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最新高中数学知识点总结精华版优秀名师资料
高中数学知识点总结精华版
吃得苦中苦方为人上人~
高中数学第一章-集合
考试知识要点
一、知识结构:
本章知识主要分为集合、简单不等式的解法(集合化简)、简易逻辑三部分:
二、知识回顾:
(一)集合
1.基本概念:
集合、元素;有限集、无限集;空集、全集;符号的使用.
2.集合的表示法:
列举法、描述法、图形表示法.
集合元素的特征:
确定性、互异性、无序性.
集合的性质:
?
任何一个集合是它本身的子集,记为AA;
?
空集是任何集合的子集,记为A;
?
空集是任何非空集合的真子集;
如果AB,同时BA,那么A=B.
如果AB,BC,那么AC.
整数}(?
)[注]:
?
Z={整数}(?
)Z={全体
?
已知集合S中A的补集是一个有限集,则集合A也是有限集.(?
)(例:
S=N;A=N,,则CsA={0})
?
空集的补集是全集.
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?
若集合A=集合B,则CBA=,CAB=CS(CAB)=D(注:
CAB=
).
3.?
{(x,y)|xy=0,x?
R,y?
R}坐标轴上的点集.
?
{(x,y)|xy,0,x?
R,y?
R二、四象限的点集.
?
{(x,y)|xy,0,x?
R,y?
R}一、三象限的点集.
[注]:
?
对方程组解的集合应是点集.
例:
x,y3解的集合{(2,1)}.2x,3y1
?
点集与数集的交集是.(例:
A={(x,y)|y=x+1}B={y|y=x2+1}则A?
B=)
4.?
n个元素的子集有2n个.?
n个元素的真子集有2n,1个.?
n个元素的非空真子集有2n,2个.
5.?
?
一个命题的否命题为真,它的逆命题一定为真.否命题逆命题.
?
一个命题为真,则它的逆否命题一定为真.原命题逆否命题.
例:
?
若a,b5,则a2或b3应是真命题.
解:
逆否:
a=2且b=3,则a+b=5,成立,所以此命题为真.
?
x1且y2,y3.
解:
逆否:
x+y=3
x1且y2x=1或y=2.x,y3,故x,y3是x1且y2的既不是充分,又不是必要
条件.?
小范围推出大范围;大范围推不出小范围.
3.例:
若x5,x5或x2.
4.集合运算:
交、并、补.
交:
AB{x|xA,且xB}
并:
AB{x|xA或xB}
补:
CUA{xU,且xA}
5.主要性质和运算律
(1)包含关系:
AA,A,AU,CUAU,
AB,BCAC;ABA,ABB;ABA,ABB.
(2)等价关系:
ABABAABBCUABU
(3)集合的运算律:
交换律:
ABBA;ABBA.
结合律:
(AB)CA(BC);(AB)CA(BC)
分配律:
.A(BC)(AB)(AC);A(BC)(AB)(AC)0-1律:
A,AA,UAA,UAU
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等幂律:
AAA,AAA.
求补律:
A?
CUA=φA?
CUA=UCUU=φCUφ=U
反演律:
CU(A?
B)=(CUA)?
(CUB)CU(A?
B)=(CUA)?
(CUB)
6.有限集的元素个数
定义:
有限集A的元素的个数叫做集合A的基数,记为card(A)规定card(φ)=0.
基本公式:
(1)card(AB)card(A),card(B),card(AB)
(2)card(ABC)card(A),card(B),card(C),card(AB),card(BC),card(CA)
card(ABC)
(3)card(UA)=card(U)-card(A)
(二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸
1.整式不等式的解法
根轴法(零点分段法)
?
将不等式化为a0(x-x1)(x-x2)„(x-xm)>0(<0)形式,并将各因式x的系数化―+‖;(为了统一方便)
?
求根,并在数轴上表示出来;
?
由右上方穿线,经过数轴上表示各根的点(为什么,);
?
