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1、离散数学复习题离散数学复习题一、单项选择题1.下列命题公式为重言式的是【 A 】。Ap (pq) B(pp)qCqq Dpq2下列语句中不是命题的是【 A 】。A这个语句是假的。 B1+1=1.0C飞碟来自地球外的星球。 D凡石头都可练成金。3设A=，1，1，3，1，2，3，则A上包含关系“”的哈斯图为【 C 】4在公式中变元y是【 B 】。A自由变元B约束变元C既是自由变元，又是约束变元D既不是自由变元，又不是约束变元5设A=1，2，3，A上二元关系S=，则S是【 D 】。A自反关系 B反自反关系C对称关系 D传递关系6图 中 从v1到v3长度为3 的通路有【 D 】条。 A0； B1； C

2、2； D3。7在下列代数系统中，不是环的只有【 C 】。AZ，+，*)，其中Z为整数集，+，*分别为整数加法和乘法。B(Q，+，*)，其中Q为有理数集，+，*分别为有理数加法和乘法。C，其中R为实数集，+为实数加法，a*b=a+2b。D，其中Mn(R)为实数集nn阶矩阵结合，+，*是矩阵加法和乘法。8下列整数集对于整除关系都构成偏序集，而能构成格的是【 B 】。Al，2，3，4，5 B1，2，3，6，12C2，3，7 Dl，2，3，79结点数为奇数且所有结点的度数也为奇数的连通图必定是【 D 】。A欧拉图 B汉密尔顿图C非平面图 D不存在的10无向图G是欧拉图当且仅当G是连通的且【 C 】。A

3、G中各顶点的度数均相等BG中各顶点的度数之和为偶数CG中各顶点的度数均为偶数DG中各顶点的度数均为奇数11.设S=0，1，*为普通乘法，则是【 B 】。 A.半群，但不是独异点； B.只是独异点，但不是群； C.群 ； D.环，但不是群；12设（A，+，）是代数系统，其中+，是普通的加法和乘法运算，能使（A，+，）成为环的集合A是【 A 】。A所有偶数组成的集合； B所有奇数组成的集合； C所有正整数组成的集合； D所有非负整数组成的集合。13设A=1，2，3，则A上的二元关系有【 C 】个。 A 23 ； B 32 ； C ； D 。14在【 A 】下有。A； B、 C、； D、15下列结果

4、正确的是【 B 】。A； B；C； D。 16设p：我很累，q：我去学习，命题：“除非我很累，否则我就去学习”的符号化正确的是【 B 】。Apq BpqCpq Dpq 17下列函数是双射的为【 A 】Af : IE , f (x) = 2x ； Bf : NNN, f (n) = ；Cf : RI , f (x) = x ； Df :IN, f (x) = | x | 。（注：I整数集，E偶数集， N自然数集，R实数集）18有向图中D= ，则长度为2的通路有【 D 】条。A0； B1； C2； D3 。19在一棵树中有7片树叶，3个度为3的结点，其余都是度为4的结点，则该树有【 A 】个度为4

5、的结点。A1； B2； C3； D4 。20下图中既不是Eular图，也不是Hamilton图的图是【 B 】二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1.命题逻辑与谓词逻辑的区别是。2.谓词逻辑中，命题被分解为_, _两部分。3.集合的常用表示方法有_, _, _和图示法四种。4.具有_, _和_ 三种性质的二元关系叫等价关系。5.n阶有向完全图的边数为_, n阶无向完全图的边数为_。6.如果一个图的每条边都是_称为有向图，每条边都是 称为无向图。7.若图中存在_的通路， 该图称为半欧拉图。8.有向图树T中，_称为根，_称为树叶。9.设R是A上的二元关系，当有（a,b）R和

6、（b,c）R时，必有 ,则称R为可传递的二元关系。abca b cb b cc c b10.设代数系统，其中A=a，b，c,则幺元是 ；是否有幂等性 ；是否有对称性 。 11.能够判断_称为命题。 12.不包含任何联结词的命题叫做_命题, 至少包含一个联结词的命题叫做_命题。 13.二元关系的表示方法有_, _, _ 三种。 14.（1）A，B，C表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为 。（2）设P，Q 的真值为0，R，S的真值为1，则的真值= 。（3）公式的主合取范式为 。 15.，*表示求两数的最小公倍数的运算（Z表示整数集合），对于*运算的幺元是 ，零元是 。 16.将有向图D各边的

