中考数学52圆的有关计算含答案.docx

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中考数学52圆的有关计算含答案

§5.2　圆的有关计算

A组　2015年全国中考题组

一、选择题

1．（2015·浙江绍兴，8，4分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，⊙O的半径为2，∠B＝135°，则的长（　　）

A．2πB．π

C.D.

解析　连结OA，OC，∵∠B＝135°，∴∠D＝180°－135°＝45°，∴∠AOC＝90°，则的长＝＝π.

答案　B

2．（2015·浙江杭州，9，3分）如图，已知点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，连结任意两点均可得到一条线段．在连结两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为的线段的概率为（　　）

A.B.C.D.

解析　连结AF，EF，AE，过点F作FN⊥AE于点N.

∵点A，B，C，D，E，F是边长为1的正六边形的顶点，∴AF＝EF＝1，∠AFE＝120°，∴∠FAE＝30°，∴AN＝，∴AE＝，同理可得：

AC＝，故从任意一点，连结两点所得的所有线段一共有15种，任取一条线段，取到长度为的线段有6种情况，则在连结两点所得的所有线段中任取一条线段，取到长度为的线段的概率为.

答案　B

3．（2015·浙江金华，10，3分）如图，正方形ABCD和正三角形AEF都内接于⊙O，EF与BC，CD分别相交于点G，H，则的值是（　　）

A.B.

C.D．2

解析　如图，连结AC，BD，OF.设⊙O的半径是r，则OF＝r，∵AO是∠EAF的平分线．∴∠OAF＝60°÷2＝30°.∵OA＝OF，∴∠OFA＝∠OAF＝30°，∴∠COF＝30°＋30°＝60°，∴FI＝r·sin60°＝r，∴EF＝r×2＝r.∵AO＝2OI，∴OI＝r，CI＝r－r＝r，∴＝＝，∴GH＝BD＝×2r＝r，∴＝＝.

答案　C

4．（2015·广东广州，9，3分）已知圆的半径是2，则该圆的内接正六边形的面积是（　　）

A．3B．9C．18D．36

解析　连结正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，等边三角形的边长是2，高为3，因而等边三角形的面积是3，∴正六边形的面积＝18.

答案　C

5．（2015·广东东莞，9，3分）如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得扇形DAB的面积为（　　）

A．6B．7C．8D．9

解析　∵正方形的边长为3，∴弧BD的弧长＝6，∴S扇形DAB＝lr＝×6×3＝9.

答案　D

6．（2015·浙江宁波，9，4分）如图，用一个半径为30cm，面积为300πcm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥（不计损耗），则圆锥的底面半径r为（　　）

A．5cmB．10cm

C．20cmD．5πcm

解析　设铁皮扇形的半径和弧长分别为R，l，圆锥形容器底面半径为r，

则由题意得R＝30，由Rl＝300π得l＝20π；

由2πr＝l得r＝10cm.故选B.

答案　B

二、填空题

7．（2015·浙江湖州，14，4分）如图，已知C，D是以AB为直径的半圆周上的两点，O是圆心，半径OA＝2，∠COD＝120°，则图中阴影部分的面积等于________．

解析　利用化零为整的方法，把两个小扇形看成一个大扇形，圆心角为60°，再利用扇形的面积公式即可．

答案　π

8．（2015·安徽，12，5分）如图，点A，B，C在半径为9的⊙O上，的长为2π，则∠ACB的大小是________．

解析　连结OA，OB.先由的长为2π，利用弧长计算公式求出∠AOB＝40°，再根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半得到∠ACB＝∠AOB＝20°.

答案　20°

9．（2015·湖北孝感，13，3分）已知圆锥的侧面积等于60πcm2，母线长10cm，则圆锥的高是________cm.

解析　设圆锥的底面圆的半径为r，根据题意得·2π·r·10＝60π，解得r＝6，所以圆锥的高＝＝8（cm）．

答案　8

10．（2015·山东烟台，16，3分）如图，将弧长为6π，圆心角为120°的圆形纸片AOB围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径OA与OB重合（粘连部分忽略不计）则圆锥形纸帽的高是________．

解析　∵弧长为6π，∴底面半径为6π÷2π＝3.∵圆心角为120°，∴＝6π，解得R＝9，∴圆锥的高为＝6.

