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最新高中数学知识点总结精华版优秀名师资料

高中数学知识点总结精华版

吃得苦中苦方为人上人～

高中数学第一章-集合

考试知识要点

一、知识结构:

本章知识主要分为集合、简单不等式的解法（集合化简）、简易逻辑三部分:

二、知识回顾:

（一）集合

1.基本概念:

集合、元素;有限集、无限集;空集、全集;符号的使用.

2.集合的表示法:

列举法、描述法、图形表示法.

集合元素的特征:

确定性、互异性、无序性.

集合的性质:

任何一个集合是它本身的子集，记为AA;

空集是任何集合的子集，记为A;

空集是任何非空集合的真子集;

如果AB，同时BA，那么A=B.

如果AB，BC，那么AC.

整数}（?

）[注]:

Z={整数}（?

）Z={全体

已知集合S中A的补集是一个有限集，则集合A也是有限集.（?

）（例:

S=N;A=N,，则CsA={0}）

空集的补集是全集.

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若集合A=集合B，则CBA=，CAB=CS（CAB）=D（注:

CAB=

）.

3.?

{（x，y）|xy=0，x?

R，y?

R}坐标轴上的点集.

{（x，y）|xy,0，x?

R，y?

R二、四象限的点集.

{（x，y）|xy,0，x?

R，y?

R}一、三象限的点集.

[注]:

对方程组解的集合应是点集.

例:

x,y3解的集合{（2，1）}.2x,3y1

点集与数集的交集是.（例:

A={（x，y）|y=x+1}B={y|y=x2+1}则A?

B=）

4.?

n个元素的子集有2n个.?

n个元素的真子集有2n,1个.?

n个元素的非空真子集有2n,2个.

5.?

一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.否命题逆命题.

一个命题为真，则它的逆否命题一定为真.原命题逆否命题.

例:

若a,b5，则a2或b3应是真命题.

解:

逆否:

a=2且b=3，则a+b=5，成立，所以此命题为真.

x1且y2,y3.

解:

逆否:

x+y=3

x1且y2x=1或y=2.x,y3,故x,y3是x1且y2的既不是充分，又不是必要

条件.?

小范围推出大范围;大范围推不出小范围.

3.例:

若x5，x5或x2.

4.集合运算:

交、并、补.

交:

AB{x|xA,且xB}

并:

AB{x|xA或xB}

补:

CUA{xU,且xA}

5.主要性质和运算律

（1）包含关系:

AA,A,AU,CUAU,

AB,BCAC;ABA,ABB;ABA,ABB.

（2）等价关系:

ABABAABBCUABU

（3）集合的运算律:

交换律:

ABBA;ABBA.

结合律:

（AB）CA（BC）;（AB）CA（BC）

分配律:

.A（BC）（AB）（AC）;A（BC）（AB）（AC）0-1律:

A,AA,UAA,UAU

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等幂律:

AAA,AAA.

求补律:

CUA=φA?

CUA=UCUU=φCUφ=U

反演律:

CU（A?

B）=（CUA）?

（CUB）CU（A?

B）=（CUA）?

（CUB）

6.有限集的元素个数

定义:

有限集A的元素的个数叫做集合A的基数，记为card（A）规定card（φ）=0.

基本公式:

（1）card（AB）card（A）,card（B）,card（AB）

（2）card（ABC）card（A）,card（B）,card（C）,card（AB）,card（BC）,card（CA）

card（ABC）

（3）card（UA）=card（U）-card（A）

（二）含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸

1.整式不等式的解法

根轴法（零点分段法）

将不等式化为a0（x-x1）（x-x2）„（x-xm）>0（<0）形式，并将各因式x的系数化―+‖;（为了统一方便）

求根，并在数轴上表示出来;

由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点（为什么,）;

若不等式（x的系数化―+‖后）是―>0‖,则找―线‖在x轴上方的区间;若不等式是―<0‖,

则找―线‖在x轴下方的区间.

（自右向左正负相间）

则不等式a0xn,a1xn,1,a2xn,2,,an0（0）（a00）的解可以根据各区间的符号确定.

特例?

一元一次不等式ax>b解的讨论;

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2.分式不等式的解法

（1）标准化:

移项通分化为f（x）f（x）f（x）f（x）>0（或<0）;?

0（或?

0）的形式，g（x）g（x）g（x）g（x）

（2）转化为整式不等式3.含绝对值不等式的解法f（x）f（x）f（x）g（x）0

0f（x）g（x）0;0g（x）0g（x）g（x）

（1）公式法:

ax,bc,与ax,bc（c0）型的不等式的解法.

（2）定义法:

用―零点分区间法‖分类讨论.

（3）几何法:

根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题.

