最新高中物理竞赛振动与波习题.docx

1、最新高中物理竞赛振动与波习题高中物理竞赛振动与波习题、简谐运动的证明与周期计算物理情形：如图 5 所示，将一粗细均匀、两边开口的 U型管固定，其中装有 定量的水银，汞柱总长为 L 。当水银受到一个初始的扰动后，开始在管中振动。忽略管壁对汞的阻力，试证明汞柱做简谐运动，并求其周期。模型分析：对简谐运动的证明，只要以汞柱为对象，看它的回复力与 位移关系是否满足定义式，值得注意的是，回复力 F 系指振动方向上 的合力（而非整体合力） 。当简谐运动被证明后，回复力系数 k 就有了， 求周期就是顺理成章的事。本题中，可设汞柱两端偏离平衡位置的瞬时位移为 x 、水银密度为、 U型管横截面积为 S ，则次瞬

2、时的回复力F = g2xS = 2mg x由于 L、m为固定值，可令：2mg = k ，而且 F 与 x 的方向相反，故汞柱做简谐运动周期 T = 2 mk = 2 2Lg学生活动：如图 6 所示，两个相同的柱形滚轮平行、登高、水平放置，绕各 自的轴线等角速、 反方向地转动， 在滚轮上覆盖一块均质的木板。 已知两滚轮轴 线的距离为 L 、滚轮与木板之间的动摩擦因素为、木板的质量为 m ，且木板 放置时，重心不在两滚轮的正中央。试证明木 板做简谐运动，并求木板运动的周期。思路提示：找平衡位置（木板重心在两滚轮 中央处）力矩平衡和 F6= 0结合求两处弹力 求摩擦力合力答案：木板运动周期为 2 L

3、 。2g巩固应用：如图 7 所示，三根长度均为 L = 2.00m 地质量均匀直杆， 构成一正三角形框架 ABC，C 点悬挂在一光滑水平轴上，整个框架可绕转轴转动。 杆 AB 是一导轨，一电动松鼠可在导轨上运动。现观 察到松鼠正在导轨上运动， 而框架却静止不动， 试讨 论松鼠的运动是一种什么样的运动。解说：由于框架静止不动，松鼠在竖直方向必平 衡，即：松鼠所受框架支持力等于松鼠重力。 设松鼠的质量为 m ，即：N = mg 再回到框架，其静止平衡必满足框架所受合力矩为零。以 C点为转轴，形成 力矩的只有松鼠的压力 N、和松鼠可能加速的静摩擦力 f ，它们合力矩为零， 即：MN = Mf现考查松

4、鼠在框架上的某个一般位置（如图 7，设它在导轨方向上距 C 点为 x），上式即成：Nx = f Lsin60 解两式可得： f = 2mg x ，且 f 的方向水平向左。3L根据牛顿第三定律，这个力就是松鼠在导轨方向上的合力。如果我们以 C 在导轨上的投影点为参考点， x 就是松鼠的瞬时位移。再考虑到合力与位移的方向 因素，松鼠的合力与位移满足关系F = k x其中 k = 2mg ，对于这个系统而言， k 是固定不变的。3L显然这就是简谐运动的定义式。答案：松鼠做简谐运动。 评说：这是第十三届物理奥赛预赛试题，问法比较模糊。如果理解为定性求 解，以上答案已经足够。 但考虑到原题中还是有定量的

5、条件， 所以做进一步的定 量运算也是有必要的。譬如，我们可以求出松鼠的运动周期为： T = 2 m = 2二、典型的简谐运动1、弹簧振子物理情形：如图 8 所示，用弹性系数为 k 的轻质弹簧连着 一个质量为 m的小球，置于倾角为 的光滑斜面上。证明： 小球在弹簧方向的振动为简谐运动，并求其周期 T 。学生自己证明。周期 T = 2 mk 模型分析：这个结论表明， 弹簧振子完全可以突破放置的 方向而伸展为一个广义的概念，且伸展后不会改变运动的实 质。其次，我们还可以这样拓展：把上面的下滑力换程任何 一个恒力（如电场力） ，它的运动性质仍然不会改变。当然，这里的运动性质不变并不是所有运动参量均不改

6、变。譬如，振子的平 衡位置、振动方程还是会改变的。下面我们看另一类型的拓展物理情形：如图 9 所示，两根相同的弹性系数分别为 k1和 k2的轻质弹簧，连 接一个质量为 m的滑块，可以在光滑的水平 面上滑动。试求这个系统的振动周期 T 。解说：这里涉及的是弹簧的串、并联知 识综合。根据弹性系数的定义， 不难推导出几个弹性系数分别为 k1、k2、 kn的弹簧串、并联后的弹性系数定式（设新弹 簧系统的弹性系数为 k）串联： = 1 k i 1 k i并联：k = kii1在图 9 所示的情形中，同学们不难得出：m(k1 k2 )12 所示的系统，已再思考：如果两弹簧和钩码通过轻杆和转轴，连成了图知