若不等式(x的系数化―+‖后)是―>0‖,则找―线‖在x轴上方的区间;若不等式是―<0‖,
则找―线‖在x轴下方的区间.
x
(自右向左正负相间)
则不等式a0xn,a1xn,1,a2xn,2,,an0(0)(a00)的解可以根据各区间的符号确定.
特例?
一元一次不等式ax>b解的讨论;
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2.分式不等式的解法
(1)标准化:
移项通分化为f(x)f(x)f(x)f(x)>0(或<0);?
0(或?
0)的形式,g(x)g(x)g(x)g(x)
(2)转化为整式不等式3.含绝对值不等式的解法f(x)f(x)f(x)g(x)0
0f(x)g(x)0;0g(x)0g(x)g(x)
(1)公式法:
ax,bc,与ax,bc(c0)型的不等式的解法.
(2)定义法:
用―零点分区间法‖分类讨论.
(3)几何法:
根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.
4.一元二次方程根的分布
2一元二次方程ax+bx+c=0(a?
0)
(1)根的―零分布‖:
根据判别式和韦达定理分析列式解之.
(2)根的―非零分布‖:
作二次函数图象,用数形结合思想分析列式解之.
(三)简易逻辑
1、命题的定义:
可以判断真假的语句叫做命题。
2、逻辑联结词、简单命题与复合命题:
―或‖、―且‖、―非‖这些词叫做逻辑联结词;不含有逻辑联结词的命题是简单命题;由简单命题和逻辑联结词―或‖、―且‖、―非‖构成的命题是复合命题。
构成复合命题的形式:
p或q(记作―p?
q‖);p且q(记作―p?
q‖);非p(记作―?
q‖)。
3、―或‖、―且‖、―非‖的真值判断互逆原命题逆命题
(1)―非p‖形式复合命题的真假与F的真假相若p则q若q则p反;逆互
互
(2)―p且q‖形式复合命题当P与q同为真时否否为真,其他情况时为假;逆否命题(3)―p或q‖形式复合命题当p与q同为假时否命题若?
q则?
p若?
p则?
q互为假,其他情况时为真(
4、四种命题的形式:
原命题:
若P则q;逆命题:
若q则p;
否命题:
若?
P则?
q;逆否命题:
若?
q则?
p。
(1)交换原命题的条件和结论,所得的命题是逆命题;
(2)同时否定原命题的条件和结论,所得的命题是否命题;
(3)交换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得的命题是逆否命题(
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5、四种命题之间的相互关系:
一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系:
(原命题逆否命题)?
、原命题为真,它的逆命题不一定为真。
?
、原命题为真,它的否命题不一定为真。
?
、原命题为真,它的逆否命题一定为真。
6、如果已知pq那么我们说,p是q的充分条件,q是p的必要条件。
若pq且qp,则称p是q的充要条件,记为p?
q.
7、反证法:
从命题结论的反面出发(假设),引出(与已知、公理、定理„)矛盾,从而否定假设证明原命题成立,这样的证明方法叫做反证法。
高中数学第二章-函数
考试和性质(
(5)理解对数的概念,掌握对数的运算性质;掌握对数函数的概念、图像和性质(
(6)能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题(
?
02.
一、本章知识网络结构:
F:
AB
二次函数函数知识要点
二、知识回顾:
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(一)映射与函数
1.映射与一一映射
2.函数
函数三要素是定义域,对应法则和值域,而定义域和对应法则是起决定作用的要素,因为这二者确定后,值域也就相应得到确定,因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数.
3.反函数
反函数的定义
设函数yf(x)(xA)的值域是C,根据这个函数中x,y的关系,用y把x表示出,得到x=(y).若对于y在C中的任何一个值,通过x=(y),x在A中都有唯一的值和它对应,那么,x=(y)就表示y是自变量,x是自变量y的函数,这样的函数x=(y)(yC)叫做函数yf(x)(xA)的反函数,记作xf,1(y),习惯上改写成yf,1(x)
(二)函数的性质
?
函数的单调性
定义:
对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,
?
若当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),则说f(x)在这个区间上是增函数;
?