4.一元二次方程根的分布

2一元二次方程ax+bx+c=0（a?

0）

（1）根的―零分布‖:

根据判别式和韦达定理分析列式解之.

（2）根的―非零分布‖:

作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之.

（三）简易逻辑

1、命题的定义:

可以判断真假的语句叫做命题。

2、逻辑联结词、简单命题与复合命题:

―或‖、―且‖、―非‖这些词叫做逻辑联结词;不含有逻辑联结词的命题是简单命题;由简单命题和逻辑联结词―或‖、―且‖、―非‖构成的命题是复合命题。

构成复合命题的形式:

p或q（记作―p?

q‖）;p且q（记作―p?

q‖）;非p（记作―?

q‖）。

3、―或‖、―且‖、―非‖的真值判断互逆原命题逆命题

（1）―非p‖形式复合命题的真假与F的真假相若p则q若q则p反;逆互

互

（2）―p且q‖形式复合命题当P与q同为真时否否为真，其他情况时为假;逆否命题（3）―p或q‖形式复合命题当p与q同为假时否命题若?

q则?

p若?

p则?

q互为假，其他情况时为真（

4、四种命题的形式:

原命题:

若P则q;逆命题:

若q则p;

否命题:

若?

P则?

q;逆否命题:

若?

q则?

p。

（1）交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题;

（2）同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题;

（3）交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题（

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5、四种命题之间的相互关系:

一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系:

（原命题逆否命题）?

、原命题为真，它的逆命题不一定为真。

、原命题为真，它的否命题不一定为真。

、原命题为真，它的逆否命题一定为真。

6、如果已知pq那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件。

若pq且qp,则称p是q的充要条件，记为p?

7、反证法:

从命题结论的反面出发（假设），引出（与已知、公理、定理„）矛盾，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。

高中数学第二章-函数

考试和性质（

（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质;掌握对数函数的概念、图像和性质（

（6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题（

02.

一、本章知识网络结构:

二次函数函数知识要点

二、知识回顾:

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（一）映射与函数

1.映射与一一映射

2.函数

函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数.

3.反函数

反函数的定义

设函数yf（x）（xA）的值域是C，根据这个函数中x,y的关系，用y把x表示出，得到x=（y）.若对于y在C中的任何一个值，通过x=（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=（y）就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x=（y）（yC）叫做函数yf（x）（xA）的反函数，记作xf,1（y）,习惯上改写成yf,1（x）

（二）函数的性质

函数的单调性

定义:

对于函数f（x）的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,

若当x1<x2时，都有f（x1）<f（x2）,则说f（x）在这个区间上是增函数;

若当x1<x2时，都有f（x1）>f（x2）,则说f（x）在这个区间上是减函数.

若函数y=f（x）在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数y=f（x）的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.

2.函数的奇偶性

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正确理解奇、偶函数的定义。

必须把握好两个问题:

（1）定义域在数轴上关于原点对称是函数f（x）为奇

函数或偶函数的必要不充分条件;

（2）f（,x）f（x）或

f（,x）,f（x）是定义域上的恒等式。

2（奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数

的图象关于y轴成轴对称图形。

反之亦真，因此，也

可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性。

3.奇函数在对称区间同增同减;偶函数在对称区间增

减性相反.

4（如果f（x）是偶函数，则f（x）f（|x|），反之亦成立。

若奇函数在x0时有意义，则f（0）0。

7.奇函数，偶函数:

偶函数:

f（,x）f（x）

设（a,b）为偶函数上一点，则（,a,b）也是图象上一点.

偶函数的判定:

两个条件同时满足

定义域一定要关于y轴对称，例如:

yx2,1在[1,,1）上不是偶函数.

满足f（,x）f（x），或f（,x）,f（x）0，若f（x）0时，

奇函数:

f（,x）,f（x）

设（a,b）为奇函数上一点，则（,a,,b）也是图象上一点.

奇函数的判定:

两个条件同时满足

定义域一定要关于原点对称，例如:

yx3在[1,,1）上不是奇函数.

满足f（,x）,f（x），或f（,x）,f（x）0，若f（x）0时，

y轴对称8.对称变换:

y=f（x）yf（,x）f（x）1.f（,x）f（x）,1.f（,x）

x轴对称?

y=f（x）y,f（x）

y=f（x）原点对称y,f（,x）

9.判断函数单调性（定义）作差法:

对带根号的一定要分子有理化，例如:

（x1,x2）f（x）,f（x）x2,b2,x2,b2（x1,x2）

121222xx,b2,x1,b2

在进行讨论.

10.外层函数的定义域是.

解:

f（x）的值域是f（f（x））的定义域B，f（x）的值域R，故BR，而Ax|x1，故BA.

