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数学建模
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：
三（住房贷款问题）
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
20号
所属学校（请填写完整的全名）：
重庆电子工程职业学院
参赛队员（打印并签名）：
1.XXX
2.XXX
3.XXX
指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：
日期：
2010年5月16日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
评
阅
人
评
分
备
注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
住房贷款问题
摘要
随着人们的生活水平的提高，人们对住宅的要求越来越高，朝着大面积、豪华型的标准发展。
为此，住房贷款问题也成为众多购房者关心问题。
这是一个关于银行住房贷款利率调整问题的数学模型。
本文根据已知利率，针对每月还款额和期限满后的最后一月付款后本利和为零，推算出所求公式。
问题一：
利用银行通用算法，可以算出1年期的一次性支付还款总额和利息负担总和分别为10612元和612元。
再根据推算公式可计算出5年期的利息担负为1784.7075元，还款总额为11784.7075元，月均还款额为196.4118元；20年期的利息担负为9422.3830元，还款总额为19422.3830元，月均还款额为80.9266元。
问题二：
利用新利率和公式可计算出5年期利息担负总额为1408.1526元，还款总额为11408.1526元，月均还款额为190.1359元，与原规定相比月均还款担负降低了6.2759元，利息担负总和降低了376.5549元；20年利息担负总额为6617.9245元，还款总额为16617.9245元，月还款额为69.2414元，与原规定相比月均还款担负降低了11.6852元，利息担负总和降低了2804.4585元。
此模型给出的公式和程序能适合任意年限和年利率情况下的相关计算，适用范围较广。
此外，我们利用MATLAB软件根据新旧政策的相关利率与计算公式描绘出贷款负担的对比得出以下结论：
1.在实行了新政后，贷款者所负担的月均还款额较旧政策有所降低。
2.在年限比较长的贷款中新政下的月均还款额更有利于月收入较少的人群。
综上所述，新政对贷款者更有利，能够让大多数人买得起房。
关键词：
住房贷款；利率调整；贷款年限；还款负担
一．问题重述
住房贷款问题是众多购房者关心问题。
住房问题引起了国务院党中央的注意，为了满足广大的人民能住得上房，能减轻人们的压力，由中国建设银行北京市分行印发的《个人住房贷款简介》的小册子中介绍了有关个人住房贷款的有关问题。
其中指明贷款额最高为拟购买住房费用总额的70%；贷款期限最长为20年。
借款人在借款期内每月以相等的月均还款额偿还银行贷款本金和利息。
个人住房贷款利率已给出，同时给出了不同贷款期限下的月均还款额、还款总额和利息负担总和。
近年来国务院批准，中国人民银行决定从1999年9月21日起，延长个人住房贷款期限并降低利率以支持城镇居民购房。
各商业银行个人住房贷款的最长期限由现行的20年延长到30年。
每笔贷款年限由商业银行依据借款个人的年龄、工作年限、还款能力等因素与借款人协商确定。
个人住房款年利率最高水平降为5.88%。
并根据贷款期限划分为两个档次：
5年以下（含5年）为年利率5.31%，5年以上为年利率5.88%.
