双曲线知识点归纳与例题分析.docx
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双曲线知识点归纳与例题分析
基本知识点
双曲线
标准方程（焦点在x轴）
标准方程（焦点在y轴）
双曲线
22
Xy
F—討=1（a>0,b〉0）
22
yX
—2——=1（a>0,b>0）ab
第一定义：
平面内与两个定点Fi,F2的距离的差的绝对值是常数（小于FiF2）的点的轨迹叫双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。
{m|MFii_MF2|=2a}（2av|FiF2|）
定义
第二定义：
平面内与一个定点F和一条定直线丨的距离的比是常数e,当e>1时,动点的轨迹是双曲线。
定点F叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线,常数e（e"）叫做双曲线的离心率。
范围
|y|>a，X亡R
对称轴
X轴，y轴；实轴长为2a,虚轴长为2b
对称中
焦占坐
八、、八\、一L—
原点0（0,0）
Fi（—G0）F2（c,0）
Fi（0,-c）F2（0,c）
=2c
焦点在实轴上，c=Ja2+b2；焦距：
|FiF2
顶点坐
（-a,0）（a,0）
（0,-a,）（0，a）
离心率
e=c（e>1）
a
2~a
x=±—_c
2准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离：
竺
c
顶点到
准线的
顶点Ai（A）到准线li（I2）的距离为a—丄
c
距离
2
顶点Ai（A2）至U准线12（li）的距离为电+a
c
焦点到
焦点Fi（F2）到准线li（I2）的距离为c—丄
c
准线的
距离
2
焦点Fi（F2）至U准线I2（I1）的距离为皂+c
c
渐近线
方程
y=±bx
a
共渐近
线的双
曲线系
方程
直线和
双曲线
22
双曲线刍—与=1与直线y=kx+b的位置关系:
a2b2
r22
利用（a2"b2转化为一元二次方程用判别式确定。
I
[y=kx+b
相交弦AB的弦长|AB|=a+k2J（xi+x2）2-4XiX2
通径:
AB|=|y2-yi|
补充知识点:
等轴双曲线的主要性质有：
（1）
半实轴长=半虚轴长（一般而言是a=b，但有些地区教材版本不同，不一定用的是a,b这两个字母）厂
（2）
（3）
（4）
（2）的距离的比例中项;
（3）等轴双曲线上任意一点P处的切线夹在两条渐近线之
间的线段，必被P所平分；
（4）等轴双曲线上任意一点处的切线与两条渐近线围成三角形的面积恒为常数a^2;
（5）等轴双曲线x^2-y^2=C绕其中心以逆时针方向旋转45°后，可以得到XY=a^2/2,其中Cm0。
所以反比例函数y=k/x的图像一定是等轴双曲线。
例题分析：
例1、动点P与点Fi（0,5）与点F2（0,-5）满足|PFi|—IPF2I=6，则点P的轨迹方程为（）
同步练习一：
如果双曲线的渐近线方程为y=±3x，则离心率为（）
4
同步练习二：
双曲线-^2=1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为.
ab
22
例3、设P是双曲线Xy-^=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3X-2y=0，F1,F2分别是双曲
a9
线的左、右焦点，若|PFi|=3,则PF2I的值为同步练习三：
若双曲线的两个焦点分别为（0,-2）,（02），且经过点（2屈），则双曲线的标准方程
例4、下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是
同步练习四：
已知双曲线的中心在原点，两个焦点Fi,F2分别为（75,0）和（$,0），点P在双曲线上
且PFi丄PF2,且△PF1F2的面积为1,贝U双曲线的方程为（
.xy
A・———=1
近线的距离是（
23
同步练习五：
以y=±薦X为渐近线，一个焦点是F（0,2）的双曲线方程为（）
例6下列方程中，以x±2y=0为渐近线的双曲线方程是
同步练习六：
双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点是（0,3），那么k的值是
例7、经过双曲线3的右焦点F2作倾斜角为30°的弦AB,
（1）求|AB|.
（2）F1是双曲线的左焦点，求△F1AB的周长.
同步练习七过点（0,3）的直线I与双曲线43只有一个公共点，求直线I的方程。
高考真题分析
1.【2012高考新课标文10】等轴双曲线C的中心在原点，焦点在X轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A,B两点，AB=4^3;则C的实轴长为（）
（A）Q（B）2^2（04（D）S
【答案】C
【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题
【解析】由题设知抛物线的准线为：
X=4，设等轴双曲线方程为：
X2-y2=a2，将x=4代入等轴双曲线方程解得y=±J16-a2，V|AB|=4^/3，二2丿16-a2=4^3，解得a=2，
•••C的实轴长为4,故选C.