7、k1 、k2 、 m 、a 、b ，再求钩码的振动周期 T 。 思路提示：探讨钩码位移和回复力关系，和“思考” 题类似。（过程备考：设右弹簧伸长 x2 ，则中间弹簧伸长 x1 =ak1钩码的位移量 x = x 1 + a x2b而钩码的回复力 F = k 1x1 结合以上三式解回复力系数 k = F x2b k1k 222a2 k1 b2 k 2，所以）答： T = 2a2 k1 b 2k 2 12 2 mb k1k 22、单摆单摆分析的基本点，在于探讨其回复力随位移的变化规律。相对原始模型的 伸展，一是关于摆长的变化，二是关于“视重加速度”的变化，以及在具体情形 中的处理。 至于复杂的摆动情

8、形研究， 往往会超出这种基本的变形， 而仅仅是在 分析方法上做适当借鉴。物理情形 1：如图 13 所示，在一辆静止的小车内用长为 一个小钢球，当小车突然获得水平方向的大小为 a 的加速 度后（ a 0 , 而距原点 22cm处的 Q点的振动状态为 yQ = 0 ，且 vQ 10cm ，求振动方程，并画出 t = 0 时的波形图。解说：这是一个对波动方程进行了解的基本训练题。简谐波方程的一般形式 已经总结得出，在知道 A、的前提下，加上本题给出的两个特解，应该足以解 出 v 和 值。由一般的波动方程 y = Acos （ t - x ） + v（说明：如果我们狭义地理解为波源就在坐标原点的话，题

9、目给出特解是 不存在的因为波向 -x 方向传播所以，此处的波源不在原点。同学们自 己理解：由于初相的任意性， 上面的波动方程对波源不在原点的情形也是适用 的。）参照简谐运动的位移方程和速度方程的关系，可以得出上面波动方程所对应 质点的速度（复变函数）v = - Asin （ t - x ） + v代 t = 2.0s 时 P 的特解，有yP = 6cos6（2 - 12 ）+ = 3 ， vP =-36 sin 6（ 2 - 12 ） + vv 0即 6 （2 -12 ）+ =2k 1 -v3代 t = 2.0s时 Q 的特解，有yQ = 6cos6（ 2- 22 ）+ = 0 ，vQ = v

10、- 36sin 6（2 - 22 ）+ v 0即 6（2 -22）v+ = 2k 2 +2又由于AB =2212 =10 ，故 k1k 2 。解两式易得v = - 72cm/s ， = 2 （或 - 4 ）33所以波动方程为： y = 6cos6（t + x ）+ 2 ，且波长 = v 2 = 24cm当 t = 0 时，72 32 y = 6cos （ x +12 3 以描出 y-x 图象为答案：波动方程为 y =6（t + x ）+ 2 ，72 3 时的波形图如图 22 所示。相关变换：同一媒质中有甲、乙两列平面简谐波，波源作同频率、同方向、同振幅的振动。两波相向传播，波长为 8m ，波传

11、播方向上 A、B两点相距 20m ，点的位置。解：因为不知道甲、乙两波源的位置， 设它们分别在 S1和 S2两点，距 A、B 分别 为 a 和 b ，如图 23 所示。它们在 A、B 之间 P 点（坐标为 x）形 成的振动分别为y 甲 = Acos （t - a x ）= Acos t - （a + x ） v4这也就是两波的波动方程（注意：由于两式中 a、b、x 均是纯数，故乙波的 速度矢量性也没有表达）当 甲 波 在 A 处 （ x = 0 ） 为 波 峰 时 ， 有 t = a4此 时， 乙 波在 B 处（x = 20）的 位相 为- ， 有 t - b = -2 4 2结合两式，得到

12、b - a = 2所以，甲波在任意坐标 x 处的位相 甲 = t - （ a + x ）4乙波则为 乙 = t - （22 + a - x ）4 两列波因干涉而静止点，必然满足 甲 - 乙 = （2k - 1 ）所以有 x = 13 - 4k ，其中 k = 0 ，1， 2，在 020的范围内， x = 1 、5、9、13、17m答：距 A 点 1m、5m、 9m、13m、 17m的五个点因干涉始终处于静止状态思考：此题如果不设波源的位置也是可以解的，请同学们自己尝试一下（后记：此题直接应用波的干涉的结论位相差的规律，如若不然，直接 求 y 甲和 y 乙的叠加，解方程将会困难得多。此外如果波源不是“同方向”振动， 位相差的规律会不同。 ）2F = 2 k 2x2解以上三式，得到： F = 4k1k 2 x ，也就是说，弹簧系统新的弹性系数 k = k1 k 24k1k 2 k1 k2