数列与数学归纳法专题.docx

1、数列与数学归纳法专题数列与数学归纳法专题数列与数学归纳法专题上海市久隆模范中学 石英丽经典例题【例1】已知数列的前项和为，且.（1）证明：是等比数列；（2）求数列的通项公式，并求出使得成立的最小正整数.解：(1) 当时，；当时，所以.又，所以数列是以15为首项，为公比的等比数列.(2) 由(1)知：，得 从而；由得， ，最小正整数.【例2】 等差数列的前项和为（1）求数列的通项与前项和；（2）设，求证：数列中任意不同的三项都不可能成为等比数列解：（1）由已知得， 故 （2）由（）得 假设数列中存在三项（互不相等）成等比数列，则 即 ， 与矛盾 所以数列中任意不同的三项都不可能成等比数列【例3】

2、已知公差不为0的等差数列的首项为a,设数列的前n项和为成等比数列.（1）求数列的通项公式及；（2）记，当时，试比较与的大小解：（1）设等差数列的公差为d，由，得.因为，所以 所以.（2）因为，所以.因为，所以.当，即.所以，当. 【例4】 已知，点在函数的图象上，其中=1，2，3，（1）证明数列是等比数列；（2）设，求及数列的通项；（3）记，求数列的前项和Sn，并证明=1.解：（1）由已知， ，两边取对数得，即是公比为2的等比数列.（2）由（）知 （*） = 由（*）式得（3） .又 .又.【例5】 已知数列满足，且对任意都有.（1）求；（2）设，证明：是等差数列；（3）设，求数列的前项和.解

3、：(1)由题意， 再令. (2)当时，由已知(以)可得.于是，即.所以是以6为首项，8为公差的等差数列.(3)由(1)(2)解答可知.另由已知(令)可得.那么，于是.当时，；当时，.两边同乘以，可得 .上述两式相减得 .所以.综上所述，数列与数学归纳法专题检测题一、填空题（每小题4分，满分40分）1.列是首项为1，公比为的无穷等比数列，且各项的和为，则的值是 .2.等比数列的前n项和为，已知，成等差数列，则的公比为_ .3.函数,等差数列的公差为.若,则 .4.知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且，设（），则数列的前10项和等于 .5.知数列的首项，其前项的和为，且，则 .6.知

4、等比数列满足，且，则当时， .7.差数列的前n项和为，已知，,则 .8.全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8 9 10 按照以上排列的规律，第n 行（n 3）从左向右的第3 个数为 .9.是公比为的等比数列，令，若数列有连续四项在集合中，则= . 10.知数列满足：（为正整数），若，则所有可能的取值为_. 二、解答题（本大题共有5题，解答下列各题必须在规定区域内写出必要的步骤）11.设数列满足.（1）求的通项公式； （2）设，记,证明.12.等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9

5、818（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足：，求数列的前n项和.13.设为非零实数，.（1）写出并判断是否为等比数列。若是，给出证明；若不是，说明理由；（2）设，求数列的前n项和.14.设数列的前n项和为，且方程有一根为（1）求； （2）的通项公式15.已知有穷数列：，().若数列中各项都是集合的元素，则称该数列为数列.对于数列，定义如下操作过程：从中任取两项，将的值添在的最后，然后删除,这样得到一个项的新数列(约定:一个数也视作数列). 若还是数列，可继续实施操作过程，得到的新数列记作，,如此经过次操作后得到的新数列记作.（1）设请写出的所有可能的结果；（2）求证：对于一个项的数列操作T

6、总可以进行次；（3）设求的可能结果，并说明理由.数列与数学归纳法专题检测题答案一、填空题1. 2 ； 2.； 3.6； 4. 85； 5. ；6. ；7.10 ；8.；9.9 （提示 81，54，36，24）；10.4 5 32；二、解答题11.设数列满足（1）求的通项公式； （2）设，记,证明解：（1）由题设 即是公差为1的等差数列。 又，故 所以（2）由（I）得， 12.等比数列中，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且中的任何两个数不在下表的同一列第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足：，求数列的前n项和解：（1）当时，不合

7、题意；当时，当且仅当时，符合题意；当时，不合题意.因此所以公式， 故（2）因为=所以当n为偶数时，当n为奇数时，综上所述，13.设为非零实数， （1）写出并判断是否为等比数列。若是，给出证明；若不是，说明理由；（2）设，求数列的前n项和解：（1），因为为常数，所以是以为首项，为公比的等比数列。（2） (1)错位相减法得.14.设数列的前n项和为，且方程有一根为（1）求； （2）的通项公式解：(1)当时，有一根为，于是，解得.当时，有一根为于是，解得(2)由题设，.当时，代入上式得 由(1)知由可得由此猜想下面用数学归纳法证明这个结论(i)时已知结论成立(ii)假设时结论成立，即. 当时，由得

8、故时结论也成立综上，由(i)、(ii)可知对所有正整数都成立于是当时，. 又n1时，所以的通项公式 15.已知有穷数列：，().若数列中各项都是集合的元素，则称该数列为数列.对于数列，定义如下操作过程：从中任取两项，将的值添在的最后，然后删除,这样得到一个项的新数列(约定:一个数也视作数列). 若还是数列，可继续实施操作过程，得到的新数列记作，,如此经过次操作后得到的新数列记作.（1）设请写出的所有可能的结果；（2）求证：对于一个项的数列操作T总可以进行次；（3）设求的可能结果，并说明理由.解：（1）有如下的三种可能结果：（2），有且所以，即每次操作后新数列仍是数列.又由于每次操作中都是增加一项，删除两项，所以对数列每操作一次，项数就减少一项，所以对项的数列可进行次操作（最后只剩下一项）（3）由（2）可知中仅有一项.对于满足的实数定义运算：，下面证明这种运算满足交换律和结合律.因为，且，所以，即该运算满足交换律；因为.且. 所以，即该运算满足结合律.所以中的项与实施的具体操作过程无关. 选择如下操作过程求： 由（1）可知；易知；所以；易知经过4次操作后剩下一项为.综上可知： .