22
2.【2012高考山东文11】已知双曲线C1:
务—笃=1（aA0,bA0）的离心率为2.若抛物线ab
G：
x2=2py（p:
>0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为
（A）X2=833y（B）X2=呼丫（C）X2=8y（D）x2=16y
【答案】D考点：
圆锥曲线的性质解析：
由双曲线离心率为2且双曲线中a，b，c的关系可知，此题应注意C2的焦点在y
轴上，即（0，p/2）到直线y=J3x的距离为2,可知p=8或数形结合，利用直角三角形求解。
3.
【2012高考全国文10】已知F1、F2为双曲线C:
x2-y2=2的左、右焦点，点P在C上,|PF11=2IPF2I，则cosNRPF2=
【答案】C
【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用，以及余弦定理的运用。
首先
运用定义得到两个焦半径的值，然后结合三角形中的余弦定理求解即可。
【解析】解：
由题意可知，a=c=2，设|PF1|=2x,|PF2|=x，则|PFJ-|PF2|=x=2a=2^2,故|P片|=4血,|PF2|=272，F1F2=4，利用余弦定理可得cosNF1PF2=PF12+PF22-f1F22=（"）2+（2Q2-42
22
4.（2011年高考湖南卷文科6）设双曲线笃-乂=1（a>0）的渐近线方程为3x±2y=0,则a的值为a9
5.
答案:
【答案】2忑
【命题意图】本题主要考查双曲线的定义、标准方程以及转化思想和运算求解能力，难度适中。
【解析】由双曲线的方程可知a=1,c=72,「.PFi-PF2=2a=2,
2
二PFi-2PFiPF2+PF2=4
【点评】解题时要充分利用双曲线的定义和勾股定理，实现差一积一和的转化。
22
6.【2012高考江苏8】（5分）在平面直角坐标系xOy中,若双曲线-2=1的离心率为V5,
mm+4
则m的值为.
【答案】2。
【考点】双曲线的性质。
22
【解析】由L—一=1得a=7m,b=Jm2+4,c=Jm+m+4。
mm+4
课后作业
22
7.双曲线+-与=1与其共轭双曲线有（）
ab
A.焦距为10
.实轴长与虚轴长分别为
C离心率e只能是5或3D•离心率e不可能是专或5
9.等轴双曲线的一个焦点是Fi（4,0），则它的标准方程是，渐近线方程是
10.若双曲线的实轴长，虚轴长，焦距依次成等差数列，则其离心率为_
2
11.若双曲线—
2
上的一点P到它的右焦点的距离是8,则到它的右准线之间的距离为
6436
12.若双曲线的一条渐近线方程为3x—2y=0，左焦点坐标为C莎,0），则它的两条准线之间的
距离为
13.写出满足下列条件的双曲线的标准方程:
22
⑴双曲线的两个焦点是椭圆爲叫厂1的两个顶点，双曲线的两条准线经过这个椭圆的两个焦占-
八、、八\、•
（2）双曲线的渐近线方程为y=±x，两顶点之间的距离为2:
2
14.双曲线的其中一条渐近线的斜率为-，求此双曲线的离心率15.已知双曲线X2-my2=1（m>0）的右顶点为A,而BC是双曲线右支上的两点，如果MBC是
正三角形，贝Um的取值范围是
22
16.设圆过双曲线匚_厶=1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心
916
的距离是
22
17-已知双曲线話一上一点“到左焦点F1的距离是它到右焦点距离的5倍,则皿点的坐标18.已知直线I过定点（0,1），与双曲线X2-y2=1的左支交于不同的两点AB,过线段AB的
中点M与定点P（-2,0）的直线交y轴于Q（0,b），求b的取值范围.
22
19.已知双曲线—_厶=1
816
（1）过右焦点F2作一条渐近线的垂线（垂中为A）,交另一渐近线于B点，求证：
线段AB被双
曲线的左准线平分;
（2）过中心0作直线分别交双曲线于C、D两点，且△CDFJFj为左焦点）的面积为20，求直线CD
的方程。
22
20.P为双曲线笃-与=1（"0,20）上一点，PM丄X轴于M射线MP交渐近线于Q求证:
ab
MQ
2
-MP是定值。
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