导数综合应用含标准答案.docx

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导数综合应用含标准答案

11.导数的综合应用（含答案）（高二）

1.（15北京理科）已知函数fx

【解析J

出直线方程；第二歩要证明不等式了任»2在“心11成立，可用作菱法构造函数

他）=山占-S爭神导m诫如滋区间（““上的单调性由于咖＞0,

尸G）在（真1）上为壇函麹则尸&）＞尸⑹=0,间题得证，第三歩与第二步丐法粪條均造函

数研究函数单调性，但罷宴对参敎作讨论，首先士注aa符台题貳耳农当A＞2时，环滝星题

意舍去，得出丘的S大值为丄

试题解析：

（I）

[0,2]时，F（x）

o,函数在（o,1）上位增函数，F（x）F（o）o，符

合题意;

X

（o,Xo）

Xo

（Xo,1）

F（x）

-

o

+

F（x）

极小值

/

2时，令F（x）

当k

F（x）F（o）,显然不成立,

o，Xo4一（o,1），

综上所述可知：

k的最大值为2.

考点：

1.导数的几何意义；2.利用导数研究函数的单调性，证明不等式；3.含参问题讨

2

2.（15年安徽理科）设函数f（x）Xaxb.

（1）讨论函数f（sinX）在（——,一）内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值;

22

（2）记fo（x）X2

aoX

bo,求函数

（3）在

（2）中，取

ao

bo0,求z

f（sinx）fo（sinx）在（,一）上的最大值D；

22

b业满足D1时的最大值。

4

【答案】（I）极小值为b

2

a

一；（n）

D|aao||bbo|；（n）1.

试题分析；（I）将si11A-KA/（.V）为/（sinX）=win/兀一口Tiix+if=sina（sin工一口）4占，一彳吃xv£.

"Th"7"T

农导得[/（sill.y）]'=〔kill工一叭WT,-〒M；AC寸因^-―0,-2<2sin.v<2

按d的范围分三种情况①当底时，函数/〔虽i刃单调81增，无极11一②当时，函数/GinQ单调凰赢无极值.③当-左（―V申內存在唯—的®使得】血工：

皿

Vv2时"函数;/（sinx）单调谨增.因此，-2<

时，函数八in”Q在疋处有®Ml/Oiiix：

）=/（^>d-—.（II）当-时依据统对值不等rJ.■r

■r■■

武可知I/（sinr）-jC（5inv）同@一须）5iii一卄i?

一占：

|

Asin.-^-/l,（sin.v）|在［=£弓上的最大值黃］Q斗—划+|1鼻.（lit）当D<1,剰心亠纠幻，此

<1,从而二=b-?

<1依据式子特征馬匕=Oe=h则1口；十芥且

由此碗’4送满足条件DEfcMl如.

试题解析：

（I）f（sinX）sin2xasinxbsinx（sinxa）b,—x—

22

[f（sinX）]'（2sinxa）cosx,—x—

22

因沟-諾，所

1当时，调递増，无扱值.

2当a>2,b^R^,MAsiiix）单调违滿无极值

3当在（-名彳）内存在唯一的矽使得Xinx,".

■4

疋<疋香时・函/（sinY）单调谨滅；处芝Z时，函数/（sinY）单调窿増一

因此

cm

-2

）=i?

-巳

."24

中EA■兰£时，I/（5Lnx）-/joinX）冃O”一£）sb兀十i—如勻a—呦|+]b-妬卜

与他7）<瓯-b）>0时，取x=—,等号成立，

亠

当（代-疽）©-b）uQ时,取x=--：

锌寻成总由此可知，I/（siaX）-（sin.v>|在［-彳肩］上的最夭值天）D=|口-呂丨丄|方-M

（IIBD

4

由此銅归专满足条件g的最大值如.

（n）证明：

当k<1时,

存在Xo>O,使得对任意x£（0,Xo）,恒有f（x）〉g（x）;

（川）确定k的所以可能取值，使得存在t>0，对任意的x£（0,t）,恒有|f（x）-g（x）KX2.

