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1、最新高中数学知识点总结精华版优秀名师资料高中数学知识点总结精华版吃得苦中苦方为人上人 高中数学第一章-集合 考试知识要点 一、知识结构: 本章知识主要分为集合、简单不等式的解法(集合化简)、简易逻辑三部分: 二、知识回顾: (一) 集合 1. 基本概念:集合、元素;有限集、无限集;空集、全集;符号的使用. 2. 集合的表示法:列举法、描述法、图形表示法. 集合元素的特征:确定性、互异性、无序性. 集合的性质: ?任何一个集合是它本身的子集，记为A A; ?空集是任何集合的子集，记为 A; ?空集是任何非空集合的真子集; 如果A B，同时B A，那么A = B. 如果A B，B C，那么A C.

2、 整数 (?) 注:?Z= 整数(?) Z =全体?已知集合S 中A的补集是一个有限集，则集合A也是有限集.(?)(例:S=N; A=N,，则CsA= 0) ? 空集的补集是全集. 第 1 页 共 75 页 吃得苦中苦方为人上人 ?若集合A=集合B，则CBA = ， CAB = CS(CAB)= D ( 注 :CAB = ). 3. ?(x，y)|xy =0，x?R，y?R坐标轴上的点集. ?(x，y)|xy,0，x?R，y?R 二、四象限的点集. ?(x，y)|xy,0，x?R，y?R 一、三象限的点集. 注:?对方程组解的集合应是点集. 例: x,y 3 解的集合(2，1). 2x,3y

3、1 ?点集与数集的交集是 . (例:A =(x，y)| y =x+1 B=y|y =x2+1 则A?B = ) 4. ?n个元素的子集有2n个. ?n个元素的真子集有2n ,1个. ?n个元素的非空真子集有2n,2个. 5. ?一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真. 否命题 逆命题. ?一个命题为真，则它的逆否命题一定为真. 原命题 逆否命题. 例:?若a,b 5，则a 2或b 3应是真命题. 解:逆否:a = 2且 b = 3，则a+b = 5，成立，所以此命题为真. ? x 1且y 2,y 3. 解:逆否:x + y =3 x 1且y 2x = 1或y = 2. x,y 3,故x,y

4、3是x 1且y 2的既不是充分，又不是必要条件. ?小范围推出大范围;大范围推不出小范围. 3. 例:若x 5， x 5或x 2. 4. 集合运算:交、并、补. 交:A B x|x A,且x B 并:A B x|x A或x B 补:CUA x U,且x A 5. 主要性质和运算律 (1) 包含关系: A A, A,A U,CUA U, A B,B C A C;A B A,A B B;A B A,A B B. (2) 等价关系:A B A B A A B B CUA B U (3) 集合的运算律: 交换律:A B B A;A B B A. 结合律:(A B) C A (B C);(A B) C

5、A (B C) 分配律:.A (B C) (A B) (A C);A (B C) (A B) (A C) 0-1律:A , A A,U A A,U A U 第 2 页 共 75 页 吃得苦中苦方为人上人 等幂律:A A A,A A A. 求补律:A?CUA= A?CUA=U CUU= CU=U 反演律:CU(A?B)= (CUA)?(CUB) CU(A?B)= (CUA)?(CUB) 6. 有限集的元素个数 定义:有限集A的元素的个数叫做集合A的基数，记为card( A)规定 card() =0. 基本公式: (1)card(A B) card(A),card(B),card(A B) (2)

6、card(A B C) card(A),card(B),card(C) ,card(A B),card(B C),card(C A) ,card(A B C) (3) card( UA)= card(U)- card(A) (二)含绝对值不等式、一元二次不等式的解法及延伸 1.整式不等式的解法 根轴法(零点分段法) ?将不等式化为a0(x-x1)(x-x2)(x-xm)>0(<0)形式，并将各因式x的系数化+;(为了统一方便) ?求根，并在数轴上表示出来; ?由右上方穿线，经过数轴上表示各根的点(为什么,); ?若不等式(x的系数化+后)是>0,则找线在x轴上方的区间;若不等