附表1 中国建设银行北京分行个人住房贷款利率表
贷款期限
贷款期月利率（‰）
年利率（%）
1年（含）以下
5.10
6.12
1-3（含）年
5.325
6.39
3-5（含）年
5.55
6.66
5-10（含）年
6.00
7.20
10-20（含）年
6.30
7.56
附表2中国建设银行北京分行个人住房贷款1-20年月均还款金额表
（借款额为壹万元）单位：
元
贷款期限
（年）
年利率（%）
还款总额
利息负担
总和
月均还款额
1
6.12
10612.00
612.00
一次还本付息
5
6.66
11784.60
1784.60
196.41
20
7.56
19423.20
9423.20
80.93
（本表自1998年12月7日起执行）
现在需解决的问题有：
1、根据给出个人住房贷款利率，不同贷款期限下的月均还款额、还款总额和利息负担总和的数据求出它们的相应计算公式。
2、根据新规定计算5年期、20年期的月均还款额、还款总额和利息负担总和，并与以前同期贷款的负担情况比较，住房贷款的负担各降低了多少。
二．模型假设与符号说明
1．模型假设
1、假设在借款期内利率都是不变的，都依照贷款时的利率来计算。
2、假设借款人在借款期内贷款人每月以相等的金额偿还银行贷款本金和利息。
2.符号说明
M：
贷款的总额
A：
月均还款额
CK：
第
个月末还款后的本利金额，
Year：
还款年数期限
n：
还款月数期限
R：
年利率
r：
月利率
total：
还款总额
Rsum：
利息负担总额
三．问题分析
通过对附表一的分析，可以看出随着贷款年限的增加年利率也在不断地增大。
通过的附表二的分析，可以看出虽然随着贷款年限的增加，利息在不断的增加，但是月平均还款额却在不断的减小，月还款额的减小可以缓解贷款人的还款压力。
通过银行贷款计算公式，可以算出不同年限的利息总和，本息和，月平均坏款额。
因为在模型假设中假设每月还款额相等，所以可以以该假设为基础计算出每月还款后剩下的还款额依次类推下去，利用数学归纳法，可以得出求解的公式。
注意：
1.考虑期限满后的最后一月付款后本利和为零。
2.实施新政后，要将年利率换算成月利率。
四．模型的建立与求解
1.模型的建立：
第一月还款后的本利金额:
一开始借款为M，则一个月后（加上利息）欠款为M1=（1+r）M,
但是又还了A元，所以第一个月还款的本利金额为：
C1=M（1+r）-A
同理，第二月还款后的本利金额：
C2=C1（1+r）-A=M（1+r）2-A（1+r）-A
同理，第三月还款后的本利金额：
C3=C2（1+r）-A=M（1+r）3-A（1+r）2-A（1+r）-A
利用数学归纳法，易知：
CK=CK-1（1+r）-A=M（1+r）K-A（1+r）K-1-…-A（1+r）-A
=M（1+r）K-A[（1+r）K-1+…+（1+r）+1]
=M（1+r）K-A
（K=O,1,2,…）
当最后一个月时，显然还款后，末还款后的本利金额必为0，即有当
时
，则：
0=M（1+r）K-A
M（1+r）K=A
上式解得：
A=
M
得到月均还款额A值后，还款总额
和利息负担总和
的值显然为：
还款总额：
Total=nA
利息担负总额：
Rsum=Total-M=nM-A
注：
新政后将年利率换算成月利率r=
5年以下（含5年）为：
r1
5年以上为月利率为：
r2
2.模型的求解：
问题一：
根据上面推出的公式，能够算出不同贷款期限下的月均还款额、还款总额和利息负担总和的公式。
用问题一结果来验证公式的正确与否：
当贷款期为1年，年利率为6.12%时，要求是一次还本利息，则不利用上述的公式，按照下列银行通用算法的公式计算：
根据附表二可得：
，算得
当
时，按照模型的公式及用MATLAB编制的程序【附录二】计算得出：
Total=11784.7075,Rsum=1784.7075,A=196.4118
当
时，按照模型的公式及程序计算得出：
Total=19422.3830,Rsum=9422.3830,A=80.9266
综上所述，利用建模推出的模型能够算出表中给出的数据。
问题二:
根据题意可得：
实施行新政后，个人住房款年利率最高水平降为5.88%。
并根据贷款期限划分为两个档次：
5年以下（含5年）为年利率5.31%，5年以上为年利率5.88%.
