平面直角坐标系中点的坐标求法全解拔高1.docx
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平面直角坐标系中点的坐标求法全解拔高1
平面直角坐标系中点的坐标求法全解拔高1
坐标的应用（讲义）
知识点睛
I--I
IVI
JTr
每一个象限内的符号:
的坐标由两部分组成：
A、它的符号，由它在坐标B、它的长度，a的绝对值表示点到纵轴的距离，般需做横平竖直的垂线；
x相同，y相反；关于y轴对称的两个点，
x、y都相反；于x轴平行的
r*-r-i-1
A、过点做平行于x轴、y轴的垂线；
B、坐标转线段长，线段长转坐标；
4）点的存在性问题：
3平行四边形中已知三点坐标确定第四点坐标：
；
4等腰三角形中已知两点坐标确定第三点坐标：
.
精讲精练
1.如图所示，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A（-1,0）B（0,4）,顶点C,D在第二象限内，贝SC,D两点的坐标分别是
y
C
B
O
A
x
（分别过C、D两点构造双垂直模型，正方形四边均相等，因此所构造的双垂直模型都是全等三角形。
）
在平面直角坐标系中，四边形ABCD各顶点的坐标分别是A（-2,-3）B（5,-2）,C（2,4）,D（-2,2）,求四边形ABCD的周长和面积
IT—
ILI」
J-I
J_L_L-I.
（构造直角三角形，将坐标转化为线段长，利用勾股定理求出各边长即
可；将此四边形补成正方形，通过“补形以做差”，利用大正方形
面积减去三个小直角三角形面积即可。
）
9.如图，在平面直角坐标系中，已知A（0,2）,B（3,0）,C（3,4）
三点
4八、、・
（1）求厶ABC的面积.
1
（2）如果在第二象限内有一点P（m,2）,是否存在点P,使四边形ABOP的面积与厶ABC的面积相等？
若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
总结提升：
1、此题需将坐标转化为线段长，方法是：
如果两个点的连线平行于x
轴或y轴，则其线段长等于大坐标-小坐标；如果不平行，则运用两
点之间的距离公式：
L=（%-x2）2—（y-|-y2）2；
2、平面直角坐标系中，我们常使用“分割以求和”或“补形以作差”来计算面积。
比如此题就可以0A为共同的底边分割成两个小三角形求四边形的面积。
18.如图，在平面直角坐标系中，A（xi,yi）,B（X2,y2）,取线段A
的中点M，分别作A,B到x轴的垂线段AE,BF，取EF的中点N，则MN是梯形AEFB的中位线，故MN丄x轴，利用梯形中位线的知识，我们可以得到点M的坐标是（用xi,yi,X2,y2表示）.
y*
（牢记中点坐标公式）
已知点M（-4,2）,将坐标系向下平移3个单位长度，再向左平移3个单位长度，则点M在新坐标系内的坐标为.
（总结提升：
牢记点的平移和坐标系的平移不同；坐标系的平移相当于
把点向反方向平移；）
为（a,39.b）,40.则点A'的坐标4
1.
34.如图，35.#△ABC绕点C（0,36.-1）旋转180°得到△A'B'C37.设点A的坐标38.
B.（-a,-b-1）
D.（-a,-b-2）
为（）
A.（-a,-b）
C.（-a,-b+1）
（总结提升：
由于旋转180°,根据旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等，且又在一条直线上，所以我们可以利用中点坐标公式直接求出。
）
42.如图，已知A（2赢,0）,B（0,2）,把厶AOB绕点A顺时针旋转60°
后得到△AO'B'，则点B'的坐标是（）
A.（4,23）B.（23,4）
c.（、3,3）
D.（23+2,23）
（总结提升：
首先把坐标转化为线段长，可以得出三角形AO是一个含有30°角的直角三角形，又由于旋转角是60°,所以AB'垂直于横轴，再把线段长转化为坐标即可。
）
50.如图，在平面直角坐标系中，已知A（4,1）,B（0,3）,请在x轴上找一点P,使得点P到点A,B两点距离之和最小，则点P的坐标是
4
-
3*
卜B
2
-
1
-•A
O-1
■11■■J
12345’
-2
-
-3
-
x
（总结提升：
这是一个典型的奶站问题，做点B关于横轴的对称点，连接此对称点和A点，于横轴的交点就是所求的点。
求出直线的表达式，然后求出和横轴的交点即可。
）
62.如图，把一个矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，其中A（2,0）,B（2,2石）,连接OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在A'的位置上，则点A'的坐标为.
