浦东高中暑假班 新王牌数学暑假班 第八讲 数列应用题专题训练.docx

浦东高中暑假班 新王牌数学暑假班 第八讲 数列应用题专题训练.docx

《浦东高中暑假班 新王牌数学暑假班 第八讲 数列应用题专题训练.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《浦东高中暑假班 新王牌数学暑假班 第八讲 数列应用题专题训练.docx（10页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

浦东高中暑假班新王牌数学暑假班第八讲数列应用题专题训练

第八讲数列应用题专题

一、储蓄问题

　　对于这类问题的求解，关键是要搞清：

（1）是单利还是复利；

（2）存几年。

　　单利是指本金到期后的利息不再加入本金计算。

设本金为P元，每期利率为r，经过n期，按单利计算的本利和公式为Sn=P（1+nr）。

　　复利是一种计算利率的方法，即把前一期的利息和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息。

设本金为P，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，则复利函数式为y=P（1+r）x。

　　例1、（储蓄问题）某家庭为准备孩子上大学的学费，每年6月30日在银行中存入2000元，连续5年，有以下两种存款的方式：

（1）如果按五年期零存整取计，即每存入a元按a（1+n·6.5%）计本利（n为年数）；

（2）如果按每年转存计，即每存入a元，按（1+5.7%）n·a计算本利（n为年数）。

　　问用哪种存款的方式在第六年的7月1日到期的全部本利较高？

二、等差、等比数列问题

等差、等比数列是数列中的基础，若能转化成一个等差、等比数列问题，则可以利用等差、等比数列的有关性质求解。

例2、（分期付款问题）用分期付款的方式购买家用电器一件，价格为1150元。

购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率为1%。

若交付150元以后的第一个月开始算分期付款的第一日，问分期付款的第10个月该交付多少钱？

全部货款付清后，买这件家电实际花了多少钱？

例3、（疾病控制问题）流行性感冒（简称流感）是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病。

某市去年11月份曾发生流感，据资料记载，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，以后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人。

由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日止，该市在这30天内感染该病毒的患者共有8670人，问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？

并求这一天的新患者人数。

例4（住房问题）某城市1991年底人口为500万，人均住房面积为6m2，如果该城市每年人口平均增长率为1%，每年平均新增住房面积为30万m2，求2000年底该城市人均住房面积为多少m2？

（精确到0.01）

例5（浓度问题）从盛有盐的质量分数为20%的盐水2kg的容器中倒出1kg盐水，然后加入1kg水，以后每次都倒出1kg盐水，然后再加入1kg水，

问：

1.第5次倒出的的1kg盐水中含盐多少g？

2.经6次倒出后，一共倒出多少kg盐？

此时加1kg水后容器内盐水的盐的质量分数为多少？

例6．（减员增效问题）某工厂在1999年的“减员增效”中对部分人员实行分流，规定分流人员第一年可以到原单位领取工资的100％，从第二年起，以后每年只能在原单位按上一年的

领取工资，该厂根据分流人员的技术特长，计划创办新的经济实体，该经济实体预计第一年属投资阶段，第二年每人可获得

元收入，从第三年起每人每年的收入可在上一年的基础上递增50％，如果某人分流前工资的收入每年

元，分流后进入新经济实体，第

年的收入为

元，

（1）求

的通项公式；

（2）当

时，这个人哪一年的收入最少？

最少为多少？

（3）当

时，是否一定可以保证这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收入？

例7．（等差等比综合问题）银行按规定每经过一定的时间结算存（贷）款的利息一次，结算后即将利息并入本金，这种计算利息的方法叫做复利．现在有某企业进行技术改造，有两种方案：

甲方案：

一次性贷款10万元，第一年便可获得利润1万元，以后每年比上年增加30％的利润；

乙方案：

每年贷款1万元，第一年可获得利润1万元，以后每年比前一年多获利5000元．

两种方案的期限都是10年，到期一次行归还本息．若银行贷款利息均以年息10％的复利计算，试比较两个方案哪个获得存利润更多？

（计算精确到千元，参考数据：

）

三、an-an-1=f（n）,f（n）为等差或等比数列

有的应用题中的数列递推关系，an与an-1的差（或商）不是一个常数，但是所得的差f（n）本身构成一个等差或等比数列，这在一定程度上增加了递推的难度。

例8、（广告问题）某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不作广告宣传且每件获利a元的前提下，可卖出b件。

