B.(Q,+,*),其中Q为有理数集,+,*分别为有理数加法和乘法。
C.,其中R为实数集,+为实数加法,a*b=a+2b。
D.,其中Mn(R)为实数集n×n阶矩阵结合,+,*是矩阵加法和乘法。
8.下列整数集对于整除关系都构成偏序集,而能构成格的是【B】。
A.{l,2,3,4,5}B.{1,2,3,6,12}
C.{2,3,7}D.{l,2,3,7}
9.结点数为奇数且所有结点的度数也为奇数的连通图必定是【D】。
A.欧拉图B.汉密尔顿图
C.非平面图D.不存在的
10.无向图G是欧拉图当且仅当G是连通的且【C】。
A.G中各顶点的度数均相等
B.G中各顶点的度数之和为偶数
C.G中各顶点的度数均为偶数
D.G中各顶点的度数均为奇数
11.设S={0,1},*为普通乘法,则是【B】。
A.半群,但不是独异点;B.只是独异点,但不是群;
C.群;D.环,但不是群;
12.设(A,+,×)是代数系统,其中+,×是普通的加法和乘法运算,能使(A,+,×)成为环的集合A是【A】。
A.所有偶数组成的集合;B.所有奇数组成的集合;
C.所有正整数组成的集合;D.所有非负整数组成的集合。
13.设A={1,2,3},则A上的二元关系有【C】个。
A.23;B.32;
C.
;D.
。
14.在【A】下有
。
A.
;B、
C、
;D、
15.下列结果正确的是【B】。
A.
;B.
;
C.
;D.
。
16.设p:
我很累,q:
我去学习,命题:
“除非我很累,否则我就去学习”的符号化正确的是【B】。
A.┐p∧qB.┐p→q
C.┐p→┐qD.p→┐q
17.下列函数是双射的为【A】
A.f:
I
E,f(x)=2x;B.f:
N
N
N,f(n)=;
C.f:
R
I,f(x)=[x];D.f:
I
N,f(x)=|x|。
(注:
I—整数集,E—偶数集,N—自然数集,R—实数集)
18.有向图中D=
,则
长度为2的通路有【D】条。
A.0;B.1;C.2;D.3。
19.在一棵树中有7片树叶,3个度为3的结点,其余都是度为4的结点,则该树有【A】个度为4的结点。
A.1;B.2;C.3;D.4。
20.下图中既不是Eular图,也不是Hamilton图的图是【B】
二、填空题
请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
1.命题逻辑与谓词逻辑的区别是 。
2.谓词逻辑中,命题被分解为___________,_________两部分。
3.集合的常用表示方法有___________,___________,____________和图示法四种。
4.具有___________,___________和___________三种性质的二元关系叫等价关系。
5.n阶有向完全图的边数为_________,n阶无向完全图的边数为________。
6.如果一个图的每条边都是___________称为有向图,每条边都是称为无向图。
7.若图中存在____________________________的通路,该图称为半欧拉图。
8.有向图树T中,___________________称为根,__________________称为树叶。
9.设R是A上的二元关系,当有(a,b)∈R和(b,c)∈R时,必有,则称R为可传递的二元关系。
a
b
c
abc
bbc
ccb
10.设代数系统,其中A={a,b,c},
则幺元是;是否有幂等性;是否有对称性。
11.能够判断______________________称为命题。
12.不包含任何联结词的命题叫做__________命题,至少包含一个联结词的命题叫做_________命题。
13.二元关系的表示方法有___________,___________,____________三种。
14.
(1)A,B,C表示三个集合,文图中阴影部分的集合表达式为
。
(2)设P,Q的真值为0,R,S的真值为1,则
的真值=。
(3)公式
的主合取范式为
。
15.