当
时，按照模型的公式计算及程序得出:
Total=11408.1526,Rsum=1408.1526,A=190.1359
当
时，按照模型的公式计算及程序得出:
Total=16617.9245,Rsum=6617.9245,A=69.2414
将新规定值与原规定比较结果如表1所示：
表1新规定与原规定政策下比较
（借款额为壹万元）单位：
元
贷款期限
（年）
政策
年利率
（%）
还款总额
利息负担总和
月均还款额
5
原规定
6.66
11784.7075
1784.7075
196.4118
新规定
5.31
11408.1526
1408.1526
190.1359
降低金额
376.5549
376.5549
6.2759
20
原规定
7.56
19422.3830
9422.3830
80.9266
新规定
5.88
16617.9245
6617.9245
69.2414
降低金额
2804.4585
2804.4585
11.6852
五．模型的应用
通过本模型可以计算出1—20年贷款的还款总额，利息负担总和，月均还款额。
当贷款期限为一年时利用公式：
Rsum=M*R
Total=M*（1+R）
A=
当贷款期限为2-20年时利用公式：
Rsum=Total-M=nM-A
Total=nA
A=
M
通过以上公式就可以计算出所需数据。
其中，M：
贷款的总额
A：
月均还款额
n：
还款月数期限
R：
年利率
r：
月利率
total：
还款总额
Rsum：
利息负担总额
六．模型的评价与推广
1、模型的推广
上图为通过MATLAB软件做出的1-5年新旧政策下月均还款额的比较
·
上图为通过MATLAB软件做出的6-20年新旧政策下月均还款额的比较
通过以上曲线的对比我们可以清晰地了解新旧政策下的月均还款总额的差异，在新的政策下，随着贷款年限的增长，贷款者需要负担的月均还款额与旧的政策下的差逐渐增大。
在新的政策下，贷款者所需负担的月均还款额有所降低，所以新政是有利于贷款者的。
2、模型的优点
模通过型给出的公式能够算出不同年限和不同年利率情况下的利息总和，还款总额，月平均还款额，具有高的普遍性。
所给出的程序，也适合任意年限和年利率下的计算，可以直接得出还款总额、利息负担总和、月均还款总额，适用范围较广。
3、模型的缺点和改进方向
如果贷款期只是一年，则不满足上述公式，则是到期一次还本付息。
由于没有考虑银行当时情况下的存款利息，就没有针对哪种贷款期限、哪种还款方式等作出具体的讨论。
因为目前除了有月均还款的方式外，还有其他诸多方式的偿还方案。
没能充分考虑到借款个人的年龄、工作年限、还款能力等因素对还款的影响。
七．参考文献
[1]郑文，《数学实践》第一版，重庆，电子科技大学出版社，2009
[2]周品何正风，《MATLAB数值分析》第一版，北京，机械工业出版社，2009
[3]朱道远，《数学建模案例精选》，北京，科学出版社，2003
[4]寿纪麟，《数学建模方法与范林》，西安，西安交通大学出版社。
附录一
模型的推广中利用MATLAB软件绘图时所编写的程序（1-5年）：
x1=12;
y1=888.833;
A=10000;
r=0.00555;
x=24:
12:
60;
y=r*（（1+r）.^x）*A./（（1+r）.^x-1）;
x2=[x1x];
y2=[y1y];
a1=12;
b1=877.583;
m=10000;
i=0.004425;
a=24:
12:
60;
b=i*（（1+i）.^n）*m./（（1+i）.^n-1）;
a2=[a1a];
b2=[b1b];
plot（x2,y2,'k*:
',a2,b2,'r^-'）
注：
以上程序中年利率r（i）的值根据需要变化
6-20年对应的程序只需将上面程序稍作修改即可
附录二
程序：
%%计算得到月均还款额B%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
clearall
closeall
year=input（'inputtheborrowyears:
\n'）
n=year*12;
R=input（'inputtheyear-ratio:
\n'）
r=R*0.01/12;
A=10000;
B=r*（（1+r）^n）*A/（（1+r）^n-1）
计算还款总额Toal和利息负担总和Rsum的值
Total=vpa（n*B）
Rsum=vpa（n*B-A）
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