答案　6

三、解答题

11．（2015·浙江丽水，21，8分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作⊙O的切线DF，交AC于点F.

（1）求证：

DF⊥AC；

（2）若⊙O的半径为4，∠CDF＝22.5°，求阴影部分的面积．

（1）证明　连结OD.∵OB＝OD，

∴∠ABC＝∠ODB.

∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.

∴∠ODB＝∠ACB，

∴OD∥AC.

∵DF是⊙O的切线，∴DF⊥OD.

∴DF⊥AC.

（2）解　连结OE，∵DF⊥AC，∠CDF＝22.5°，

∴∠ABC＝∠ACD＝67.5°，

∴∠BAC＝45°.

∵OA＝OE，∴∠AOE＝90°.

∵⊙O的半径为4，

∴S扇形AOE＝4π，S△AOE＝8，

∴S阴影＝S扇形AOE－S△AOE＝4π－8.

B组　2014～2011年全国中考题组

一、选择题

1．（2013·浙江义乌，8，3分）已知圆锥的底面半径为6cm，高为8cm，则这个圆锥的母线长为（　　）

A．12cmB．10cm

C．8cmD．6cm

解析　∵r2＋h2＝l2，∴62＋82＝l2，∴l＝10cm，故选B.

答案　B

2．（2013·浙江湖州，7，3分）在学校组织的实践活动中，小新同学用纸板制作了一个圆锥模型，它的底面半径为1，高为2，则这个圆锥的侧面积是（　　）

A．4πB．3πC．2πD．2π

解析　∵圆锥的底面半径为r＝1，高为2，∴圆锥的母线长l＝＝3，∴圆锥的侧面积＝πrl＝π×1×3＝3π，故选B.

答案　B

3．（2014·浙江绍兴，7，4分）如图，圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为90°的扇形，则该圆锥的底面周长为（　　）

A.πB.πC.D.

解析　根据题意可知：

扇形的弧长＝＝，∴圆锥的底面周长就是.故选B.

答案　B

4．（2013·浙江温州，10，4分）在△ABC中，∠C为锐角，分别以AB，AC为直径作半圆，过点B，A，C作弧，如图所示，若AB＝4，AC＝2，S1－S2＝，则S3－S4的值是（　　）

A.B.C.D.

解析　∵S1＋S3＝πAB2＝2π　①，S2＋S4＝πAC2＝π　②，∴①－②得：

（S1－S2）＋（S3－S4）＝π.∵S1－S2＝，∴S3－S4＝π－＝π.

答案　D

5．（2013·浙江嘉兴，6，4分）如图，某厂生产横截面直径为7cm的圆柱形罐头，需将“蘑菇罐头”字样贴在罐头侧面．为了获得较佳视觉效果，字样在罐头侧面所形成的弧的度数为90°，则“蘑菇罐头”字样的长度为（　　）

A.cmB.cm

C.cmD．7πcm

解析　∵字样在罐头侧面所形成的弧的度数为90°，∴此弧所对的圆心角为90°.由题意可得，R＝cm，

则“蘑菇罐头”字样的长＝＝π.故选B.

答案　B

6．（2014·浙江金华，10，3分）一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式分别剪得一个正方形，边长都为1，则扇形和圆形纸板的面积比是（　　）

A．5∶4B．5∶2

C.∶2D.∶

解析　如图，在扇形纸板中，连结OF，在Rt△OCD中，因为∠AOB＝45°，所以△OCD是等腰直角三角形，所以OD＝CD＝1.所以OE＝OD＋DE＝2.在Rt△OEF中，因为OF2＝OE2＋EF2＝22＋12＝5，所以扇形的面积＝＝＝.在圆形纸板中，连结AC，根据勾股定理有AC＝，所以OA＝，所以圆的面积＝π＝π.所以扇形纸板与圆形纸板的面积比＝∶π＝5∶4.故选A.