,*表示求两数的最小公倍数的运算(Z表示整数集合),对于*运算的幺元是,零元是。
16.将有向图D各边的方向去掉得无向图G,称G为D的____________。
17.若图中存在____________________________回路,该图称为欧拉图。
18.拉格朗日定理说明若是群的子群,则可建立G中的等价关系
R=。
若|G|=n,|H|=m则m和n关系为。
19.根据入射函数,满射函数,双射函数的定义填空。
设N是自然数集合,Z是整数集合,R是实数集合,则f1(N→N,f1(n)=n2)是函数;f2(N→N,f2(n)=n+10)是函数;f3(Z→Z,f3(z)=z+10)是函数;f4(R→R,f4(r)=r+5.6)是函数;f5(Z→{0,1},当z为偶数时,f5(z)=1;当z为奇数时,f5(z)=0。
)是函数。
[填空题参考答案:
1.在命题逻辑中,原子命题是进行演算的基本单位,不再研究命题的内部结构。
而谓词逻辑的任务就是对原子命题作进一步的分析,研究其内部的逻辑结构。
2.个体词和谓词两部分。
3.列举法、叙述法、特定字母集和图表法。
4.自反性、对称性和传递性
5.n2和n(n-1)/2
6.有向边和无向边
7.一条通过图中各边一次且仅一次的通路。
8.入度为零的顶点称为根,出度为零的顶点称为叶子。
9.(a,c)∈R
10.a、否、有
11.能够判断内容真假的语句称为命题。
12.原子和复合。
13.表格法、矩阵法和图表法。
14.
(1)
;
(2)1;(3)
15.不存在、e≠θ
16.底图
17.一条通过图中各边一次且仅一次的回路。
18.
、
19.入射 、 入射 、 双射 、 双射 、满射。
三、判断说明题
判断下列各题正误,正确的在题后括号内打“√”,错误的打“×”,并说明其正确或错误的理由。
(一)判断下列语句那些是命题
1.我是工程师。
【√】
2.计算机有空吗?
【×】
3.6是奇数。
【√】
4.太美妙了!
【×】
5.雪是白的。
【√】
6.我是大学生【√】
7.雪是黑的。
【√】
8.外星人是存在的。
【√】
9.请打开门!
【×】
10.这束花多么好看啊!
【×】
(二)下列函数中(1~5小题),哪些是单射函数,满射函数,双射函数。
其中N是自然数集合,I是整数集合,R是实数集合。
已知集合A={a,b,c},集合B={1,2,3},下列A→B的二元关系中,R1~R5哪些可以构成函数。
1.f:
N→N,f(n)=2n【单射】
2.f:
A→B,A={0,1,2},B={0,1,2,3,4},f(a)=a2【单射】
3.f:
I→I,f(i)=i+10【双射】
4.f:
I→I,f(i)=|i| 【既不是单射,也不是满射】
5.f:
I→{0,1},当I为偶数时,f(i)=0;当I为奇数时,f(i)=1。
【满射】
6.R1={(a,1),(b,2),(c,3)}【√】
7.R2={(a,3),(c,2),(c,1)}【×】
8.R3={(a,2),(b,1),(b,2),(c,3)}【×】
9.R4={(b,1),(c,3)} 【×】
10.R5={(a,1),(b,1),(c,3)}【√】
四、表述题:
将下列命题符号化
(一)命题逻辑符号化
1.我美丽而又快乐。
2.如果老张和老李都不去,他就去。
3.电灯不亮,当且仅当灯泡或开关发生故障。
4.王强工作努力且身体好。
5.我是本次校运动会的跳远或100米短跑的冠军。
6.只要有学习机会,我一定用功读书。
7.两个三角形全等,当且仅当它们的三个对应边相等。
8.如果不下雨,我不乘公交车上班。
(二)谓词逻辑符号化(论域为全部个体域)
1.小张不是学生。
2.所有的有理数都是实数。
3.小张大于18岁,身体健康,无色盲,大学毕业,则他可参加飞行员考试。
4.小王不是研究生。
37.他是跳高或篮球运动员
38.晓莉非常聪明和能干
39.若m是奇数,则2m是偶数。
[四、参考答案:
(一)
1.设P表示命题“我美丽”,Q表示命题“我快乐”。
则用符号表示命题为:
P∧Q
2.P表示“老张去”;Q表示“老李去”;R表示“他去”。
则(P∧Q)→R。
3.设P表示“电灯不亮”,Q表示“灯泡发生故障”;R表示“开关发生故障”。
则P
(Q∨R)。
4.设P表示命题王强工作努力,Q表示命题王强身体好。
则用联结词表示复合命题为:
P∧Q
5.设P:
我是本次校运动会的跳远冠军
Q:
我是本次校运动会的100米短跑的冠军,则P∨Q。
6.设P:
有学习机会,Q:
我一定用功读书,则P→Q。
7.设P:
两个三角形全等,Q:
三个对应边相等,则P⇆Q
8.P:
下雨,Q:
我不乘公交车上班。
则┒P→Q。
(二)
1.令S(x):
x是学生;a:
小张;则┐S(a)
2.设Q(x):
x是有理数;R(x):
x是实数,则符号化为:
∀x(Q(x)→R(x))]
3.设A(x):
x超过18岁;B(x):
x身体健康;C(x):
x色盲;D(x):
x大学毕业
E(x):
x参加飞行员考试;a:
小张;则A(a)∧B(a)∧C(a)∧D(a)→E(a)。
4.设A(x):
x是研究生;a:
小王,则┒A(a)。
5.设A(x):
x是跳高运动员;B(X):
x是篮球运动员;a:
他;则A(a)∨B(a)
6.设A(x):
x非常聪明;B(x):
x能干;a:
晓莉;则A(a)∧B(a)
7.A(x):
x是奇数;B(x):
x是偶数;m:
某整数;则A(m)→B(2m)。
]
五、计算题
1.构造公式:
┒P∨Q的真值表
2.已知集合A={1,2},求集合A的幂集P(A)。
3.已知集合A={a,b},求集合A上的笛卡尔积A×A.