7、方向去掉得无向图G, 称G为D的_。 17.若图中存在_回路， 该图称为欧拉图。 18.拉格朗日定理说明若是群的子群，则可建立G中的等价关系R= 。若|G|=n, |H|=m 则m和n关系为 。19根据入射函数，满射函数，双射函数的定义填空。设N是自然数集合，Z是整数集合，R是实数集合，则f1（NN, f1（n）= n2）是 函数；f2（NN, f2（n）= n + 10）是 函数；f3（ZZ, f3（z）= z + 10）是 函数；f4（RR, f4（r）= r +5.6）是 函数；f5（Z0,1,当z为偶数时，f5(z)=1;当z为奇数时，f5(z)=0。）是 函数。填空题参考答案：1.在

8、命题逻辑中，原子命题是进行演算的基本单位，不再研究命题的内部结构。而谓词逻辑的任务就是对原子命题作进一步的分析，研究其内部的逻辑结构。2.个体词和谓词两部分。 3.列举法、叙述法、特定字母集和图表法。4自反性、对称性和传递性 5. n2和n(n-1)/26有向边和无向边 7一条通过图中各边一次且仅一次的通路。8入度为零的顶点称为根，出度为零的顶点称为叶子。9（a,c）R 10. a、 否、 有 11能够判断内容真假的语句称为命题。12原子和复合。 13表格法、矩阵法和图表法。 14.(1)；(2)1；(3) 15不存在、e 16.底图 17一条通过图中各边一次且仅一次的回路。 18、 19入射

9、、入射、双射、双射、满射。三、判断说明题判断下列各题正误，正确的在题后括号内打“”，错误的打“”，并说明其正确或错误的理由。（一） 判断下列语句那些是命题1我是工程师。 【 】2计算机有空吗？ 【 】36是奇数。 【 】4太美妙了！ 【 】5.雪是白的。 【 】6.我是大学生 【 】7.雪是黑的。 【 】8.外星人是存在的。 【 】9.请打开门！ 【 】10.这束花多么好看啊！ 【 】（二）下列函数中（15小题），哪些是单射函数，满射函数，双射函数。其中N是自然数集合，I是整数集合，R是实数集合。已知集合A =a, b, c，集合B =1, 2, 3, 下列AB的二元关系中，R1R5哪些可以构

10、成函数。1f：NN, f（n）= 2n 【单射 】2f：AB,A=0,1,2,B=0,1,2,3,4,f(a)=a2 【单射 】3f：II, f（i）= i + 10 【 双射 】 4f: II, f(i)=|i| 【 既不是单射，也不是满射】 5.f: I0,1,当I为偶数时，f(i)=0;当I为奇数时，f(i)=1。 【满射 】 6.R1 = （a, 1）,（b, 2）,（c, 3） 【 】 7.R2 = （a, 3）,（c, 2）,（c, 1） 【 】 8.R3 = （a, 2）,（b, 1）,（b, 2）,（c, 3） 【 】 9.R4 = （b, 1）,（c, 3） 【 】 10.R

11、5 = （a, 1）,（b, 1）,（c, 3） 【 】 四、表述题：将下列命题符号化（一）命题逻辑符号化1.我美丽而又快乐。2.如果老张和老李都不去，他就去。3.电灯不亮，当且仅当灯泡或开关发生故障。 4.王强工作努力且身体好。 5.我是本次校运动会的跳远或100米短跑的冠军。 6.只要有学习机会，我一定用功读书。 7.两个三角形全等，当且仅当它们的三个对应边相等。 8.如果不下雨，我不乘公交车上班。（二）谓词逻辑符号化（论域为全部个体域） 1.小张不是学生。 2.所有的有理数都是实数。 3.小张大于18岁，身体健康，无色盲，大学毕业，则他可参加飞行员考试。 4.小王不是研究生。37他是跳高

12、或篮球运动员38.晓莉非常聪明和能干39.若m是奇数，则2m是偶数。四、参考答案：（一）1.设P表示命题“我美丽”，Q表示命题“我快乐”。则用符号表示命题为：PQ2.P表示“老张去”；Q表示“老李去”；R表示“他去”。则（PQ）R。3.设P表示“电灯不亮”，Q表示“灯泡发生故障”；R表示“开关发生故障”。则P（QR）。 4.设P表示命题王强工作努力，Q表示命题王强身体好。则用联结词表示复合命题为：PQ 5.设P：我是本次校运动会的跳远冠军Q：我是本次校运动会的100米短跑的冠军，则PQ。 6.设P：有学习机会，Q：我一定用功读书，则PQ。 7.设P：两个三角形全等，Q：三个对应边相等，则PQ