若作广告宣传，广告费为n千元时比广告费为（n-1）千元时多卖出

件，（n∈N*）。

（1）试写出销售量s与n的函数关系式；

（2）当a=10,b=4000时厂家应生产多少件这种产品，做几千元广告，才能获利最大？

四、an=C·an-1+B，其中B、C为非零常数且C≠1

例9、（企业生产规划问题）某企业投资1千万元于一个高科技项目，每年可获利25%，由于企业间竞争激烈，每年底需要从利润中取出资金200万元进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，问经过多少年后，该项目的资金可以达到或超过翻两番（4倍）的目标？

（lg2=0.3）。

例10（分期付款问题）某人年初向银行贷款10万元用于买房：

（1）如果他向建设银行贷款，年利率为5%，且这笔借款分10次等额归还（不计复利），每年一次，并从借后次年年初开始归还，问每年应还多少元？

（精确到一元）；

（2）如果他向工商银行贷款，年利率为4%，要按复利计算（即本年的利息计入次年的本金生息），仍分10次等额归还，每年一次，每年应还多少元？

（精确到一元）。

例11．（环保问题）（2002年全国高考题）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同，为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？

例12．用砖砌墙，第一层用去了全部砖块的一半多一块，第二层用去了剩下的一半多一块……，依此类推，每一层都用去了上次剩下砖块的一半多一块，到第10层恰好把砖块用完，则此次砌墙一共用了多少块砖？

例13．（生态问题）某地区森林原有木材存量为

，且每年增长率为25％，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为

，设

为

年后该地区森林木材的存量，

（1）求

的表达式；

（2）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量不少于

，如果

，那么该地区今后会发生水土流失吗？

若会，需要经过几年？

（参考数据：

）

五、二个（或多个）不同数列之间的递推关系

有的应用题中还会出现多个不同数列相互之间的递推关系，对于该类问题，要正确处分没数列间的相互联系，整体考虑。

例14、（浓度问题）甲乙两容器中分别盛有浓度为10%、20%的某种溶液500ml，同时从甲乙两个容器中取出100ml溶液，将近倒入对方的容器搅匀，这称为是一次调和，记a1==10%,b1=20%,经（n-1）次调和后甲、乙两个容器的溶液浓度为an、bn，

（1）试用an-1、bn-1表示an、bn；

（2）求证数列{an-bn}是等比数列，并求出an、bn的通项。

例15．现有流量均为300

的两条河流A、B会合于某处后，不断混合，它们的含沙量分别为2

和0.2

．假设从汇合处开始，沿岸设有若干个观测点，两股水流在流经相邻两个观测点的过程中，其混合效果相当于两股水流在1秒钟内交换100

的水量，即从A股流入B股100

水，经混合后，又从B股流入A股100

水并混合．问：

从第几个观测点开始，两股河水的含沙量之差小于0.01

（不考虑泥沙沉淀）？

六、数列求和综合问题

例16某单位为了职工的住房问题，计划征用一块土地盖一幢总建筑面积为

的宿舍楼（每层的建筑面积相同）。

已知土地的征用费为

元/

，土地的征用面积为第一层的1.5倍。

经工程技术人员核算，第一层的建筑费用为400元/

，以后每增高一层，该层建筑费用就增加30元/

。

试设计这幢宿舍楼的楼高层数，使总费用最少，并求出其最少费用。

（总费用为建筑费用和征地费用之和）。

例17某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为500（1+

）万元（n为正整数）.

（Ⅰ）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元（须扣除技术改造资金），求An、Bn的表达式；

（Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？

.

【巩固练习】

1、甲、乙两人于同一天分别携款1万元到银行储蓄，甲存五年期定期储蓄，年利率为2.88%

乙存一年期定期储蓄，年利率为2.25%，并在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄

按规定每次计息时，储户须交纳利息的20%作为利息税，若存满五年后两人同时从银行取出存款，则甲与乙所得本息之和的差为__________元

（假定利率五年内保持不变，结果精确到1分）

2.某市2003年共有1万辆燃油型公交车。

有关部门计划于2004年投入128辆电力型公交车，随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%，试问：

（1）该市在2010年应该投入多少辆电力型公交车？

（2）到哪一年底，电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的

？

3．假设某市2004年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么，到哪一年底，

（1）该市历年所建中低价层的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？

（2）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？

4.某市2004年底有住房面积1200万平方米，计划从2005年起，每年拆除20万平方米的旧住房.假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的5%.

