=36 y=4
所以原方程组的解为 x＝2
y＝4
四、消常数项法
例4解方程组
2x－5y＝﹣3
（1）
﹣4x＋y＝﹣3
（2）
解：
（1）－
（2）得
6x－6y＝0 化简得x＝y （3）
把（3）代入
（1）得y＝1 把y＝1代入
（1）
得x＝1
所以原方程组的解为 x＝1
y＝1
再如：
解方程组
五、设参数代入法
例5解方程组 x－3y＝2
（1）
x:
y=4:
3
（2）
解：
由
（2）得：
设
，则x=4k,y=3k（3）
把（3）代入
（1）得：
解得：
把
代入（3），得：
所以原方程组的解是
六、换元法
所谓换元法，就是把一个数学式子或者其中的一部分看作一个整体，用一个中间变量去代换，从而达到简化式子的目的。
例6解方程组
分析：
从该方程组的特点可以看出，把
各视为一个整体，利用换元法较为简捷。
解：
设2x＋3y＝a,2x－3y＝b 则原方程组可变形为
3a+4b＝84
2a+3b＝48
解得 a＝60
b＝-24
2x＋3y=60 x＝9
代入得 2x－3y＝-24 解得这个方程组，得y＝14
用换元法解方程组可化繁为简，不仅可减少运算量，还可以又快又准地解出方程。
七、对称方程组的解法
例7 解方程组 x／5＋y／7＝12
y／5＋x／7＝12
分析：
观察方程组不难发现，把期中任意一个方程中的两个未知数互换位置，得到的方程恰为另一个方程。
不难验证，在这种情况下将原方程组中任一方程与y＝x联立求得的解即为原方程组的解。
解：
原方程组与下列方程组的解相同
x／5＋y／7＝12
（1）
y＝x
（2）
把
（2）代入
（1）得x＝35，把x＝35代入
（2）
得y＝35
所以原方程的解为 x＝35
y＝35
八、简化系数法
例8解方程组 4x－3y=3
（1）
3x－4y=4
（2）
解：
（1）＋
（2）得：
7x－7y=7
所以x－y=1（3）
（1）－
（2）得：
x+y=－1（4）
由（3）（4）得：
其实解二元一次方程组的方法远远不止以上几种，有些二元一次方程组有特殊的结构，选择适当的方法可以使方程组的求解变得简单易行。
【参考文献】 七年级下册数学《教材1+1》；
七年级下册数学《完全解读》
简介：
姓名：
张荣芝； 性别：
女； 民族：
汉族
地址：
宣威市羊场镇初级中学 手机号：
180********
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