答案　A

二、填空题

7．★（2013·山东济宁，12，3分）如图，△ABC和△A′B′C是两个完全重合的直角三角板，∠B＝30°，斜边长为10cm.三角板A′B′C绕直角顶点C顺时针旋转，当点A′落在AB边上时，CA′旋转所构成的扇形的弧长为________cm.

解析　因为∠B＝30°，AB＝A′B′＝10cm，则∠A＝60°，AC＝A′C＝5cm.当A′落在AB边上时，∴△ACA′是等边三角形，∴CA′旋转所构成的扇形的弧长为＝.

答案　

8．（2013·浙江宁波，17，3分）如图，AE是半圆O的直径，弦AB＝BC＝4，弦CD＝DE＝4，连结OB，OD，则图中两个阴影部分的面积和为________．

解析　∵弦AB＝BC，弦CD＝DE，∴点B是弧AC的中点，点D是弧CE的中点，∴∠BOD＝90°.

过点O作OF⊥BC于点F，OG⊥CD于点G，则BF＝FC＝2，CG＝GD＝2，∠FOG＝45°.

在四边形OFCG中，∠FCD＝135°，

过点C作CN∥OF，交OG于点N，

则∠FCN＝90°，∠NCG＝135°－90°＝45°，

∴△CNG为等腰三角形，

∴CG＝NG＝2.

过点N作NM⊥OF于点M，

则MN＝FC＝2，

在等腰直角三角形MNO中，NO＝MN＝4，

∴OG＝ON＋NG＝6.

在Rt△OGD中，OD＝＝＝2，

即圆O的半径为2，

故S阴影＝S扇形BOD＝＝10π.

答案　10π

9．（2013·浙江衢州，14，4分）如图，将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，三角板一边与量角器的零刻度线所在直线重合，重叠部分的量角器弧（）对应的圆心角（∠AOB）为120°，OC的长为2cm，则三角板和量角器重叠部分的面积为________．

解析　∵∠AOB＝120°，∴∠BOC＝60°.

在Rt△OBC中，OC＝2cm，∠BOC＝60°，∴∠OBC＝30°，∴OB＝4cm，BC＝2cm，

则S扇形OAB＝＝（cm2），S△OBC＝OC×BC＝2（cm2），故S重叠＝S扇形OAB＋S△OBC＝＋2（cm2）．

答案　＋2（cm2）

10．（2013·浙江杭州，15，4分）四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，且BC＝CD＝2，AB＝3，把梯形ABCD分别绕直线AB，CD旋转一周，所得几何体的表面积分别为S1，S2，则|S1－S2|＝________（平方单位）．

解析　绕AB旋转一周形成的圆柱的侧面的面积是：

2π×2×2＝8π；绕CD旋转一周形成的圆柱的侧面的面积是：

2π×2×3＝12π，则|S1－S2|＝4π.

答案　4π

三、解答题

11．（2012·浙江宁波，23，8分）如图，在△ABC中，BE是它的角平分线，∠C＝90°，D在AB边上，以DB为直径的半圆O经过点E，交BC于点F.

（1）求证：

AC是⊙O的切线；

（2）已知sinA＝，⊙O的半径为4，求图中阴影部分的面积．

（1）证明　连结OE.∵OB＝OE，∴∠OBE＝∠OEB.∵BE是△ABC的角平分线，∴∠OBE＝∠EBC.∴∠OEB＝∠EBC.∴OE∥BC.∵∠C＝90°，∴∠AEO＝∠C＝90°.∴OE⊥AC，∴AC是⊙O的切线．

（2）解　连结OF.

∵sinA＝，∴∠A＝30°.

∵⊙O的半径为4，∴AO＝2OE＝8.∴AB＝12.

∴AE＝4，∠AOE＝60°，

∴BC＝AB＝6，AC＝6.

∴CE＝AC－AE＝2.

∵OB＝OF，∠ABC