数学思维训练五年级.docx
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数学思维训练五年级
教学系列之七：
等差数列求和
（1）
教学目标：
1、让学生了解数学家高斯的生平，感受数学的魅力，激发学生学习数学的热情。
2、在趣味数学中学习等差数列在实际问题中的应用，提高学生应用数学知识解决实际问题的能力。
教学过程：
一、高斯的故事
德国著名大科学家高斯（1777～1855）出生在一个贫穷的家庭。
高斯在还不会讲话就自己学计算，在三岁时有一天晚上他看着父亲在算工钱时，还纠正父亲计算的错误。
长大后他成为当代最杰出的天文学家、数学家。
他在物理的电磁学方面有一些贡献，现在电磁学的一个单位就是用他的名字命名。
数学家们则称呼他为“数学王子”。
他八岁时进入乡村小学读书。
教数学的老师是一个从城里来的人，觉得在一个穷乡僻壤教几个小猢狲读书，真是大材小用。
而他又有些偏见：
穷人的孩子天生都是笨蛋，教这些蠢笨的孩子念书不必认真，如果有机会还应该处罚他们，使自己在这枯燥的生活里添一些乐趣。
这一天正是数学教师情绪低落的一天。
同学们看到老师那抑郁的脸孔，心里畏缩起来，知道老师又会在今天捉这些学生处罚了。
“你们今天替我算从1加2加3一直到100的和。
谁算不出来就罚他不能回家吃午饭。
”老师讲了这句话后就一言不发的拿起一本小说坐在椅子上看去了。
教室里的小朋友们拿起石板开始计算：
“1加2等于3，3加3等于6，6加4等于10……”一些小朋友加到一个数后就擦掉石板上的结果，再加下去，数越来越大，很不好算。
有些孩子的小脸孔涨红了，有些手心、额上渗出了汗来。
还不到半个小时，小高斯拿起了他的石板走上前去。
“老师，答案是不是这样？
”
老师头也不抬，挥着那肥厚的手，说：
“去，回去再算！
错了。
”他想不可能这么快就会有答案了。
可是高斯却站着不动，把石板伸向老师面前：
“老师！
我想这个答案是对的。
”
数学老师本来想怒吼起来，可是一看石板上整整齐齐写了这样的数：
5050，他惊奇起来，因为他自己曾经算过，得到的数也是5050，这个8岁的小鬼怎么这样快就得到了这个数值呢？
高斯解释他发现的一个方法，这个方法就是古时希腊人和中国人用来计算级数1+2+3+…+n的方法。
高斯的发现使老师觉得羞愧，觉得自己以前目空一切和轻视穷人家的孩子的观点是不对的。
他以后也认真教起书来，并且还常从城里买些数学书自己进修并借给高斯看。
在他的鼓励下，高斯以后便在数学上作了一些重要的研究了。
二、趣味数学之等差数列
（一）等差数列的基本知识
1.数列的基本知识
2.等差数列的基本知识
（二）等差数列的项——等差数列的通项公式
1.等差数列的某一项=首项+公差×（项数-1）
例：
已知数列2、5、8、11、14……
求：
（1）它的第10项是多少？
（2）它的第98项是多少？
（3）这个数列各项被几除有相同的余数？
2.等差数列的项数=（末项-首项）÷公差+1
例：
已知数列2、5、8、11、14、17，这个数列有多少项？
3.小结等差数列项的有关规律
4.练习
1、一串数：
1、3、5、7、9、……49。
（1）它的第21项是多少?
（2）这串数共有多少个？
2、一串数：
2、4、6、8、……2008。
（1）它的第25项是多少?
（2）这串数共有多少个？
3、一串数：
101、102、103、104、……199。
（1）它的第30项是多少?
（2）这串数共有多少个？
4、一串数：
7、12、17、22……。
（1）它的第60项是多少?
