中考数学总复习专题跟踪突破15 二次函数与几何图形综合题.docx

中考数学总复习专题跟踪突破15 二次函数与几何图形综合题.docx

《中考数学总复习专题跟踪突破15 二次函数与几何图形综合题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考数学总复习专题跟踪突破15 二次函数与几何图形综合题.docx（21页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

中考数学总复习专题跟踪突破15二次函数与几何图形综合题

专题跟踪突破15　二次函数与几何图形综合题

1．（导学号：

01262182）（2016·烟台）如图，已知平行四边形ABCD顶点A的坐标为（2，6），点B在y轴上，且AD∥BC∥x轴，过B，C，D三点的抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标为（2，2），点F（m，6）是线段AD上一动点，直线OF交BC于点E.

（1）求抛物线的表达式；

（2）设四边形ABEF的面积为S，请求出S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

解：

（1）∵过B，C，D三点的抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标为（2，2），∴点C的横坐标为4，BC＝4，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC＝4，∵A（2，6），∴D（6，6），设抛物线解析式为y＝a（x－2）2＋2，∵点D在此抛物线上，∴6＝a（6－2）2＋2，∴a＝

，∴抛物线解析式为y＝

（x－2）2＋2＝

x2－x＋3

（2）∵AD∥BC∥x轴，且AD，BC间的距离为3，BC，x轴的距离也为3，F（m，6）∴E（

，3），∴BE＝

，∴S＝

（AF＋BE）×3＝

（m－2＋

）×3＝

m－3，∵点F（m，6）在线段AD上，∴2≤m≤6，即S＝

m－3（2≤m≤6）

2．（导学号：

01262183）（2016·新疆）如图，对称轴为直线x＝

的抛物线经过点A（6，0）和B（0，－4）．

（1）求抛物线解析式及顶点坐标；

（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第一象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式；

（3）当

（2）中的平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形OEAF是否为菱形．

解：

（1）设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，将A，B点的坐标代入函数解析式，得

解得

抛物线的解析式为y＝－

x2＋

x－4，配方得y＝－

（x－

）2＋

，顶点坐标为（

，

）

（2）E点坐标为（x，－

x2＋

x－4），S＝2×

OA·yE＝6（－

x2＋

x－4），即S＝－4x2＋28x－24

（3）平行四边形OEAF的面积为24时，平行四边形OEAF可能为菱形，理由如下：

当平行四边形OEAF的面积为24时，即－4x2＋28x－24＝24，化简，得x2－7x＋12＝0，解得x＝3或4，当x＝3时，EO＝EA，平行四边形OEAF为菱形．当x＝4时，EO≠EA，平行四边形OEAF不为菱形．∴平行四边形OEAF的面积为24时，平行四边形OEAF可能为菱形3．（导学号：

01262079）（2016·哈尔滨）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线y＝ax2＋2ax＋c经过A（－4，0），B（0，4）两点，与x轴交于另一点C，直线y＝x＋5与x轴交于点D，与y轴交于点E.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是第二象限抛物线上的一个动点，连接EP，过点E作EP的垂线l，在l上截取线段EF，使EF＝EP，且点F在第一象限，过点F作FM⊥x轴于点M，设点P的横坐标为t，线段FM的长度为d，求d与t之间的函数关系式；（不要求写出自变量t的取值范围）

（3）在

（2）的条件下，过点E作EH⊥ED交MF的延长线于点H，连接DH，点G为DH的中点，当直线PG经过AC的中点Q时，求点F的坐标．

解：

（1）把A（－4，0），B（0，4）代入y＝ax2＋2ax＋c得

解得

所以抛物线解析式为y＝－

x2－x＋4

（2）如图①，分别过P，F向y轴作垂线，垂足分别为A′，B′，过P作PN⊥x轴，垂足为N，直线DE的解析式为y＝x＋5，则E（0，5），∴OE＝5，∵∠PEO＋∠OEF＝90°，∠PEO＋∠EPA′＝90°，∴∠EPA′＝∠OEF，∵PE＝EF，∠EA′P＝∠EB′F＝90°，∴△PEA′≌△EFB′，∴PA′＝EB′＝－t，则d＝FM＝OB′＝OE－EB′＝5－（－t）＝5＋t

