数列与数学归纳法专题.docx
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数列与数学归纳法专题
数列与数学归纳法专题
数列与数学归纳法专题
上海市久隆模范中学石英丽
经典例题
【例1】已知数列的前项和为，且.
（1）证明：
是等比数列；
（2）求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数.
解：
（1）当时，；当时，，
所以.
又，所以数列是以－15为首项，为公比的等比数列.
（2）由
（1）知：
，得从而；
由得，，最小正整数.
【例2】等差数列的前项和为．
（1）求数列的通项与前项和；
（2）设，求证：
数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
解：
（1）由已知得，，
故．
（2）由（Ⅰ）得．
假设数列中存在三项（互不相等）成等比数列，则．
即．
，
．与矛盾．
所以数列中任意不同的三项都不可能成等比数列．
【例3】已知公差不为0的等差数列的首项为a,设数列的前n项和为成等比数列.
（1）求数列的通项公式及；
（2）记，当时，试比较与的大小．
解：
（1）设等差数列的公差为d，由，
得.
因为，所以所以.
（2）因为，所以.
因为，所以.
当，
即.
所以，当.
【例4】已知，点在函数的图象上，其中=1，2，3，…
（1）证明数列是等比数列；
（2）设，求及数列的通项；
（3）记，求数列的前项和Sn，并证明=1.
解：
（1）由已知，
，两边取对数得
，即
是公比为2的等比数列.
（2）由（Ⅰ）知（*）
=
由（*）式得
（3）
.
又
.
.
又.
【例5】已知数列满足，且对任意都有
.
（1）求；
（2）设，证明：
是等差数列；
（3）设，求数列的前项和.
解：
（1）由题意，，
再令.
（2）当时，由已知（以）可得
.
于是，
即.
所以是以6为首项，8为公差的等差数列.
（3）由
（1）
（2）解答可知.
另由已知（令）可得.
那么，
于是.
当时，；
当时，.
两边同乘以，可得
.
上述两式相减得
.
所以.
综上所述，
数列与数学归纳法专题检测题
一、填空题（每小题4分，满分40分）
1.列是首项为1，公比为的无穷等比数列，且各项的和为，则的值是.
2.等比数列的前n项和为，已知，，成等差数列，则的公比为__.
3.函数,等差数列的公差为.若,则.
4.知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，．设（），则数列的前10项和等于.
5.知数列的首项，其前项的和为，且，则.
6.知等比数列满足，且，则当时，.
7.差数列的前n项和为，已知，,则.
8.全体正整数排成一个三角形数阵：
1
23
456
78910
．．．．．．．
按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为.
9.是公比为的等比数列，，令，若数列有连续四项在集合中，则=.
10.知数列满足：
（为正整数），若，则所有可能的取值为__________.
二、解答题（本大题共有5题，解答下列各题必须在规定区域内写出必要的步骤）
11.设数列满足.
（1）求的通项公式；
（2）设，记,证明.
12.等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列．
第一列
第二列
第三列
第一行
3
2
10
第二行
6
4
14
第三行
9
8
18
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足：
，求数列的前n项和.
13.设为非零实数，.
（1）写出并判断是否为等比数列。
若是，给出证明；若不是，说明理由；
（2）设，求数列的前n项和.
14.设数列的前n项和为，且方程有一根为
（1）求；
（2）的通项公式．
15.已知有穷数列：
，（）.若数列中各项都是集合的元素，则称该数列为数列.对于数列，定义如下操作过程：
从中任取两项，将的值添在的最后，然后删除,这样得到一个项的新数列（约定:
一个数也视作数列）.若还是数列，可继续实施操作过程，得到的新数列记作，,如此经过次操作后得到的新数列记作.
（1）设请写出的所有可能的结果；
（2）求证：
对于一个项的数列操作T总可以进行次；
（3）设求的可能结果，并说明理由.
数列与数学归纳法专题检测题答案
一、填空题
1.2；2.；3.－6；4.85；5.；6.；7.10；8.；
9.－9（提示81，－54，36，－24）；10.4532；
二、解答题
11.设数列满足
（1）求的通项公式；
（2）设，记,证明
解：
（1）由题设
即是公差为1的等差数列。
又，故所以
（2）由（I）得，
12.等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列．
第一列
第二列
第三列
第一行
3
2
10
第二行
6
4
14
第三行
9
8
18
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列满足：
，求数列的前n项和
解：
（1）当时，不合题意；
当时，当且仅当时，符合题意；
当时，不合题意.
因此
所以公式，故
（2）因为
=
所以
当n为偶数时，
当n为奇数时，
综上所述，
13.设为非零实数，
（1）写出并判断是否为等比数列。
若是，给出证明；若不是，说明理由；
（2）设，求数列的前n项和
解：
（1），，
因为为常数，所以是以为首项，为公比的等比数列。
（2）
（1）
错位相减法得.
14.设数列的前n项和为，且方程有一根为
（1）求；
（2）的通项公式．
解：
（1）当时，有一根为，
于是，解得.
当时，有一根为
于是，解得
（2）由题设，.
当时，，代入上式得①
由
（1）知
由①可得
由此猜想
下面用数学归纳法证明这个结论．
（i）时已知结论成立．
（ii）假设时结论成立，即.
当时，由①得
故时结论也成立．
综上，由（i）、（ii）可知对所有正整数都成立．
于是当时，.
又n＝1时，，所以的通项公式
15.已知有穷数列：
，（）.若数列中各项都是集合的元素，则称该数列为数列.对于数列，定义如下操作过程：
从中任取两项，将的值添在的最后，然后删除,这样得到一个项的新数列（约定:
一个数也视作数列）.若还是数列，可继续实施操作过程，得到的新数列记作，,如此经过次操作后得到的新数列记作.
（1）设请写出的所有可能的结果；
（2）求证：
对于一个项的数列操作T总可以进行次；
（3）设求的可能结果，并说明理由.
解：
（1）有如下的三种可能结果：
（2），有
且
所以，即每次操作后新数列仍是数列.
又由于每次操作中都是增加一项，删除两项，所以对数列每操作一次，项数就减少一项，所以对项的数列可进行次操作（最后只剩下一项）
（3）由
（2）可知中仅有一项.
对于满足的实数定义运算：
，下面证明这种运算满足交换律和结合律.
因为，且，所以，即该运算满足交换律；
因为.
且.
所以，即该运算满足结合律.
所以中的项与实施的具体操作过程无关.
选择如下操作过程求：
由
（1）可知；
易知；；；；
所以；
易知经过4次操作后剩下一项为.
综上可知：
.
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