11.常用变换:

f（x,y）f（x）f（y）f（x,y）f（x）.f（y）

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证:

f（x,y）

f（y）

f（x）f[（x,y）,y]f（x,y）f（y）f（x）

f（）f（x）,f（y）f（xy）f（x）,f（y）证:

f（x）f（y）f（）,f（y）12.?

熟悉常用函数图象:

例:

y2?

|x|关于y轴对称.y

|x|

xyxy

|x,2|

11?

|x||x,2|

y|2x,2x,1|?

|y|关于x轴对称.

熟悉分式图象:

2x,17

例:

y定义域{x|x3,2,

x,3x,3

值域{y|y2,yR}?

值域x前的系数之比.（三）指数函数与对数函数

指数函数yax（a0且a1）的图象和性质

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对数函数y=logax的图象和性质:

对数运算:

loga（MN）logaM,logaN

（1）

MlogalogaM,logaNN

logaMnnloga,M,12）loga

aloganN1MlogaMnN

logbN换底公式:

logaNlogba

推论:

logablogbclogca1loga1a2loga2a3...logan,1anloga1an（以上M0,N0,a

0,a1,b0,b1,c0,c1,a1,a2...an0且1）

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注?

当a,b0时，log（ab）log（,a）,log（,b）.?

当M0时，取―+‖，当n是偶数时且M0时，Mn0，而M0，故取―—‖.

2例如:

logax2logax（2logax中x,0而logax2中x?

R）.?

yax（a0,a1）与ylogax互为反函数.当a1时，ylogax的a值越大，越靠近x轴;当0a1时，则相反.

（四）方法总结

.相同函数的判定方法:

定义域相同且对应法则相同.?

对数运算:

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loga（MN）logaM,logaN

（1）

logaMlogaM,logaNN

1logaMn

logaMnnloga,M,12）loganMalogaNN

logbN

logba换底公式:

logaN

推论:

logablogbclogca1

loga1a2loga2a3...logan,1anloga1an

（以上M0,N0,a0,a1,b0,b1,c0,c1,a1,a2...an0且1）

注?

当a,b0时，log（ab）log（,a）,log（,b）.

当M0时，取―+‖，当n是偶数时且M0时，Mn0，而M0，故取―—‖.例如:

logax22logax（2logax中x,0而logax2中x?

R）.

yax（a0,a1）与ylogax互为反函数.

当a1时，ylogax的a值越大，越靠近x轴;当0a1时，则相反.

.函数表达式的求法:

定义法;?

换元法;?

待定系数法.

.反函数的求法:

先解x,互换x、y，注明反函数的定义域（即原函数的值域）.

.函数的定义域的求法:

布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为?

分母不为0;?

偶次根式中被开方数不小于0;?

对数的真数大于0，底数大于零且不等于1;?

零指数幂的底数不等于零;?

实际问题要考虑实际意义等.

.函数值域的求法:

配方法（二次或四次）;?

―判别式法‖;?

反函数法;?

换元法;?

不等式法;?

函数的单调性法.

.单调性的判定法:

设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1,x2;?

判定f（x1）与f（x2）的大小;?

作差比较或作商比较.

.奇偶性的判定法:

首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f（-x）与f（x）之间的关系:

f（-x）=f（x）为偶函数;f（-x）=-f（x）为奇函数;?

f（-x）-f（x）=0为偶;f（x）+f（-x）=0为奇;?

f（-x）/f（x）=1是偶;f（x）?

f（-x）=-1为奇函数.

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.图象的作法与平移:

据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线;?

利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换;?

利用反函数的图象与对称性描绘函数图象.

高中数学第三章数列

考试知识要点

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看数列是不是等差数列有以下三种方法:

an,an,1d（n2,d为常数）

2anan,1,an,1（n2）

ankn,b（n,k为常数）.

看数列是不是等比数列有以下四种方法:

anan,1q（n2,q为常数,且0）

anan,1an,1（n2，anan,1an,10）?

注?

i.bac，是a、b、c成等比的双非条件，即bac

ii.bac（ac,0）?

为a、b、c等比数列的充分不必要.iii.b?

为a、b、c等比数列的必要不充分.iv.bac且ac0?

为a、b、c等比数列的充要.、b、c等比数列.注意:

任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac,0，则等比中项一定有两个.?

ancqn（c,q为非零常数）.

正数列{an}成等比的充要条件是数列{logxan}（x1）成等比数列.

s1a1（n1）a?

数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系:

ns,s（n2）nn,1

[注]:

ana1,,n,1,dnd,,a1,d,（d可为零也可不为零?

为等差数列充要条件（即常数列也是等差数列）?

若d不为0，则是等差数列充分条件）.

ddd?