（3）如图②，由直线DE的解析式为y＝x＋5，∵EH⊥ED，∴直线EH的解析式为y＝－x＋5，∴FB′＝A′E＝5－（－

t2－t＋4）＝

t2＋t＋1，∴F（

t2＋t＋1，5＋t），∴点H的横坐标为

t2＋t＋1，y＝－

t2－t－1＋5＝－

t2－t＋4，∴H（

t2＋t＋1，－

t2－t＋4），∵G是DH的中点，∴G（

，

），∴G（

t2＋

t－2，－

t2－

t＋2），∴PH∥x轴，∵DG＝GH，∴PG＝GQ，∴

＝

t2＋

t－2，t＝±

，∵P在第二象限，∴t＜0，∴t＝－

，∴F（4－

，5－

）4．（导学号：

01262080）（2016·包头）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－2（a≠0）与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，其顶点为点D，点E的坐标为（0，－1），该抛物线与BE交于另一点F，连接BC.

（1）求该抛物线的解析式，并用配方法把解析式化为y＝a（x－h）2＋k的形式；

（2）若点H（1，y）在BC上，连接FH，求△FHB的面积；

（3）一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿平行于y轴方向向上运动，连接OM，BM，设运动时间为t秒（t＞0），在点M的运动过程中，当t为何值时，∠OMB＝90°？

（4）在x轴上方的抛物线上，是否存在点P，使得∠PBF被BA平分？

若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：

（1）∵抛物线y＝ax2＋bx－2（a≠0）与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，∴

∴

∴抛物线解析式为y＝－

x2＋

x－2＝－

（x－2）2＋

（2）如图①，过点A作AH∥y轴交BC于点H，交BE于点G，由

（1）得C（0，－2），∵B（3，0），∴直线BC解析式为y＝

x－2，∵H（1，y）在直线BC上，∴y＝－

，∴H（1，－

），∵B（3，0），E（0，－1），∴直线BE解析式为y＝

x－1，∴G（1，－

），∴GH＝

，∵直线BE∶y＝

x－1与抛物线y＝－

x2＋

x－2相交于点F和点B，∴F（

，－

），∴S△FHB＝

GH·|xG－xF|＋

GH·|xB－xG|＝

GH·|xB－xF|＝

×

×（3－

）＝

（3）如图②，由

（1）有y＝－

x2＋

x－2，∵D为抛物线的顶点，∴D（2，

），∵一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿平行于y轴方向向上运动，∴设M（2，m），（m＞