13、8.P：下雨，Q：我不乘公交车上班。则PQ。 （二） 1.令S（x）:x是学生；a:小张；则S(a) 2. 设Q(x):x是有理数；R(x):x是实数，则符号化为：x(Q(x) R(x) 3.设A(x):x超过18岁；B(x):x身体健康；C(x):x 色盲；D(x):x大学毕业 E(x):x参加飞行员考试；a:小张；则A(a)B(a)C(a)D(a) E(a)。 4.设A(x):x是研究生；a:小王，则A(a)。 5.设A(x):x是跳高运动员；B(X):x是篮球运动员；a：他；则A(a)B(a) 6.设A(x):x非常聪明；B(x): x能干；a: 晓莉；则A(a)B(a) 7.A(x):

14、x是奇数；B(x): x 是偶数；m:某整数；则A(m) B(2m)。五、计算题1构造 公式：P Q的真值表2.已知集合A =1, 2, 求集合A的幂集P（A）。3. 已知集合A =a, b, 求集合A 上的笛卡尔积AA.4. 知集合A =a, b, c, d, R=（a, a）,（a, c）,（a,d）,（b,a）,（b,b）,（b,d）,（c,a）,（d,b）,（d,c） 是A上的关系，试用矩阵表示法表示R。5. 试画出树叶权为1，2，3，5，7，12的最优二元树，并求出该树的权。 6.求公式( P Q ) ( P Q )的真值表。 7已知集合A =1, 2, 3, 求集合A的幂集P（A）

15、。8已知集合A =a, b, c, 求集合A 上的笛卡尔积AA. 9画出一个3阶有向完全图10（A，R）是偏序集，A=2，3，4，5，6，8，12，16，24，R是A上的整除关系。试写出A中的所有极大元和极小元，它有没有最大元和最小元？ 五、参考答案： 1.PQP QFFTFTTTFFTTT2.因为A2，所以A的幂集P（A）224。P（A），1,2,1,2 3.AA=a,ba,b=(a,a),(a,b),(b,a),(b,b), 4.A =a, b, c, d, R=（a, a）,（a, c）,（a,d）,（b,a）,（b,b）,（b,d）,（c,a）,（d,b）,（d,c） 矩阵表示：101

16、1110110000110 5. 最优二元树为：最优二元树的权为： W=12+18+2*(7+11)+3*(5+6)+4*(3+3)+5*(1+2)=138 6. PQPQP QP Q( P Q ) ( P Q )TTFFFFFTFFTFTTFTTFTFTFFTTFFF 7.因为A3，所以A的幂集P（A）238。P（A），1,2,3,1,21,3,2,3,1,2,3 8AA=a,b,ca,b,c=(a,a),(a,b),(a,c),(b,a),(b,b),(b,c),(c,a),(c,b),(c,c) 9. 10极大元为：5，16，24；极小元为：2，3，5。无最大和最小元。 六、证明题1设R

17、是A上的反自反关系和可传递关系，证明R是A上的反对称关系。2. 若图G中恰有两个奇数顶点，则这两个顶点是连通的。3.设A和B是集合，证明A（B-A）=AB。4R是集合X上的一个自反关系，求证：R是对称和传递的，当且仅当 和在R中，则有在R中。六、参考答案：1.证：因为当ab，且（a,b）R时，必有（b,a）R,否则如果（b,a）R,根据传递性，应有（a,a）,(b,b) R,这与反自反矛盾。故反对称性成立。2.证：设G中两个奇数度结点分别为u，v。若 u，v不连通，即它们中无任何通路，则至少有两个连通分支G1、G2，使得u，v分别属于G1和G2。于是G1与G2中各含有一个奇数度结点，与握手定理矛盾。因而u，v必连通。 3.证：A（B-A）=A（BA）=（AB）（AA）=（AB） U=（AB）4证：“” 若 由R对称性知，由R传递性得 “” 若， 有 任意 ，因 若 所以R是对称的。若， 则 即R是传递的。