（2）这个数列各项被几除有相同的余数？
三、总结：
说说上课后的感想
教学系列之八：
等差数列求和
（2）
教学目标：
1、让学生了解数学家斐波纳契的生平，提升学生的学习兴趣，激发学生学习数学的热情。
2、在趣味数学中学习等差数列在实际问题中的应用，提高学生应用数学知识解决实际问题的能力。
教学过程：
一、意大利数学家斐波那契
经过12世纪的传播时期之后，初等数学在欧洲获得了相应的发展．在13世纪欧洲大多数国家里，城市成为商业和手工业发展的中心．特别是商业的发展，带来了相当复杂的计算．这时的欧洲出现了第一批理论数学家．意大利作为当时的商业中心，培育了中世纪最杰出的教学家——斐波那契。
斐波那契是一个商人的儿子，早年随父到过北非，跟从—阿拉伯教师学习计算。
后来到埃及、叙利亚、希腊、西西里和法国旅游，拜访各地的学者，熟悉了不同国家在商业上使用的算术体系。
经过研究和比较，他认为其他数系无一能与印度—阿拉伯数系相媲美。
斐波那契于1200年回到家乡，把在各地学得的数学知识加以总结，写成《算盘书》这是向西欧介绍印度—阿拉伯数系和阿拉伯数学的最早的著作。
这本书的开头介绍了一些算盘知识，而后却偏离了这一课题。
因此，书名中“算盘”一词已失去它作为计算工具的本意，而应理解为“算术”或由印度—阿拉伯数系而产生的“算法”。
斐波那契大量吸收并系统地总结了来自阿拉伯文献的数学知识，改进了欧氏几何的某些技巧，归纳了同种类型的方法和习题。
在算术和一、二次方程的代数学方面，已成为中世纪欧洲数学之典范。
下面简要介绍一下《算盘书》的主要内容。
《算盘书》共有15章．第1－－－5章介绍印度—阿拉伯数码记数法及其四则运算。
第6，7章介绍分数记法及其运算。
第8－－－11章讨论商业上实用的各种算术问题的解法。
在第11章讨论的混合问题。
第12章的内容最为丰富，涉及各种类型的问题，如各种数列的求和法：
算术级数、几何级数、平方数数列和递归数列等．几何级数的求和是为解决来自埃及纸草书中的问题，而递归数列的求和则出现在关于家兔繁殖的问题中：
假定每对大兔每月能生一对小兔，每对小兔生长两个月就成大兔，问在不发生死亡的条件下，由一对小兔开始，一年之后可繁殖成多少对兔子？
这个问题使斐波那契名垂史册．问题的答案由下列和式给出：
1＋1＋2＋3＋5＋8＋…＋233．
其中从第三项起，每一项都是前两项的和。
这个数列现称斐波那契数列，这是在欧洲最早出现的递归数列，它有许多重要而有趣的性质，在以后的近800年中一直是许多学者研究的对象。
第13章是用双设法解线性方程。
第14章介绍平方根和立方根的近似计算。
第15章是问题汇编。
《算盘书》以它的内容丰富、方法有效、多样化的习题和令人信服的论证而名列12－－－14世纪数学著作之冠，对欧洲数学的发展产生了重要的影响。
2、趣味数学之等差数列求和
1.例：
6+10+14+18+22+26+30+34+38
2.例：
计算1+6+11+16+21+26+......+276
3.练习：
（1）7+10+13+16+19+22+25+28+31+34+37
（2）7+11+15+19+......+403
（3）9+19+29+39+......+99
（4）1+3+5+7+......+99
三、等差数列知识总结：
怎样判断一个数列是等差数列
怎样求出等差数列的任意一项或项数
怎样求出等差数列前几项的和
必须牢记等差数列的基本公式和重要结论
教学系列之九：
等差数列求和（3）
教学目标：
1、让学生了解数学家韩信的生平，感受数学魅力，激发学生学习数学的热情。
2、在趣味数学中学习等差数列在实际问题中的应用，提高学生应用数学知识解决实际问题的能力。
教学过程：
一、韩信的故事
韩信是中国历史上最有名的军事家之一，被刘邦和吕后出于嫉妒和私心害死了。
历史上很多史家和学者为他平反，众多的诗人为他留下大量的诗篇。
围绕着韩信还流传了各种各样的传说。
在今天我们所介绍的两则传说中，人们把他作为智慧的化身，就寄托着历代人们对他的深切的同情和怀念。
韩信分油
据说有一天，韩信骑马走在路上，看见两个人正在路边为分油发愁。
这两个人有一只容量10斤的篓子，里面装满了油；还有一只空的罐和一只空的葫芦，罐可装7斤油，葫芦可装3斤油。
要把这10斤油平分，每人5斤。
但是谁也没有带秤，只能拿手头的三个容器倒来倒去。
应该怎样分呢？
韩信骑在马上，了解情况以后，说：
¡°葫芦归罐罐归篓，二人分油回家走。
¡±说完了，打马就走。
两个人按照韩信的办法倒来倒去，果然把油平均分成两半，每人5斤，高高兴兴，各自回家。
究竟是怎样倒来倒去的呢？
三种容器各自装油斤数的变化过程，可从下面的表中看出。
篓
10
7
7
4
4
1
1
8