总结提升：
欲求点A'的坐标，我们可以向横轴做垂线并交横轴于G点;根据折叠的轴对称性质，折叠是一种全等变换，则/BOAhBOA'=60°,则/A'OG也=60°,则我们构造的小直角三角形是一个含有30°角的直角三角形，根据三边关系比，可求出相应线段的长，然后转化为点的坐标即可。
74.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，A点坐标为（0,2）,E是线段BC上一点，且/AEB=60°,沿AE折叠后B点落在点F处那么F点的坐标是.
（总结提升：
此题道理同上，我们过F点做横轴的平行线，与BC相交与点H;根据折叠的轴对称性质，/BEAhAEF=60，则角FEH=60,我们构造的是一个含有30°角的直角三角形，根据其三边关系比，分别求出三边的长度，然后用2-BH即是F的纵坐标，2-HF的相反数就是F的横坐标。
）
86.已知A（-2,0）,B（3,0）,C（0,-1）,以A,B,C三点为顶点
作平行四边形，则第四个顶点的坐标为：
yA
-6-5-4-3-2-1O
-1
-2
■1L■」LL
123456x
总结提升：
这是一个典型的“三个定点、一个动点”平行四边形的存在性的问题。
常用的处理模式是选择其中的一边既做边也做对角线，以便不重不漏，由于在平面直角坐标系中，我们选择横轴或纵轴上的线段，以方便计算；
若以AB为边，根据平行四边形的对边平行且相等，
1、
2、
我们过点
做AB勺平行线，则有两种情况，分别过两个D点做此平行线的垂线，则可以构造两个小直角三角形，与相应的三角形对应全等，借助于其三边的关系即可求出点D的坐标；
3、
若以AB为对角线，根据平行四边形的对边平行且相等，分别做两边的平行线相交与D点即可，然后再过D点做横轴的垂线构造直角三角形解题即可。
97.如图，在平面直角坐标系中，已知A（2,-2）,在y轴上确定点P,
使厶AOP为等腰三角形，则符合条件的点P坐标为：
（总结提升：
这是一个典型的“两个定点、一个动点”求等腰三角形的存在性的题目。
我们常用的处理模式是：
“一条线，两个圆”，也就是先做定线段0A的垂直平分线，与纵轴的交点即是其中的一个点，然后分别以两个定点为圆心，定长线段为半径画圆，与纵轴的交点即是其他的点。
当然最终还要排除上述各点中有可能重合的点。
）
如图，0为坐标原点，四边形OABC为矩形，A（6，0），C（0，2），点M是0A的中点，点P在线段BC上运动，当△OMP是腰长为3的等腰三角形时，则P点的坐标为：
总结提升：
1、根据“两个定点、一个动点”求等腰三角形的存在性的解题模型，我们先判断谁是定点，谁是动点，然后按照“一条线、两个圆”的模型解题；
2、由于此题的特殊性，一条线不再使用，我们只考虑分别以两个定点
为圆心，定长线段为半径做圆，然后过这两个圆与BC的交点向横轴
做垂线，构造直角三角形，运用勾股定理解题即可。
总共三个点。
113.如图，方格纸中的每个小方格是边长为1的正方形，A，B两点在小方格的顶点上，位置分别用（2，2），（4，3）来表示，请在小方格的顶点上确定一点C,连接AB，AC，BC,使△ABC的面积为2个平方单位，则点C的位置有个.
1
B
1
P
A
总结提升：
1、此题首先需要通过点的坐标确定原点的位置；
2、由于A、B两点是定点，而C是动点，我们先随意确定一个C点的位置，使得由此构成的三角形的面积是2;
3、根据平行线间的距离处处相等，为此我们过确定的C的位置做线段AB的平行线，这条平行线上的格点即是我们所求的点；
4、同时在线段AB的另一侧，也一定存在着另一条等距离的平行线，我们再看看有几个格点，两项相加，即是全部的点。
三、回顾与思考
【参考答案】
一、知识点睛
1.①坐标转线段长，线段长转坐标；
②过点作横平竖直的线.
2.①平移线段②一线两圆
二、精讲精练
1.（-4,5）,（-5,1）
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8
9.
10.
11.
12.
13.
14.
