模型分析：
小钢球相对车向a的反方向摆起，摆至绳与竖直方向夹角θ=arctga时，达到最大速度，此位置g即是小球相对车“单摆”的平衡位置。
以车为参照，小球受到的场力除了重力G外，还有一惯性力F。
所以，此
L的轻绳静止悬挂着
时小球在车中相当于处在一个方向倾斜θ、大小变为G2F2的新“重力”的作
用，属超重情况。
这是一种“视重加速度”增加的情形。
解说：
由于摆长L未变，而g视=g2a2，如果a很小，致使最大摆角不
超过5°的话，小角度单摆可以视为简谐运动，周期也可以求出来。
答案：
小球以绳偏离竖直方向θ=arctga的角度
g为平衡位置做最大摆角为θ的单摆运动，如果θ≤5°，则小球的摆动周期为T=2πL
g2a2物理情形2：
某秋千两边绳子不等长，且悬点不等高，相关数据如图14所示，且有a2+b2=L21+L22，
试求它的周期（认为人的体积足够小）。
模型分析：
用C球替代人，它实际上是在绕AB轴摆动，类似将单摆放置在
光滑斜面上的情形。
故视重加速度g视=gcosθ=gaa2b2等效摆长l=CD，如图15所示。
22
由于a2+b2=L21+L22可知，AC⊥CB，因此不难求出
CD=LL211L2L22，最后应用单摆周期公式即可
答案：
T=2πL1L2
ag
相关变换1：
如图16所示，质量为M的车厢中用长为L的细绳悬挂着一个质量为m的小球，车轮与水平地面间的摩擦不计，试求这个系统做微小振动的周期。
分析：
我们知道，证明小角度单摆作简谐运动用到了近似处理。
在本题，也
必须充分理解“小角度”的含义，大胆地应用近似处理方法。
解法一：
以车为参照，小球将相对一个非惯性系作单摆运动，在一般方位角θ的受力如图17所示，其中惯性力F=ma，且a为车子的加速度。
由于球在垂直T方向振动，故回复力
F回=Gsinθ+Fcosθ=mgsinθ+macosθ①
*由于球作“微小”摆动，其圆周运动效应可以忽略，故有
T+Fsinθ≈mgcosθ②
再隔离车，有Tsinθ=Ma③
解①②③式得F回=mM（mmMs）ign2sin
再由于球作“微小”摆动，
sin2θ→0，所以F回=m（mM）gsin
M
④
令摆球的振动位移为x，常规处理sinθ≈xL⑤
解④⑤即得F回=m（mM）gx
ML
显然，m（mM）g=k是恒定的，所以小球作简谐运动。
最后求周期用公式
ML
即可。
解法二：
由于车和球的系统不受合外力，故系统质心无加速度。
小球可以看成是绕此质心作单摆运动，而新摆长L′会小于L。
由于质心是惯性参照系，故小球的受力、回复力的合成就很常规了。
若绳子在车内的悬挂点在正中央，则质心在水平方向上应与小球相距x=
mMMLsinθ，不难理解，
新摆长”L′=ML。
（从严谨的意义上来讲，这mM
个“摆长”并不固定：
随着车往“平衡位置”靠近，它会加长。
所以，这里的等
效摆长得出和解法一的忽略圆周运动效应事实上都是一种相对“模糊”的处理。
如果非要做精准的运算，不启用高等数学工具恐怕不行。
）
答：
T=2π（MMLm）g
相关变换2：
如图18所示，有一个均质的细圆环，
借助一些质量不计的辐条，将一个与环等质量的小球固定于环心处，然后用三根竖直的、长度均为L且不可伸长的轻绳将这个物体悬挂在天花板上，环上三个结点之间的距离相等。
试求这个物体在水平方向做微小扭动的周期。
分析：
此题的分析角度大变。
象分析其它物理问题一样，分析振动也有动力学途径和能量两种途径，此处若援用动力学途径寻求回复力系数k有相当的难度，因此启用能量分析。
本题的任务不在简谐运动的证明，而是可以直接应用简谐运动的相关结论。
根据前面的介绍，任何简谐运动的总能都可以表达为
E=1kA2
而我们对过程进行具体分析时，令最大摆角为θ（为了便于寻求参量，这里
把摆角夸大了）、环和球的质量均为m，发现最大的势能（即总能）可以表达为（参见图19）
E=2m·gL（1-cosθ）②
且振幅A可以表达为
A=2Lsin③
2
解①②③式易得：
k=
L
最后求周期时应注意，中间的球体未参与振动，故不能纳入振子质量（振子质量只有m）
、振动的合成
物理情形：
如图20所示，一个手电筒和一个屏幕的质量均为m，都被弹性系数为k的弹簧悬挂着。
平衡时手电筒的光斑恰好照在屏幕的正中央O点。
现在令手电筒和屏幕都在竖直方向上振动（无水平晃动或扭动），振动方程分别为y1=Acos（ωt+φ1），y2=Acos（ωt+φ2）。
试问：
两者初位相满足什么条件时，可以形成这样的效果：
（1）光斑相对屏幕静止不动：
（2）光斑相对屏幕作振幅为2A的振动。
模型分析：
振动的叠加包括振动的相加和相减。
这里考查光斑相对屏幕的运动事实上是寻求手电筒相对屏幕的振动，服从振动的减法。