20、在观星过程中，我们看到的天空中有一条闪亮的¡°银河¡±光带，实际是由许许多多的恒星组成的一个恒星集团，被人们称为银河系。
我们生活的地球在银河系。
8
5
5
罐
18、北斗七星构成勺形，属于大熊座，北极星属于小熊座。
0
21、人们发现银河系以外还有类似银河系一样庞大的恒星集团，如：
仙女座星系、猎犬座星系，目前人类已发现了超过100亿个河外星系。
0
2、你知道哪些昆虫？
3
5、草蛉是蚜虫的天敌，七星瓢虫吃蚜虫，蜻蜓吃蚊子。
3
17、近年来，我国积极推广¡°无车日¡±活动，以节约能源和保护环境。
科学家也正在研制太阳能汽车和燃料电池汽车，减少对空气的污染。
6
6
14、在显微镜下观察物体有一定的要求。
物体必须制成玻片标本，才能在显微镜下观察它的精细结构。
7
0
16、大量的研究事实说明生命体都是由细胞组成的，生物是由细胞构成的。
我们的皮肤表面，每平方厘米含有的细胞数量超过10万个。
2
24、目前，我国的航天技术在世界上占有相当重要的位置。
¡°长征四号¡±运载火箭的顺利发射，载人飞船¡°神舟¡±五号和¡°神舟¡±六号和¡°神舟¡±七号也已经发射成功，¡°嫦娥¡±一号探月卫星又发射成功。
2
10、由于人口迅速增长、环境污染和全球气候变暖，世界人均供水量自1970年以来开始减少，而且持续下降。
5
葫芦
0
3
0
3
0
3
2
2
0
3
0
韩信所说的¡°葫芦归罐¡±，是指把葫芦里的油往罐里倒；¡°罐归篓¡±是指把罐里的油往篓里倒。
通常分油要把油从大容器往小容器里倒，现在却把小容器里的油往大容器里¡°归¡±。
往油葫芦里倒油，只能得到3斤的油量；把葫芦里的油往罐里¡°归¡±，¡°归¡±到第三次，葫芦里就出现2斤的油量。
再把满满一罐油¡°归¡±到篓里，腾出空来，把葫芦里的2斤油¡°归¡±到空罐里；最后再倒一葫芦3斤油，¡°归¡±到罐里，就完成分油任务了。
韩信点兵
秦朝末年，楚汉相争。
一次，韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战。
苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营。
当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。
只见远方尘土飞扬，杀声震天。
汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗。
韩信兵马到坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌。
他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名。
韩信马上向将士们宣布：
我军有1073名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。
汉军本来就信服自己的统帅，这一来更相信韩信是¡°神仙下凡¡±、¡°神机妙算¡±。
于是士气大振。
一时间旌旗摇动，鼓声喧天，汉军步步进逼，楚军乱作一团。
交战不久，楚军大败而逃。
二、趣味数学之等差数列求和应用
1.例：
在一个分成64小格的方板的每个格子中放入石子。
如果第一格放入2粒，第二格放入4粒，第3格放入6粒，第四格放入8粒……依次类推，放满64格，一共要放入多少粒石子？
2.例：
在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍。
（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？
（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？
3.练习：
（1）丽丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了16个。
丽丽在这些天中共学会了多少个单词？
（2）有一家电影院，共有30排座位，后一排都比前一排多两个位置，已知第一排有28个座位，那么这家电影院共可以容纳多少名观众？
（3）盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。
这时盒子里共有多少只乒乓球？
（4）时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟也敲一下。
问：
时钟一昼夜敲打多少次？
三、总结：
说说上课后的感想
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