7、式是<0,则找线在x轴下方的区间. x (自右向左正负相间) 则不等式a0xn,a1xn,1,a2xn,2, ,an 0( 0)(a0 0)的解可以根据各区间的符号确定. 特例? 一元一次不等式ax>b解的讨论; 2 第 3 页 共 75 页 吃得苦中苦方为人上人 2.分式不等式的解法 (1)标准化:移项通分化为f(x)f(x)f(x)f(x)>0(或<0); ?0(或?0)的形式， g(x)g(x)g(x)g(x) (2)转化为整式不等式3.含绝对值不等式的解法 f(x)f(x)f(x)g(x) 0 0 f(x)g(x) 0; 0 g(x) 0 g(x)g(x) (1

8、)公式法:ax,b c,与ax,b c(c 0)型的不等式的解法. (2)定义法:用零点分区间法分类讨论. (3)几何法:根据绝对值的几何意义用数形结合思想方法解题. 4.一元二次方程根的分布 2一元二次方程ax+bx+c=0(a?0) (1)根的零分布:根据判别式和韦达定理分析列式解之. (2)根的非零分布:作二次函数图象，用数形结合思想分析列式解之. (三)简易逻辑 1、命题的定义:可以判断真假的语句叫做命题。 2、逻辑联结词、简单命题与复合命题: 或、且、非这些词叫做逻辑联结词;不含有逻辑联结词的命题是简单命题;由简单命题和逻辑联结词或、且、非构成的命题是复合命题。 构成复合命题的形式:

9、p或q(记作p?q );p且q(记作p?q );非p(记作?q ) 。 3、或、 且、 非的真值判断 互逆原命题逆命题(1)非p形式复合命题的真假与F的真假相若p则q若q则p反; 逆互 互(2)p且q形式复合命题当P与q同为真时否否为真，其他情况时为假; 逆否命题(3)p或q形式复合命题当p与q同为假时否命题若?q则?p若?p则?q互为假，其他情况时为真( 4、四种命题的形式: 原命题:若P则q; 逆命题:若q则p; 否命题:若?P则?q;逆否命题:若?q则?p。 (1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题; (2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题; (3)交换原命题的条件

10、和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题( 第 4 页 共 75 页 吃得苦中苦方为人上人 5、四种命题之间的相互关系: 一个命题的真假与其他三个命题的真假有如下三条关系:(原命题 逆否命题) ?、原命题为真，它的逆命题不一定为真。 ?、原命题为真，它的否命题不一定为真。 ?、原命题为真，它的逆否命题一定为真。 6、如果已知p q那么我们说，p是q的充分条件，q是p的必要条件。 若p q且q p,则称p是q的充要条件，记为p?q. 7、反证法:从命题结论的反面出发(假设)，引出(与已知、公理、定理)矛盾，从而否定假设证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法。 高中数学第二章-函数 考试 和性

11、质( (5)理解对数的概念，掌握对数的运算性质;掌握对数函数的概念、图像和性质( (6)能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题( ?02. 一、本章知识网络结构: F:A B 二次函数函数 知识要点 二、知识回顾: 第 5 页 共 75 页 吃得苦中苦方为人上人 (一) 映射与函数 1. 映射与一一映射 2.函数 函数三要素是定义域，对应法则和值域，而定义域和对应法则是起决定作用的要素，因为这二者确定后，值域也就相应得到确定，因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数才是同一函数. 3.反函数 反函数的定义 设函数y f(x)(x A)的值域是C，根据这个函数中x,

12、y 的关系，用y把x表示出，得到x= (y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x= (y)，x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x= (y)就表示y是自变量，x是自变量y的函数，这样的函数x= (y) (y C)叫做函数y f(x)(x A)的反函数，记作x f,1(y),习惯上改写成y f,1(x) (二)函数的性质 ?函数的单调性 定义:对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2, ?若当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2),则说f(x)在这个区间上是增函数; ?若当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2),则说f(x) 在这个区间上

13、是减函数. 若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数. 2.函数的奇偶性 第 6 页 共 75 页 吃得苦中苦方为人上人 正确理解奇、偶函数的定义。必须把握好两个问题: (1)定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇 函数或偶函数的必要不充分条件;(2)f(,x) f(x)或 f(,x) ,f(x)是定义域上的恒等式。 2(奇函数的图象关于原点成中心对称图形，偶函数 的图象关于y轴成轴对称图形。反之亦真，因此，也 可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性。