4.知集合A={a,b,c,d},R={(a,a),(a,c),(a,d),(b,a),(b,b),(b,d),(c,a),(d,b),(d,c)}是A上的关系,试用矩阵表示法表示R。
5.试画出树叶权为1,2,3,5,7,12的最优二元树,并求出该树的权。
6.求公式(┒P∧Q)∨(P∧┒Q)的真值表。
7.已知集合A={1,2,3},求集合A的幂集P(A)。
8.已知集合A={a,b,c},求集合A上的笛卡尔积A×A.
9.画出一个3阶有向完全图
10.(A,R)是偏序集,A={2,3,4,5,6,8,12,16,24},R是A上的整除关系。
试写出A中的所有极大元和极小元,它有没有最大元和最小元?
[五、参考答案:
1.
P
Q
┒P∨Q
F
F
T
F
T
T
T
F
F
T
T
T
2.因为|A|=2,所以A的幂集|P(A)|=2^2=4。
P(A)={Φ,{1},{2},{1,2}}
3.
A×A={a,b}×{a,b}={(a,a),(a,b),,(b,a),(b,b),}
4.A={a,b,c,d},R={(a,a),(a,c),(a,d),(b,a),(b,b),(b,d),(c,a),(d,b),(d,c)}
矩阵表示:
1 0 1 1
1 1 0 1
1 0 0 0
0 1 1 0
5.最优二元树为:
最优二元树的权为:
W=12+18+2*(7+11)+3*(5+6)+4*(3+3)+5*(1+2)=138]
6.
P
Q
┒P
Q
┒P∧Q
P∧┒Q
(┒P∧Q)∨(P∧┒Q)
T
T
F
F
F
F
F
T
F
F
T
F
T
T
F
T
T
F
T
F
T
F
F
T
T
F
F
F
7.因为|A|=3,所以A的幂集|P(A)|=2^3=8。
P(A)={Φ,{1},{2},{3},{1,2}{1,3},{2,3},{1,2,3}}
8.
A×A={a,b,c}×{a,b,c}={(a,a),(a,b),(a,c),(b,a),(b,b),(b,c),(c,a),(c,b),(c,c)}
9.
10.极大元为:
5,16,24;极小元为:
2,3,5。
无最大和最小元。
六、证明题
1.设R是A上的反自反关系和可传递关系,证明R是A上的反对称关系。
2.若图G中恰有两个奇数顶点,则这两个顶点是连通的。
3.设A和B是集合,证明A∪(B-A)=A∪B。
4.R是集合X上的一个自反关系,求证:
R是对称和传递的,当且仅当
和在R中,则有<.b,c>在R中。
[六、参考答案:
1.证:
因为当a≠b,且(a,b)∈R时,必有(b,a)∉R,否则如果(b,a)∈R,根据传递性,应有(a,a),(b,b)∈R,这与反自反矛盾。
故反对称性成立。
2.证:
设G中两个奇数度结点分别为u,v。
若u,v不连通,即它们中无任何通路,则至少有两个连通分支G1、G2,使得u,v分别属于G1和G2。
于是G1与G2中各含有一个奇数度结点,与握手定理矛盾。
因而u,v必连通。
3..证:
A∪(B-A)=A∪(B∩—A)
=(A∪B)∩(A∪—A)
=(A∪B)∩U
=(A∪B)
4.证:
“
”
若
由R对称性知
,由R传递性得
“
”若
,
有
任意
,因
若
所以R是对称的。
若
,
则
即R是传递的。
]