若当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),则说f(x)在这个区间上是减函数.
若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,则就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.
2.函数的奇偶性
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正确理解奇、偶函数的定义。
必须把握好两个问题:
(1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇
函数或偶函数的必要不充分条件;
(2)f(,x)f(x)或
f(,x),f(x)是定义域上的恒等式。
2(奇函数的图象关于原点成中心对称图形,偶函数
的图象关于y轴成轴对称图形。
反之亦真,因此,也
可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性。
3.奇函数在对称区间同增同减;偶函数在对称区间增
减性相反.
4(如果f(x)是偶函数,则f(x)f(|x|),反之亦成立。
若奇函数在x0时有意义,则f(0)0。
7.奇函数,偶函数:
?
偶函数:
f(,x)f(x)
设(a,b)为偶函数上一点,则(,a,b)也是图象上一点.
偶函数的判定:
两个条件同时满足
?
定义域一定要关于y轴对称,例如:
yx2,1在[1,,1)上不是偶函数.
?
满足f(,x)f(x),或f(,x),f(x)0,若f(x)0时,
?
奇函数:
f(,x),f(x)
设(a,b)为奇函数上一点,则(,a,,b)也是图象上一点.
奇函数的判定:
两个条件同时满足
?
定义域一定要关于原点对称,例如:
yx3在[1,,1)上不是奇函数.
?
满足f(,x),f(x),或f(,x),f(x)0,若f(x)0时,
y轴对称8.对称变换:
?
y=f(x)yf(,x)f(x)1.f(,x)f(x),1.f(,x)
x轴对称?
y=f(x)y,f(x)
?
y=f(x)原点对称y,f(,x)
9.判断函数单调性(定义)作差法:
对带根号的一定要分子有理化,例如:
(x1,x2)f(x),f(x)x2,b2,x2,b2(x1,x2)
121222xx,b2,x1,b2
在进行讨论.
10.外层函数的定义域是.
解:
f(x)的值域是f(f(x))的定义域B,f(x)的值域R,故BR,而Ax|x1,故BA.
11.常用变换:
?
f(x,y)f(x)f(y)f(x,y)f(x).f(y)
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证:
f(x,y)
xy
f(y)
f(x)f[(x,y),y]f(x,y)f(y)f(x)
?
f()f(x),f(y)f(xy)f(x),f(y)证:
f(x)f(y)f(),f(y)12.?
熟悉常用函数图象:
1
例:
y2?
|x|关于y轴对称.y
2
|x|
xyxy
|x,2|
11?
y?
y
22
|x||x,2|
y|2x,2x,1|?
|y|关于x轴对称.
2
?
熟悉分式图象:
2x,17
例:
y定义域{x|x3,2,
x,3x,3
值域{y|y2,yR}?
值域x前的系数之比.(三)指数函数与对数函数
指数函数yax(a0且a1)的图象和性质
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对数函数y=logax的图象和性质:
对数运算:
loga(MN)logaM,logaN
(1)
MlogalogaM,logaNN
logaMnnloga,M,12)loga
aloganN1MlogaMnN
logbN换底公式:
logaNlogba
推论:
logablogbclogca1loga1a2loga2a3...logan,1anloga1an(以上M0,N0,a
0,a1,b0,b1,c0,c1,a1,a2...an0且1)
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注?
:
当a,b0时,log(ab)log(,a),log(,b).?
:
当M0时,取―+‖,当n是偶数时且M0时,Mn0,而M0,故取―—‖.
2例如:
logax2logax(2logax中x,0而logax2中x?
R).?
yax(a0,a1)与ylogax互为反函数.当a1时,ylogax的a值越大,越靠近x轴;当0a1时,则相反.
(四)方法总结
?
.相同函数的判定方法:
定义域相同且对应法则相同.?
对数运算:
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loga(MN)logaM,logaN
(1)
logaMlogaM,logaNN
1logaMn
logaMnnloga,M,12)loganMalogaNN
logbN
logba换底公式:
logaN
推论:
logablogbclogca1
loga1a2loga2a3...logan,1anloga1an
(以上M0,N0,a0,a1,b0,b1,c0,c1,a1,a2...an0且1)
注?