14、 3.奇函数在对称区间同增同减;偶函数在对称区间增 减性相反. 4(如果f(x)是偶函数，则f(x) f(|x|)，反之亦成立。 若奇函数在x 0时有意义，则f(0) 0。 7. 奇函数，偶函数: ?偶函数:f(,x) f(x) 设(a,b)为偶函数上一点，则(,a,b)也是图象上一点. 偶函数的判定:两个条件同时满足 ?定义域一定要关于y轴对称，例如:y x2,1在1,1)上不是偶函数. ?满足f(,x) f(x)，或f(,x),f(x) 0，若f(x) 0时， ?奇函数:f(,x) ,f(x) 设(a,b)为奇函数上一点，则(,a,b)也是图象上一点. 奇函数的判定:两个条件同时满足 ?定

15、义域一定要关于原点对称，例如:y x3在1,1)上不是奇函数. ?满足f(,x) ,f(x)，或f(,x),f(x) 0，若f(x) 0时， y轴对称8. 对称变换:?y = f(x) y f(,x)f(x) 1. f(,x)f(x) ,1. f(,x) x轴对称?y =f(x) y ,f(x) ?y =f(x) 原点对称 y ,f(,x) 9. 判断函数单调性(定义)作差法:对带根号的一定要分子有理化，例如: (x1,x2) f(x),f(x) x2,b2,x2,b2 (x1,x2) 121222 xx,b2,x1,b2 在进行讨论. 10. 外层函数的定义域是 . 解:f(x)的值域是f(

16、f(x)的定义域B，f(x)的值域 R，故B R，而A x|x 1 ，故B A. 11. 常用变换: ?f(x,y) f(x)f(y) f(x,y) f(x). f(y) 第 7 页 共 75 页 吃得苦中苦方为人上人 证:f(x,y) xy f(y) f(x) f(x,y),y f(x,y)f(y) f(x) ?f() f(x),f(y) f(x y) f(x),f(y) 证:f(x) f( y) f(),f(y) 12. ?熟悉常用函数图象: 1 例:y 2?|x|关于y轴对称. y 2 |x| xyxy |x,2| 1 1 ?y ?y 2 2 |x|x,2| y |2x,2x,1|?|y

17、|关于x轴对称. 2 ?熟悉分式图象: 2x,17 例:y 定义域x|x 3, 2, x,3x,3 值域y|y 2,y R?值域 x前的系数之比. (三)指数函数与对数函数 指数函数y ax(a 0且a 1)的图象和性质 第 8 页 共 75 页 吃得苦中苦方为人上人 对数函数y=logax的图象和性质: 对数运算: loga(M N) logaM,logaN(1) Mloga logaM,logaNN logaMn nloga, M,12)loga aloganN1M logaMn N logbN换底公式:logaN logba 推论:logab logbc logca 1 loga1a2

18、loga2a3 . logan,1an loga1an(以上M 0,N 0,a 0,a 1,b 0,b 1,c 0,c 1,a1,a2.an 0且 1) 第 9 页 共 75 页 吃得苦中苦方为人上人 注?:当a,b 0时，log(a b) log(,a),log(,b). ?:当M 0时，取+，当n是偶数时且M 0时，Mn 0，而M 0，故取. 2例如:logax 2logax (2logax中x,0而logax2中x?R). ?y ax(a 0,a 1)与y logax互为反函数. 当a 1时，y logax的a值越大，越靠近x轴;当0 a 1时，则相反. (四)方法总结 ?.相同函数的判

19、定方法:定义域相同且对应法则相同. ?对数运算: 第 10 页 共 75 页 吃得苦中苦方为人上人 loga(M N) logaM,logaN(1) logaM logaM,logaNN 1logaMn logaMn nloga, M,12)loganM alogaN N logbN logba换底公式:logaN 推论:logab logbc logca 1 loga1a2 loga2a3 . logan,1an loga1an (以上M 0,N 0,a 0,a 1,b 0,b 1,c 0,c 1,a1,a2.an 0且 1) 注?:当a,b 0时，log(a b) log(,a),log(