65
5岛5施5，T
（1）6；
（2）存在，（-3，2）
为X2%讨2
2，2
（-1,5）
D
B
（3,0）
（-1，出）
（-1,2-3）
（1,1）,（5,-1）,（-5,-1）
（0,22）,（0,-2）,（0,-2&）,（0,-4）
C-5,2）（3-5,2）,（3+角,2）
7
坐标的应用（随堂测试）
.如图，平面直角坐标系中有一矩形OABC，其中A（4爲,0）,C（0,）,若将△AOB沿OB所在直线翻折，点A落在点D处，则D点的坐标是
2.如图，在平面直角坐标系中，其中A（2,0）,/ABO=30°,在y轴上取一点P，使APAB是等腰三角形，则符合条件的点P坐标为
【参考答案】
1.（23，6）
2.（0,42廳）,（0,
2、3__
丁）（0,423）（0,2二）
坐标的应用（作业）
4.在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为（2,3）,（5,-2）,（-2,0）,求^ABC的周长和面积.
（分割以求和，补形以作差）
10.如图，已知A（0,4）,B（2,0）,把线段AB绕点A逆时针旋转90点B落在点B'处，则点B'的坐标是（）
A.（6,4）B.（4,6）C.（6,5）D.（5,6）
（构造双垂直模型解题即可）
15.如图，图形关于点D（0,-2）成中心对称，若点A的坐标是（2,3）,则点M的坐标为.
（运用中点坐标公式解题即可）
22.在平面直角坐标系中，点C坐标为（0,），点E坐标为（1,0）,将厶COE沿直线CE折叠，点O落在点D处，则点D的坐为.
（过点D故横轴的垂线，构造含30°角的直角三角形，利用其三边关系比解题即可）
30.在平面直角坐标系中，A,B,C三点的坐标分别为（0,0）,
（0,-3）,（-2,-1），以这三点为平行四边形的三个顶点，则第四个点的坐标为：
.
y*
4一
3-
2-
1-
36.如图，在平面直角坐标系中，已知点P（2,1）,点T是x轴上的一
个动点，当△PTO是等腰三角形时，点T的坐标为：
（根据“两个定点、一个动点”求等腰三角形的存在性解题模型解题即可）
41.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标为（5,4），点P为线段BC上动点，当△POA为等腰三角形时，点P的坐标为：
.
ya
C
P
9
O
A"x
47.把厶ABC放在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0,1），点B的
坐标为（2,1），点C的坐标为（4,3），如果要使△ABD与厶ABC
全等，贝S点D的坐标为：
5
A
^4
3
O
2
1
O
6
j」
1-
3-
2-
1
2
>
3，
4!
）（
、
-1
-2
-3
-4
1-51
（总结提升：
由于待求全等三角形和已知三角形有共同的边AB,因此此题实质上是一个轴对称性质的题；由于AE平行于横轴，所以我们以AB为折痕，把原三角形翻折过去，对应的点就是D点的一个位置；再做出线段AB勺垂直平分线，以之为折痕，把原三角形再翻折过去，对应点则是另一个D点的位置。
最后把翻折得到的两个三角形中的任意一个再翻折一次就可以得到第三个D点的位置。
利用中点坐标公式求即可。
）
【参考答案】
29
1屈屈5,T
2.B
3.
4.
（-2,-7）
3毎
2，2
5.（2,-3）,（-2,-7）,（-2,3）
5_
6.（4,0）,（亦,0）,（4,0）,（躬,0）
5
7.（2,4）,（3,4）,（2,4）
8.（-2,3）,（4,-1）,（-2,-1）
坐标的应用（每日一题）
1•如图所示，已知边长为1的正方形OABC在直角坐标系中，B,C两点在第二象限内，0A与x轴的夹角为60°,求点B的坐标.
Iy4
B
（注意到此题中出现了含有30°角的直角三角形，过点A分别做横
轴和纵轴的垂线，构造双垂直模型即可）
2.慧慧在一次数学课上，将一副30°,60°,90°和45°,45°,90°的三角板如图放在直角坐标系中，发现点A的坐标刚好是（93聽,0）,求图中两个三角板的交点P的坐标.
IH
（注意到此题中出现了含有30°角和45°角的特殊直角三角形，我们可以利用其三边关系比，先求出有关线段的长，然后过点P故横轴的垂线，设此垂线长为a,把OA表示为含有a的代数式，列方程解题即可。
）
3•如图所示，A（-眄,0）,B（0,1）分别为x轴，y轴上的点，△ABC为等边三角形，点P（3,a）在第一象限内，且满足2S°abp=SaABC，求a的值.