【答案】（I）详见解析；（n）详见解析；（川）k=1.

【解析】

试题分析：

（I）构造函数F（x）二f（x）-x二In（1+x）-x,x€（0，+00）,只需求值域的右端点并

1

求导得g1（x）二——_k

-1+x

，利用导数研究函数G（x）的形状和最值，证明当k<1时，存在x0>0,使

和0比较即可；（n）构造函数G（x）二f（x）-g（x）二In（1+x）-kx,xg（0，+00）,即G（x）0,

1+x

得G（x）0即可；（川）由（I）知，当k>1时，对于XE（0,+oo）,g（x）〉x>f（x）,故g（x）〉f（x）,则不等式|f（x）-g（x）Kx2变形为kx-ln（1+x）

M（x）二kx-ln（1+x）-x2,xe[0,畑），只需说明M（x）0,易发现函数M（x）在

k<1时，由（n）知,

此时不等式变形为

X（0,注底巫8亘）递增，而M（0）0，故不存在；当

存在X0〉0,使得对任意的任意的x£（0,X0）,恒有f（x）>g（x）,

In（1+x）-kx

X（0,rk+2）+J（k+2）+8°-k））递增，而N（0）0,不满足题意；当k=1时，代入证

明即可.

试题解析：

解法一：

（1）令F（X）二f（X）-X=1n（1+x）-x,xg（0，+®）,贝有fI（x）二丄亠」

1+X1+X

当Xe（0,+00）,Fl（x）<0,所以F（X）在（0,+00）上单调递减;

故当x>0时，F（x）0时，f（x）

当k<0Gl（x）〉0,所以G（x）在[0,+00）上单调递增，G（x）〉G（0）二0

故对任意正实数X0均满足题意.

当0<2时，令G（讥0,得x=乎十1>0•

取xo=1_1,对任意xe（O,xo）,恒有G（x）〉O,所以G（x）在［O,xo）上单调递k-

增，G（x）〉G（0）二0,即

f（x）〉g（x）.

综上，当kJ时，总存在X0>O,使得对任意的xE（O,xo）,恒有f（x）〉g（x）.

⑶当k>1时，由

（1）知，对于VXE（0,+oo）,g（x）〉x〉f（x）,故g（x）〉f（x）,|f（x）_g（x）|二g（x）-f（x）二kx_ln（l+x），

令M（x）=kx-ln（1+x）-x2,x£[0，+00），

则有Mi（x）：

k・；・2x=-2x2+（k-2）X+kT

1fX

故当X（。

，-汀加-2）?

!

8^）时，Ml（x）>0,

M（x）在[o,k-2+J（k-2）+8（k-1））上单调递增，故皿（x）>M（O）二O,

2

即|f（x）-g（x）|〉x,所以满足题意的t不存在.

当k<1时，由

（2）知存在Xo〉O,使得对任意的任意的xE（0，Xo）,恒有f（x）>g（x）.

此时|f（x）-g（x）I二f（x）-g（x）二In（1+x）-kx.

令N（x）二ln（1+x）-kx-x2,xe[0,+0C）

l+x

则有N（x）*k-2x=-2x2-（k+2）X-k+1

故当xe（o,rk+2）+（化+2）2+8

（1））时，N（x）〉o,

M（x）在[o,，（k+2）+J（k+2r+8（1一k））上单调递增，故n（x）>N（O）二O,

即f（x）・g（x）〉x2,记xo与込吐沁玉也中较小的为X1，则当xfE（O,X1）时，恒有|f（x）-g（x）|〉X2，故满足题意的t不存在.

当k=1，由

（1）知，当Xe（0,+£）,|f（x）—g（x）|二g（x）—f（X）二x-ln（1+x）,

2

令H（x）二x-ln（1+x）-x2,x€[0,+00），则有H（x）：

1■--2x=-X■X

1+X1十X

当x>0时，Hi（x）〈0,所以H（x）在［0,+00）上单调递减，故H（x）〈H（0）二0,

故当X>0时，恒有|f（X）-g（X）KX2,此时，任意实数t满足题意.