:
当a,b0时,log(ab)log(,a),log(,b).
?
:
当M0时,取―+‖,当n是偶数时且M0时,Mn0,而M0,故取―—‖.例如:
logax22logax(2logax中x,0而logax2中x?
R).
?
yax(a0,a1)与ylogax互为反函数.
当a1时,ylogax的a值越大,越靠近x轴;当0a1时,则相反.
?
.函数表达式的求法:
?
定义法;?
换元法;?
待定系数法.
?
.反函数的求法:
先解x,互换x、y,注明反函数的定义域(即原函数的值域).
?
.函数的定义域的求法:
布列使函数有意义的自变量的不等关系式,求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为?
分母不为0;?
偶次根式中被开方数不小于0;?
对数的真数大于0,底数大于零且不等于1;?
零指数幂的底数不等于零;?
实际问题要考虑实际意义等.
?
.函数值域的求法:
?
配方法(二次或四次);?
―判别式法‖;?
反函数法;?
换元法;?
不等式法;?
函数的单调性法.
?
.单调性的判定法:
?
设x1,x2是所研究区间内任两个自变量,且x1,x2;?
判定f(x1)与f(x2)的大小;?
作差比较或作商比较.
?
.奇偶性的判定法:
首先考察定义域是否关于原点对称,再计算f(-x)与f(x)之间的关系:
?
f(-x)=f(x)为偶函数;f(-x)=-f(x)为奇函数;?
f(-x)-f(x)=0为偶;f(x)+f(-x)=0为奇;?
f(-x)/f(x)=1是偶;f(x)?
f(-x)=-1为奇函数.
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?
.图象的作法与平移:
?
据函数表达式,列表、描点、连光滑曲线;?
利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换;?
利用反函数的图象与对称性描绘函数图象.
高中数学第三章数列
考试知识要点
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?
看数列是不是等差数列有以下三种方法:
?
an,an,1d(n2,d为常数)
?
2anan,1,an,1(n2)
?
ankn,b(n,k为常数).
?
看数列是不是等比数列有以下四种方法:
?
anan,1q(n2,q为常数,且0)
2?
anan,1an,1(n2,anan,1an,10)?
注?
:
i.bac,是a、b、c成等比的双非条件,即bac
ii.bac(ac,0)?
为a、b、c等比数列的充分不必要.iii.b?
为a、b、c等比数列的必要不充分.iv.bac且ac0?
为a、b、c等比数列的充要.、b、c等比数列.注意:
任意两数a、c不一定有等比中项,除非有ac,0,则等比中项一定有两个.?
ancqn(c,q为非零常数).
?
正数列{an}成等比的充要条件是数列{logxan}(x1)成等比数列.
s1a1(n1)a?
数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系:
ns,s(n2)nn,1
[注]:
?
ana1,,n,1,dnd,,a1,d,(d可为零也可不为零?
为等差数列充要条件(即常数列也是等差数列)?
若d不为0,则是等差数列充分条件).
ddd?
等差{an}前n项和SnAn2,Bnn2,a1,n?
可以为零也可不为零?
为等差222
的充要条件?
若d为零,则是等差数列的充分条件;若d不为零,则是等差数列的充分条件.?
非零常数列既可为等比数列,也可为等差数列(不是非零,即不可能有等比数列).((
2.?
等差数列依次每k项的和仍成等差数列,其公差为原公差的k2倍Sk,S2k,Sk,S3k,S2k...;
?
若等差数列的项数为2nnN,,则S偶,S奇,,ndS奇
S偶anan,1;
S偶nn,1?
若等差数列的项数为2n,1nN,,则S2n,1,2n,1,an,且S奇,S偶an,S奇
代入n到2n,1得到所求项数.
3.常用公式:
?
1+2+3„+n=
?
12,22,32,n2n,n,1,2,,n,n,1,,2n,1,6
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n,n,1,?