（1）分别求2005年底和2006年底的住房面积 ；

（2）求2024年底的住房面积.（计算结果以万平方米为单位，且精确到0.01）

5.某地原来每年消耗木材20万立方米，每立方米木材的价格为900元．为了减少木材的消耗保护生态环境，该地政府决定向消费者加收育林费．经预测每加收木材价格

的育林费，每年的木材消耗量就减少

万立方米．为了既减少木材消耗，又保证育林收入每年不少于2400万元，则

的取值范围是（）

（A）

（B）

（C）

（D）

6.某厂在一个空间容积为2000m3的密封车间内生产某种化学药品，开始生产后，每满60分钟一次性释放出有害气体am3，并迅速扩散到室内空气中。

每次释放有害气体后，车间内的净化设备随即自动工作20分钟，将有害气体的含量降至该车间内原有有害气体含量的r%，然后停止工作，待下一次有害气体释放后再继续工作。

（1）求第n次释放出有害气体后（净化之前）车间内共有有害气体量为多少？

（2）安全生产规定：

只有当车间内的有害气体总量不超过1.25am3时才能正常生产。

当r=20时，该车间能否连续正常生产6.5小时？

请说明理由。

7.一个计算装置有一个入口A和一输出运算结果的出口B，将自然数列

中的各数依次输入A口，从B口得到输出的数列

，结果表明：

①从A口输入

时，从B口得

；②当

时，从A口输入

，从B口得到的结果

是将前一结果

先乘以自然数列

中的第

个奇数，再除以自然数列

中的第

个奇数。

试问：

（1）从A口输入2和3时，从B口分别得到什么数？

（2）从A口输入100时，从B口得到什么数？

并说明理由。

8.公民在就业的第一年就交纳养老储备金

，以后每年交纳的数目均比上一年增加

，历年所交纳的储备金数目

是一个公差为

的等差数列．与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利．如果固定年利率为

，那么，在第

年末，第一年所交纳的储备金就变为

，第二年所交纳的储备金就变为

，

．以

表示到第

年末所累计的储备金总额．求证：

，其中

是一个等比数列，

是一个等差数列．

9.一场特大暴风雪严重损坏了某铁路干线供电设备，抗灾指挥部决定在24小时内完成抢险工程．经测算，工程需要15辆车同时作业24小时才能完成，现有21辆车可供指挥部调配．

（1）若同时投入使用，需要多长时间能够完成工程？

（精确到0.1小时）

（2）现只有一辆车可以立即投入施工，其余20辆车需要从各处紧急抽调，每隔40分钟有一辆车可以到达并投入施工，问：

24小时内能否完成抢险工程？

说明理由．

10、从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少

，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加

.

（1）设n年内（本年度为第一年）总投入为an万元，旅游业总收入为bn万元，写出an,bn的表达式；

（2）至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？

11、某地区2000年底有居民住房面积为a,现在居民住房划分为三类、其中危旧住房占1/3,新型住房占1/4,为加快住房建立`计划用10年的时间全部拆除危旧住房（每年拆除的数量相同）,自2001年起居民住房只建设新型住房.使得从2001年开始每年年底的新型住房面积都比上一年底增加20%,用an表示第n年底（2001年为第一年）该地区的居民住房总面积

（1）分别写出a1,a2,a3的表达式`并归纳出an的计算公式`不必证明.

（2）危旧住房全部拆除后`至少再过多少年才能使该地区居民住房总面积番两番?

（精确到年lg2=0.30、lg3=0.48、lg43=1.63）

12、某国采用养老储备金制度.公民在就业的第一年就交纳养老储备金，数目为a1，以后每年交纳的数目均比上一年增加d（d>0），因此，历年所交纳的储备金数目a1，a2，…是一个公差为d的等差数列，与此同时，国家给予优惠的计息政策，不仅采用固定利率，而且计算复利.这就是说，如果固定年利率为r（r>0），那么，在第n年末，第一年所交纳的储备金就变为a1（1＋r）a－1，第二年所交纳的储备金就变为a2（1＋r）a－2，……，以Tn表示到第n年末所累计的储备金总额.

（Ⅰ）写出Tn与Tn－1（n≥2）的递推关系式；

（Ⅱ）求证：

Tn＝An＋Bn，其中｛An｝是一个等比数列，｛Bn｝是一个等差数列.

13、据报道，我国森林覆盖率逐年提高，现已达国土面积的14%，某林场去年底森林木材储存量为

立方米，若树林以每年25%的增长率生长，计划从今年起，每年冬天要砍伐的木材量为

立方米，为了实现经过20年木材储存量翻两番的目标，问每年砍伐的木材量

的最大值是多少？

本文由提供，未经同意，不得转载