总结提升：
1、首先根据题目中提供的条件，计算出等边三角形的面积；
2、我们利用“坐标系中求三角形面积的模型”来求三角形ABP勺面积；先求出直线AP的表达式，设其与纵轴的交点是H,然后用“大坐标-小坐标”求出BH勺长，贝F角形ABP就被我们分隔成了分别以BH为共同底边的两个小三角形，的绝对值，右边小三角形的高是解题即可。
4.如图，在平面直角坐标系中，点
左边小三角形的高是A点横坐标
P点横坐标的绝对值，据此列方程
B在x轴正半轴上，点A在第一象限，
15.求A、E两点的坐
OE是厶AOB的中线，已知OB=OE=5,Saaob=标.
（总结提升：
1、为了求点E的坐标，我们过点E做横轴的垂线，根据等底同高的两个三角形面积相等，则三角形OEB勺面积等于大三角形面积的一半；然后根据三角形面积公式求出高即是E点的纵坐标，然后再用勾股定理求出其横坐标即可；
2、为了求点A勺坐标，注意到点E是AB两点的中点，代入中点坐标
公式求解即可。
）
5•如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为平行四边形，其中0为坐标原点，且点B（4,4），C（1,3），OB，AC相交于点D.
求A，D两点坐标；
求四边形OABC的面积.
总结提升:
1、根据平行四边形的性质，对角线互相平分，因此D点是0、B两点的中点，先利用中点坐标公式求出点D的坐标，再根据点D也是A、C两点的中点，代入中点坐标公式求出点A的坐标即可；
2、利用两点之间的距离公式：
L=（Xi-X2）2（yi-y2）2,分别求出有关线段的长，可以判定此平行四边形是菱形，根据菱形面积公式二两条对角线乘积的一半，分别计算出两条对角线的长度即可求出。
【参考答案】
过点B作BE丄y轴，垂足为E
•••OA与x轴的夹角为60°
•••/AOE=30°
在Rt△AOD中，OA=1,/AOD=30°
•AD二亍,OD二丁，/ADO=60°
•AB=1
•BD=1-3
_3
在Rt△BDE中,
1屈
BD=1-3，/BDE=60爲1
•DE=26,BE=2
廳1
•OE=OD+DE=2
TB在二象限
1屈疵1
•点b的坐标为（）
2•解:
c
y）i>
AO
D匸
过点P作PD丄x轴，垂足为点D
设AD=x，
在Rt△AOB和Rt△AOC,
•••/AOB=30°/OAC=45°
•PD=AD=x,OD=3x,
TA（93,3,0）,
•••0D+DA=933，即x+，3x=933x=33
即0D=9,PD=3.3
•••点P的坐标为（9,3、一3）
3.解：
c
yi
[>
AO
b.r
过点P作PD丄x轴，垂足为点D
•••A（-3,0）,B（0,1）
•OA=3,OB=1
由勾股定理得AB=2•••△ABC为等边三角形
••SaABC=4
TSaABP=
SaAOB+S梯形BODP-SaADP
1
2（1a）
31（.33）a—
2=
33a
2
T2Saabp
•x33、、3a.3
=SaABC
•a=
4.解：
设A,E两点的坐标分别为（xi,yi）（X2,y2）
15
由题意知：
B点坐标为（5,0）,Saaob=2OBy1=2y1=15
•y1=6
TOE是厶AOB的中线
二E是AB的中点
%o
y2=2=3
TOE=5,即：
x^y「=5
二X2=4
X5
2=4
--Xi=3
•••A,E两点的坐标分别为（3,6）,（4,3）
5.解：
（1）t四边形OABC为平行四边形
二D是线段OB中点
TO（0,0）,B（4,4）
二D（2,2）
又TD是线段AC中点，C（1,3）
二A（3,1）
（2）法一：
tC（1,3）,B（4,4）,A（3,1）
OC=1232、、10,0B=42一4242
0A="232"0
即OA=OC
又T四边形OABC是平行四边形
四边形OABC是菱形
.OB丄AC
在Rt△ODC中，
•/OD=2OB=^2,OC=10
由勾股定理得，CD=OC2°D2=a
.AC=2CD=^2
二S四边形OABC=
法二：
TB（4,4）,C（1,3）
...OC=J（01）2（03）2辰,bc=J（41）2（43）2后
又T四边形OABC是平行四边形
四边形OABC是菱形
tA（3,1）
...AC=7（31）2（13）22迈
又•/OB=J（04）2（04）。
4@
1
.S四边形OABC=2OBAC=8
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