13,23,33n322
[注]:
熟悉常用通项:
9,99,999,…an10n,1;5,55,555,…an5n10,1.9,,
4.等比数列的前n项和公式的常见应用题:
?
生产部门中有增长率的总产量问题.例如,第一年产量为a,年增长率为r,则每年的产量成等比数列,公比为1,r.其中第n年产量为a(1,r)n,1,且过n年后总产量为:
2n,1a,a(1,r),a(1,r),...,a(1,r)a[a,(1,r)n].1,(1,r)
?
银行部门中按复利计算问题.例如:
一年中每月初到银行存a元,利息为r,每月利息按复利计算,则每月的a元过n个月后便成为a(1,r)n元.因此,第二年年初可存款:
121110a(1,r),a(1,r),a(1,r)a(1,r)[1,(1,r)12].,...,a(1,r)=1,(1,r)
?
分期付款应用题:
a为分期付款方式贷款为a元;m为m个月将款全部付清;r为年利率.a,1,r,x,1,r,mm,1,x,1,r,m,2,......x,1,r,,xa,1,r,mx,1,r,m,1ar,1,r,m
xmr,1,r,,1
5.数列常见的几种形式:
?
an,2pan,1,qan(p、q为二阶常数)用特证根方法求解.具体步骤:
?
写出特征方程x2Px,q(x2对应an,2,x对应an,1),并设二根x1,x2?
若x1x2
nn可设an.c1xn1,c2x2,若x1x2可设an(c1,c2n)x1;?
由初始值a1,a2确定c1,c2.
?
anPan,1,r(P、r为常数)用?
转化等差,等比数列;?
逐项选代;?
消去常数n转化为an,2Pan,1,qan的形式,再用特征根方法求an;?
anc1,c2Pn,1(公式法),c1,c2由a1,a2确定.?
转化等差,等比:
an,1,xP(an,x)an,1Pan,Px,xx?
选代法:
anPan,1,rP(Pan,2,r),ran(a1,
Pn,1a1,Pn,2r,,Pr,r.r.P,1rr)Pn,1,(a1,x)Pn,1,xP,1P,1
?
用特征方程求解:
an,1Pan,r(P,1)an,Pan,1.an,1,anPan,Pan,1an,1相减,anPan,1,r
?
由选代法推导结果:
c1rrrr.,c2a1,,anc2Pn,1,c1(a1,)Pn,1,1,PP,1P,11,P
6.几种常见的数列的思想方法:
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?
等差数列的前n项和为Sn,在d0时,有最大值.如何确定使Sn取最大值时的n值,有两种方法:
一是求使an0,an,10,成立的n值;二是由Snd2dn,(a1,)n利用二次函数的性质求n22
的值.
?
如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积,求此数列前n项和可依
111照等比数列前n项和的推倒导方法:
错位相减求和.例如:
1,3,...(2n,1)n,...242
?
两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列,此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项,公差是两个数列公差d1,d2的最小公倍数.
2.判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法:
(1)定义法:
对于n?
2的任意自然数,验证an,an,1(an)为同一常数。
(2)通项公式法。
(3)中项公式法:
验证an,1
22an,1an,an,2(an,1anan,2)nN都成立。
am03.在等差数列,an,中,有关Sn的最值问题:
(1)当a1>0,d<0时,满足的项数ma0m,1
使得sm取最大值.
(2)当a1<0,d>0时,满足am0的项数m使得sm取最小值。
在解含绝
am,10
对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。
(三)、数列求和的常用方法
1.公式法:
适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。
2.裂项相消法:
适用于c其中{an}是各项不为0的等差数列,c为常数;部
anan,1
分无理数列、含阶乘的数列等。
3.错位相减法:
适用于anbn其中{an}是等差数列,bn是各项不为0的等比数列。
4.倒序相加法:
类似于等差数列前n项和公式的推导方法.
5.常用结论
1):
1+2+3+...+n=n(n,1)2
22)1+3+5+...+(2n