20、,b). ?:当M 0时，取+，当n是偶数时且M 0时，Mn 0，而M 0，故取. 例如:logax2 2logax (2logax中x,0而logax2中x?R). ?y ax(a 0,a 1)与y logax互为反函数. 当a 1时，y logax的a值越大，越靠近x轴;当0 a 1时，则相反. ?.函数表达式的求法:?定义法;?换元法;?待定系数法. ?.反函数的求法:先解x,互换x、y，注明反函数的定义域(即原函数的值域). ?.函数的定义域的求法:布列使函数有意义的自变量的不等关系式，求解即可求得函数的定义域.常涉及到的依据为?分母不为0;?偶次根式中被开方数不小于0;?对数的真数大

21、于0，底数大于零且不等于1;?零指数幂的底数不等于零;?实际问题要考虑实际意义等. ?.函数值域的求法:?配方法(二次或四次);?判别式法;?反函数法;?换元法;?不等式法;?函数的单调性法. ?.单调性的判定法:?设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1,x2;?判定f(x1)与f(x2)的大小;?作差比较或作商比较. ?.奇偶性的判定法:首先考察定义域是否关于原点对称，再计算f(-x)与f(x)之间的关系:?f(-x)=f(x)为偶函数;f(-x)=-f(x)为奇函数;?f(-x)-f(x)=0为偶;f(x)+f(-x)=0为奇;?f(-x)/f(x)=1是偶;f(x)?f(-x)=

22、-1为奇函数. 第 11 页 共 75 页 吃得苦中苦方为人上人 ?.图象的作法与平移:?据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线;?利用熟知函数的图象的平移、翻转、伸缩变换;?利用反函数的图象与对称性描绘函数图象. 高中数学 第三章 数列 考试知识要点 第 12 页 共 75 页 吃得苦中苦方为人上人 第 13 页 共 75 页 吃得苦中苦方为人上人 ?看数列是不是等差数列有以下三种方法: ?an,an,1 d(n 2,d为常数) ?2an an,1,an,1(n 2) ?an kn,b(n,k为常数). ?看数列是不是等比数列有以下四种方法: ?an an,1q(n 2,q为常数,且 0) 2

23、?an an,1 an,1(n 2，anan,1an,1 0)? 注?:i. b ac，是a、b、c成等比的双非条件，即b ac ii. b ac(ac,0)?为a、b、c等比数列的充分不必要. iii. b ?为a、b、c等比数列的必要不充分. iv. b ac且ac 0?为a、b、c等比数列的充要. 、b、c等比数列. 注意:任意两数a、c不一定有等比中项，除非有ac,0，则等比中项一定有两个. ?an cqn(c,q为非零常数). ?正数列an成等比的充要条件是数列logxan(x 1)成等比数列. s1 a1(n 1)a ?数列an的前n项和Sn与通项an的关系:n s,s(n 2)n

24、n,1 注: ?an a1,n,1,d nd,a1,d,(d可为零也可不为零?为等差数列充要条件(即常数列也是等差数列)?若d不为0，则是等差数列充分条件). d d d ?等差an前n项和Sn An2,Bn n2, a1, n ?可以为零也可不为零?为等差2 2 2 的充要条件?若d为零，则是等差数列的充分条件;若d不为零，则是等差数列的充分条件. ?非零常数列既可为等比数列，也可为等差数列(不是非零，即不可能有等比数列). ( 2. ?等差数列依次每k项的和仍成等差数列，其公差为原公差的k2倍Sk,S2k,Sk,S3k,S2k.; ?若等差数列的项数为2nn N,，则S偶,S奇 ,ndS奇

25、 S偶an an,1; S偶 n n,1?若等差数列的项数为2n,1n N,，则S2n,1 ,2n,1,an，且S奇,S偶 an，S奇 代入n到2n,1得到所求项数. 3. 常用公式:?1+2+3 +n = ?12,22,32, n2 n,n,1, 2,n,n,1,2n,1, 6 第 14 页 共 75 页 吃得苦中苦方为人上人 n,n,1, ?13,23,33 n3 2 2 注:熟悉常用通项:9，99，999， an 10n,1; 5，55，555， an 5n10,1. 9, 4. 等比数列的前n项和公式的常见应用题: ?生产部门中有增长率的总产量问题. 例如，第一年产量为a，年增长率为r