等差{an}前n项和SnAn2,Bnn2,a1,n?

可以为零也可不为零?

为等差222

的充要条件?

若d为零，则是等差数列的充分条件;若d不为零，则是等差数列的充分条件.?

非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列（不是非零，即不可能有等比数列）.（（

2.?

等差数列依次每k项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k2倍Sk,S2k,Sk,S3k,S2k...;

若等差数列的项数为2nnN,，则S偶,S奇,,ndS奇

S偶anan,1;

S偶nn,1?

若等差数列的项数为2n,1nN,，则S2n,1,2n,1,an，且S奇,S偶an，S奇

代入n到2n,1得到所求项数.

3.常用公式:

1+2+3„+n=

12,22,32,n2n,n,1,2,,n,n,1,,2n,1,6

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n,n,1,?

13,23,33n322

[注]:

熟悉常用通项:

9，99，999，…an10n,1;5，55，555，…an5n10,1.9,,

4.等比数列的前n项和公式的常见应用题:

生产部门中有增长率的总产量问题.例如，第一年产量为a，年增长率为r，则每年的产量成等比数列，公比为1,r.其中第n年产量为a（1,r）n,1，且过n年后总产量为:

2n,1a,a（1,r）,a（1,r）,...,a（1,r）a[a,（1,r）n].1,（1,r）

银行部门中按复利计算问题.例如:

一年中每月初到银行存a元，利息为r，每月利息按复利计算，则每月的a元过n个月后便成为a（1,r）n元.因此，第二年年初可存款:

121110a（1,r）,a（1,r）,a（1,r）a（1,r）[1,（1,r）12].,...,a（1,r）=1,（1,r）

分期付款应用题:

a为分期付款方式贷款为a元;m为m个月将款全部付清;r为年利率.a,1,r,x,1,r,mm,1,x,1,r,m,2,......x,1,r,,xa,1,r,mx,1,r,m,1ar,1,r,m

xmr,1,r,,1

5.数列常见的几种形式:

an,2pan,1,qan（p、q为二阶常数）用特证根方法求解.具体步骤:

写出特征方程x2Px,q（x2对应an,2，x对应an,1），并设二根x1,x2?

若x1x2

nn可设an.c1xn1,c2x2，若x1x2可设an（c1,c2n）x1;?

由初始值a1,a2确定c1,c2.

anPan,1,r（P、r为常数）用?

转化等差，等比数列;?

逐项选代;?

消去常数n转化为an,2Pan,1,qan的形式，再用特征根方法求an;?

anc1,c2Pn,1（公式法），c1,c2由a1,a2确定.?

转化等差，等比:

an,1,xP（an,x）an,1Pan,Px,xx?

选代法:

anPan,1,rP（Pan,2,r）,ran（a1,

Pn,1a1,Pn,2r,,Pr,r.r.P,1rr）Pn,1,（a1,x）Pn,1,xP,1P,1

用特征方程求解:

an,1Pan,r（P,1）an,Pan,1.an,1,anPan,Pan,1an,1相减，anPan,1,r

由选代法推导结果:

c1rrrr.，c2a1,，anc2Pn,1,c1（a1,）Pn,1,1,PP,1P,11,P

6.几种常见的数列的思想方法:

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等差数列的前n项和为Sn，在d0时，有最大值.如何确定使Sn取最大值时的n值，有两种方法:

一是求使an0,an,10，成立的n值;二是由Snd2dn,（a1,）n利用二次函数的性质求n22

的值.

如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n项和可依

111照等比数列前n项和的推倒导方法:

错位相减求和.例如:

1,3,...（2n,1）n,...242

两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差d1，d2的最小公倍数.

2.判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法:

（1）定义法:

对于n?

2的任意自然数,验证an,an,1（an）为同一常数。

（2）通项公式法。

（3）中项公式法:

验证an,1

22an,1an,an,2（an,1anan,2）nN都成立。

am03.在等差数列,an,中,有关Sn的最值问题:

（1）当a1>0,d<0时，满足的项数ma0m,1

使得sm取最大值.

（2）当a1<0,d>0时，满足am0的项数m使得sm取最小值。

在解含绝

am,10

对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。

（三）、数列求和的常用方法

1.公式法:

适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。

2.裂项相消法:

适用于c其中{an}是各项不为0的等差数列，c为常数;部

anan,1

分无理数列、含阶乘的数列等。

3.错位相减法:

适用于anbn其中{an}是等差数列，bn是各项不为0的等比数列。

4.倒序相加法:

类似于等差数列前n项和公式的推导方法.

5.常用结论

1）:

1+2+3+...+n=n（n,1）2

22）1+3+5+...+（2n

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