高考中的函数图象及应用问题
一、已知函数解析式确定函数图象
典例:
函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=
的图象大致是________.
思维点拨 根据函数的定义域、值域、单调性和特征点确定函数图象.
解析 由函数y=f(x)的图象知,当x∈(0,2)时,f(x)≥1,所以
f(x)≤0.
又函数f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数,
所以y=
f(x)在(0,1)上是增函数,在(1,2)上是减函数.结合4个图象知,③正确.
答案 ③
温馨提醒
(1)确定函数的图象,要从函数的性质出发,利用数形结合的思想.
(2)对于给出图象的题,可以结合函数的某一性质或特殊点进行排除.
二、函数图象的变换问题
典例:
若函数y=f(x)的图象如图所示,则函数y=-f(x+1)的图象大致为________.
思维点拨 从y=f(x)的图象可先得到y=-f(x)的图象,再得y=-f(x+1)的图象.
解析 要想由y=f(x)的图象得到y=-f(x+1)的图象,需要先将y=f(x)的图象关于x轴对称得到y=-f(x)的图象,然后再向左平移一个单位得到y=-f(x+1)的图象,根据上述步骤可知③正确.
答案 ③
温馨提醒
(1)对图象的变换问题,从f(x)到f(ax+b),可以先进行平移变换,也可以先进行伸缩变换,要注意变换过程中两者的区别.
(2)图象变换也可利用特征点的变换进行确定.
三、图象应用
典例:
已知函数y=
的图象与函数y=kx-2的图象恰有两个交点,则实数k的取值范围是________.
思维点拨 先作函数y=
的图象,然后利用函数y=kx-2图象恒过点(0,-2)以及与y=
图象恰有两个交点确定k的范围.
解析 根据绝对值的意义,
y=
=
在直角坐标系中作出该函数的图象,如图中实线所示.根据图象可知,
当0答案 (0,1)∪(1,4)
温馨提醒
(1)本题求解利用了数形结合的思想,数形结合的思想包括“以形助数”或“以数辅形”两个方面,本题属于“以形助数”,是指把某些抽象的问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,解释数学问题的本质.
(2)利用函数图象也可以确定不等式解的情况,解题时可对方程或不等式适当变形,选择合适的函数进行作图.
方法与技巧
1.列表描点法是作函数图象的辅助手段,要作函数图象首先要明确函数图象的位置和形状:
(1)可通过研究函数的性质如定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性等等;
(2)可通过函数图象的变换如平移变换、对称变换、伸缩变换等;(3)可通过方程的同解变形,如作函数y=
的图象.
2.合理处理识图题与用图题
(1)识图
对于给定函数的图象,要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性,注意图象与函数解析式中参数的关系.
(2)用图
函数图象形象地显示了函数的性质,为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,它是探求解题途径