26、，则每年的产量成等比数列，公比为1,r. 其中第n年产量为a(1,r)n,1，且过n年后总产量为: 2n,1a,a(1,r),a(1,r),.,a(1,r)aa,(1,r)n . 1,(1,r) ?银行部门中按复利计算问题. 例如:一年中每月初到银行存a元，利息为r，每月利息按复利计算，则每月的a元过n个月后便成为a(1,r)n元. 因此，第二年年初可存款: 121110a(1,r),a(1,r),a(1,r)a(1,r)1,(1,r)12. ,.,a(1,r)=1,(1,r) ?分期付款应用题:a为分期付款方式贷款为a元;m为m个月将款全部付清;r为年利率. a,1,r, x,1,r,mm,

27、1,x,1,r,m,2,.x,1,r,x a,1,r,mx,1,r,m,1ar,1,r,m x mr,1,r,1 5. 数列常见的几种形式: ?an,2 pan,1,qan(p、q为二阶常数) 用特证根方法求解. 具体步骤:?写出特征方程x2 Px,q(x2对应an,2，x对应an,1)，并设二根x1,x2?若x1 x2 nn可设an. c1xn1,c2x2，若x1 x2可设an (c1,c2n)x1;?由初始值a1,a2确定c1,c2. ?an Pan,1,r(P、r为常数) 用?转化等差，等比数列;?逐项选代;?消去常数n转化为an,2 Pan,1,qan的形式，再用特征根方法求an;?a

28、n c1,c2Pn,1(公式法)，c1,c2由a1,a2确定. ?转化等差，等比:an,1,x P(an,x) an,1 Pan,Px,x x ?选代法:an Pan,1,r P(Pan,2,r),r an (a1, Pn,1a1,Pn,2 r, ,Pr,r. r. P,1rr)Pn,1, (a1,x)Pn,1,x P,1P,1 ?用特征方程求解:an,1 Pan,r (P,1)an,Pan,1. an,1,an Pan,Pan,1 an,1 相减，an Pan,1,r ?由选代法推导结果:c1 rrrr. ，c2 a1,，an c2Pn,1,c1 (a1,)Pn,1,1,PP,1P,11,P

29、 6. 几种常见的数列的思想方法: 第 15 页 共 75 页 吃得苦中苦方为人上人 ?等差数列的前n项和为Sn，在d 0时，有最大值. 如何确定使Sn取最大值时的n值，有两种方法: 一是求使an 0,an,1 0，成立的n值;二是由Sn d2dn,(a1,)n利用二次函数的性质求n22 的值. ?如果数列可以看作是一个等差数列与一个等比数列的对应项乘积，求此数列前n项和可依 111照等比数列前n项和的推倒导方法:错位相减求和. 例如:1 ,3,.(2n,1)n,. 242 ?两个等差数列的相同项亦组成一个新的等差数列，此等差数列的首项就是原两个数列的第一个相同项，公差是两个数列公差d1，d2

30、的最小公倍数. 2. 判断和证明数列是等差(等比)数列常有三种方法:(1)定义法:对于n?2的任意自然数,验证an,an,1(an)为同一常数。(2)通项公式法。(3)中项公式法:验证an,1 22an,1 an,an,2(an,1 anan,2)n N都成立。 am 03. 在等差数列,an,中,有关Sn 的最值问题:(1)当a1>0,d<0时，满足 的项数ma 0 m,1 使得sm取最大值. (2)当a1<0,d>0时，满足 am 0的项数m使得sm取最小值。在解含绝 am,1 0 对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 (三)、数列求和的常用方法 1. 公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。 2.裂项相消法:适用于 c 其中 an是各项不为0的等差数列，c为常数;部 anan,1 分无理数列、含阶乘的数列等。 3.错位相减法:适用于 anbn 其中 an是等差数列， bn 是各项不为0的等比数列。 4.倒序相加法: 类似于等差数列前n项和公式的推导方法. 5.常用结论 1): 1+2+3+.+n = n(n,1) 2 22) 1+3+5+.+(2n