设相对振动为y，有
y=y1-y2=Acos（ωt+φ1）-Acos（ωt+φ2）
1212
=-2Asin12sin（t12）
22
解说：
（1）光斑相对屏幕静止不动，即y=0，得φ1=φ2
φ2=±π
2）要振幅为2A，必须sin12=1，得φ1
2
答案：
初位相相同；初位相相反
相关变换：
一质点同时参与两个垂直的简谐运动，其表达式分别为x=2cos（2ωt+2φ），y=sinωt。
（1）设φ=2，求质点的轨迹方程，并在xOy平面绘出其曲线；
（2）设φ=π，轨迹曲线又怎样？
解：
两个振动方程事实已经构成了质点轨迹的参数方程，我们所要做的，只不过是消掉参数，并寻求在两个具体φ值下的特解。
在实际操作时，将这两项工作的次序颠倒会方便一些。
1）当φ=时，x=-2（1-2sin2ωt），即x=4y2-22
描图时应注意，振动的物理意义体现在：
函数的定义域-1≤y≤1（这事实上已经决定了值域-2≤x≤2）
（2）当φ=π时，同理x=2（1-2sin2ωt）=2
答：
轨迹方程分别为x=4y2-2和x=2-4y2，（b）所示——
四、简谐波的基本计算
物理情形：
一平面简谐波向-x方向传播，振幅A=6cm，圆频率ω=6πrad/s，当t=2.0s时，距原点O为12cm处的P点的振动状态为yP=3cm，且vP>0,而距原点22cm处的Q点的振动状态为yQ=0，且vQ<0。
设波长λ>10cm，求振动方程，并画出t=0时的波形图。
解说：
这是一个对波动方程进行了解的基本训练题。
简谐波方程的一般形式已经总结得出，在知道A、ω的前提下，加上本题给出的两个特解，应该足以解出v和φ值。
由一般的波动方程y=Acos〔ω（t-x）+φ〕
v
（★说明：
如果我们狭义地理解为波源就在坐标原点的话，题目给出特解是不存在的——因为波向-x方向传播——所以，此处的波源不在原点。
同学们自己理解：
由于初相φ的任意性，上面的波动方程对波源不在原点的情形也是适用的。
）
参照简谐运动的位移方程和速度方程的关系，可以得出上面波动方程所对应质点的速度（复变函数）
v=-ωAsin〔ω（t-x）+φ〕
v
代t=2.0s时P的特解，有——
yP=6cos〔6
π（2-12）
+φ〕=3，vP=
-36πsin〔6π（2-12）+φ〕
v
v
>0
即6π（2-
12）+φ=
2k1π-
①
v
3
代t=2.0s
时Q的特解，
有——
yQ=6cos〔6π（2
-22）+φ〕=0，vQ=v
-36πsin〔6π（2-22）+φ〕
v
<0
即6π
（2-
22）
v
+φ
=2k2π+
2
②
又由于
AB=
22
12=
10<λ，故k1
k2。
解①②两式易得
v=-72cm/s，φ=2（或-4）
33
所以波动方程为：
y=6cos〔6π（t+x）+2〕，且波长λ=v2=24cm
当t=0时，
723
2y=6cos（x+
123以描出y-x图象为——
答案：
波动方程为y=
〔6π（t+x）+2〕，
723时的波形图如图22所示。
相关变换：
同一媒质中有甲、乙两列平面简谐波，波源作同频率、同方向、
同振幅的振动。
两波相向传播，波长为8m，波传播方向上A、B两点相距20m，
点的位置。
解：
因为不知道甲、乙两波源的位置，设它们分别在S1和S2两点，距A、B分别为a和b，如图23所示。
它们在A、B之间P点（坐标为x）形成的振动分别为——
y甲=Acosω（t-ax）=Acos〔ωt-（a+x）〕v4
这也就是两波的波动方程（注意：
由于两式中a、b、x均是纯数，故乙波的速度矢量性也没有表达）
当甲波在A处（x=0）为波峰时，有ωt=a
4
①
此时，乙波在B处（x=20）的位相为-，有ωt-b=-
242
②
结合①②两式，得到b-a=2
所以，甲波在任意坐标x处的位相θ甲=ωt-（a+x）
4
乙波则为θ乙=ωt-（22+a-x）
4两列波因干涉而静止点，必然满足θ甲-θ乙=（2k-1）π
所以有x=13-4k，其中k=0，±1，±2，⋯
在0~20的范围内，x=1、5、9、13、17m
答：
距A点1m、5m、9m、13m、17m的五个点因干涉始终处于静止状态
思考：
此题如果不设波源的位置也是可以解的，请同学们自己尝试一下⋯
（后记：
此题直接应用波的干涉的结论——位相差的规律，如若不然，直接求y甲和y乙的叠加，解方程将会困难得多。
此外如果波源不是“同方向”振动，位相差的规律会不同。
）
2
F=2k2x2
解以上三式，得到：
F=4k1k2x，也就是说，弹簧系统新的弹性系数k=k1k2
4k1k2k1k2
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