），∴OM2＝m2＋4，BM2＝m2＋1，OB2＝9，∵∠OMB＝90°，∴OM2＋BM2＝OB2，∴m2＋4＋m2＋1＝9，∴m＝

或m＝－

（舍），∴M（0，

），∴MD＝

－

，∵一动点M从点D出发，以每秒1个单位的速度沿平行于y轴方向向上运动，∴t＝

－

时，∠OMB＝90°

（4）存在点P，使∠PBF被BA平分，如图③，∴∠PBO＝∠EBO，∵E（0，－1），∴在y轴上取一点N（0，1），∵B（3，0），∴直线BN的解析式为y＝－

x＋1①，∵点P在抛物线y＝－

x2＋

x－2②上，联立①②得，

或

（舍）∴P（

，

），即在x轴上方的抛物线上，存在点P（

，

），使得∠PBF被BA平分

5．（导学号：

01262081）（2016·内江）已知抛物线C：

y＝x2－3x＋m，直线l：

y＝kx（k＞0），当k＝1时，抛物线C与直线l只有一个公共点．

（1）求m的值；

（2）若直线l与抛物线C交于不同的两点A，B，直线l与直线l1：

y＝－3x＋b交于点P，且

＋

＝

，求b的值；

（3）在

（2）的条件下，设直线l1与y轴交于点Q，问：

是否在实数k使S△APQ＝S△BPQ？

若存在，求k的值，若不存在，说明理由．

解：

（1）当k＝1时，抛物线C与直线l只有一个公共点，直线l解析式为y＝x，

∵

∴x2－4x＋m＝0，∴Δ＝16－4m＝0，∴m＝4

（2）如图，分别过点A，P，B作y轴的垂线，垂足依次为C，D，E，则△OAC∽△OPD，∴

＝

.同理，

＝

.∵

＋

＝

，∴

＋

＝2，∴

＋

＝2，∴

＋

＝

，即

＝

.解方程组

得x＝

，y＝

，即PD＝

.由方程组

消去y，得x2－（k＋3）x＋4＝0.∵AC，BE是此一元二次方程的两根，∴AC＋BE＝k＋3，AC·BE＝4，∴

＝

，解得b＝8

（3）不存在．理由如下：

假设存在，当S△APQ＝S△BPQ时，有AP＝PB，于是PD－AC＝BE－PD，即AC＋BE＝2PD.由

（2）可知AC＋BE＝k＋3，PD＝

，∴k＋3＝2×

，即（k＋3）2＝16.解得k＝1（舍去k＝－7）．当k＝1时，A，B两点重合，△BQA不存在．∴不存在实数k使S△APQ＝S△BPQ6．（导学号：

01262082）（2016·南宁）如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y＝x－2交于B，C两点．

（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；

（2）求证：

△ABC是直角三角形；

（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？

若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

解：

（1）∵顶点坐标为（1，1），∴设抛物线解析式为y＝a（x－1）2＋1（a≠0），又抛物线过原点，∴0＝a（0－1）2＋1，解得a＝－1，∴抛物线解析式为y＝－（x－1）2＋1，即y＝－x2＋2x，联立抛物线和直线解析式可得

解得

或

∴B（2，0），C（－1，－3）

（2）如图，分别过A，C两点作x轴的垂线，交x轴于点D，E两点，则AD＝OD＝BD＝1，BE＝OB＋OE＝2＋1＝3，EC＝3，∴∠ABO＝∠CBO＝45°，即∠ABC＝90°，∴△ABC是直角三角形

（3）假设存在满足条件的点N，设N（x，0），则M（x，－x2＋2x），∴ON＝|x|，MN＝|－x2＋2x|，由

（2）在Rt△ABD和Rt△CEB中，可分别求得AB＝

，BC＝3

，∵MN⊥x轴于点N∴∠ABC＝∠MNO＝90°，∴当△ABC和△MNO相似时有

＝

或

＝

，①当

＝

时，则有

＝

，即|x|·|－x＋2|＝

|x|，∵当x＝0时，M，O，N不能构成三角形，∴x≠0，∴|－x＋2|＝

，即－x＋2＝±

，解得x＝

或x＝

，此时N点坐标为（

，0）或（

，0）；

②当

＝

时，则有

＝

，即|x|·|－x＋2|＝3|x|，∴|－x＋2|＝3，即－x＋2＝±3，解得x＝5或x＝－1，此时N点坐标为（－1，0）或（5，0），综上可知，存在满足条件的N点，其坐标为（

，0）或（

，0）或（－1，0）或（5，0）7．（导学号：

01262083）（2016·山西）综合与探究

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋bx－8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（－2，0），（6，－8）．

（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；

（2）试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE？

若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q，试探究：

当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．

解：

（1）∵抛物线y＝ax2＋bx－8经过点A（－2，0），D（6，－8），∴

解得

∴抛物线解析式为y＝

x2－3x－8，∵y＝

x2－3x－8＝

（x－3）2－

，∴抛物线对称轴为