综上，k=1.

解法二：

（1）

（2）同解法

（3）当k>1时，由

（1）知，对于\/xe（O,+oo）,g（x）>x〉f（x）,,

故|f（x）-g（x）I二g（x）-f（X）二kx-ln（1+x）>kx-x二（k-1）x,

Q

令（k-1）x〉x,解得0

从而得到当k>1时，对于xE（0,k-1）恒有|f（x）-g（x）卜X2所以满足题意的t不存在.

当2时，取k,煜，从而kvkV

由

（2）知存在Xo》O,使得任意xE（0,Xo）,恒有f（x）>k1X〉kx二g（x）.

1k

此时|f（x）—g（x）|二f（x）—g（x）>（k1—k）x二亍X,

*11k

令^X>X2,解得0

^，此时f（x）-g（x）〉x2,

22

1-k

记Xo与——中较小的为X1，则当XE（0,X1）时，恒有|f（x）-g（x）|>x22

故满足题意的t不存在.

f（X）二x-ln（1+x）,

当k=1，由

（1）知，当XE（0,+£）,|f（x）—g（x）|二g（x）—

任意实数t满足题意

故当x>0时，恒有|f（x）-g（x）KX2,此时,

综上，k=1.

考点：

导数的综合应用.

4.（15年新课标2理科）设函数f（X）emxX2mx。

（1）证明：

f（X）在（，0）单调递减，在（0,）单调递增;

（2）若对于任意x,X2［1,1］，都有|f（Xi）f（X2）|e1，求m的取值范围。

解：

（1）0为/（x）-亡™〒J?

一njH,所Ujf（X）-we™千2h-Hf*/*（j0=w*c""*2＞0在Jf上恒成立』所決fW=wc^亠2工-m在R上垦_调递憎卩

而，所以jtaQ时，r（x）A0?

所以H*=0时，f⑴＜皿

在（pQ单矚遑＞；5,在⑴"）单谓遽増…

＜11）由t【》知/'（力“=畑=\、、

当叩=0时，/（je）-l+r＞此时"r］在卜!

J］上的S大值g2』

所臥业吋II「斗—1咸G当m事0时，/（=i）=砂F—i—ntryc^iI=（?

*+1■•■wX

警g（wj）■y（l}—/（—I）■會峠—总气一2'njf所LAS{朋）耳歲'亠电"**—220*

所臥飘册-/（I）•/（-L）-于-・2ffl在丘上单阴遍増*

而£（0）■0,flSCAm>0时>j（w）A0,即/（I）>/X-1”

顷臥啣时,W/fl）

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S旳》0时・I/（jcj）-yx总）hj"o）9i■厅T-W占ff-1二>ov附vi・

当榔£081,

-F**m■『*=（三耐）M总=I=-fff€1斗-I

所以，壕上侨述E的取倩范fflS（T.l）+

无最大值当20时/（x）S大值術”£=一由卄&一1一因此/；^j＞2fl-2»lno+-t7-l＜0^

文（口）=hw+dT：

则惡在（0=十卫）是增函数:

当0＜口匕1时:

^S）uO：

当门＞1时g（门）＞工因此d时取值范围是（61）.

试题解析:

解！

⑴/（X）的定义威沟（Q十巧了M二土一［若住丸测f仗）丸Jl＞）在0+巧是单调谨増!

r

h1、r1、r1、

若a＞0,5FJ当X£0,；时广（X）》0莒Xg士十盂WfWu0廊以广（X）在5丄；单闕述暉在

LaJ\oJ\aJ

r.+d单调谨减.

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（31）由（I）知当£iS03t/（X）在（0,+Q元蛊大值当t7＞0W/（x）在耳二一取得最尢值「S尢值泪a

/jlj=lii；昔+斗1-吕=-12+口一1.因此片券加一20讥+—1＜0令平）=讥&7

则朗@］在（QP）是增函魏匱

（1）=1于是「当0caul时』茁（应）＜:

0,当口nl时算⑷〉y因此N的取值范

圉是01〕.

考点：

导数的应用.