双曲线知识点归纳与例题分析.docx

1、双曲线知识点归纳与例题分析基本知识点双曲线标准方程（焦点在x轴）标准方程（焦点在y轴）双曲线2 2X yF討=1(a 0,b0)2 2y X2 =1(a 0,b 0) a b第一定义：平面内与两个定点Fi, F2的距离的差的绝对值是常数（小于 FiF2 ） 的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫焦距。m |MFii _MF2|=2a（2a v|FiF2| ）定义第二定义：平面内与一个定点F和一条定直线丨的距离的比是常数e,当e1时, 动点的轨迹是双曲线。定点F叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线, 常数e（e）叫做双曲线的离心率。范围|y| a， X 亡 R对称轴X

2、轴，y轴；实轴长为2a,虚轴长为2b对称中焦占坐八、八 、一L原点0(0,0)Fi(G0) F2(c,0)Fi(0, -c) F2(0,c)=2c焦点在实轴上，c= Ja2 +b2 ；焦距：|FiF2顶点坐(-a,0) ( a,0)(0, -a,) (0 ，a)离心率e = c(e1)a2 ax = _ c2 准线垂直于实轴且在两顶点的内侧；两准线间的距离： 竺c顶点到准线的顶点Ai ( A )到准线li ( I2 )的距离为a丄c距离2顶点Ai( A2)至U准线12 ( li )的距离为电+ac焦点到焦点Fi ( F2)到准线li ( I2)的距离为c丄c准线的距离2焦点Fi ( F2)至U

3、准线I 2 ( I1)的距离为皂+cc渐近线方程y =bxa共渐近线的双曲线系方程直线和双曲线2 2双曲线刍与=1与直线y = kx +b的位置关系:a2 b2r 2 2利用(a2 b2 转化为一元二次方程用判别式确定。Iy = kx + b相交弦 AB的弦长 |AB| = a +k2 J(xi +x2)2 -4XiX2通径:AB|=|y2-yi|补充知识点:等轴双曲线的主要性质有：(1) 半实轴长=半虚轴长(一般而言是a=b，但有些地区教材版本不同，不一定用的是 a,b这两 个字母)厂(2)(3)(4)(2) 的距离的比例中项;(3)等轴双曲线上任意一点P处的切线夹在两条 渐近线之间的线段，

4、必被P所平分；(4) 等轴双曲线上任意一点处的切线与两条渐近线围成三角形的面积恒为常数 a2;(5) 等轴双曲线x2-y2=C绕其中心以逆时针方向旋转45后，可以得到XY=a2/2,其中Cm0。 所以反比例函数y=k/x的图像一定是等轴双曲线。例题分析：例1、动点P与点Fi(0,5)与点F2(0,-5)满足|PFi|IPF2I =6，则点P的轨迹方程为( )同步练习一：如果双曲线的渐近线方程为y = 3x，则离心率为( )4同步练习二：双曲线-2 =1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为 .a b2 2例3、设P是双曲线Xy-=1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3X-2y=0，F1, F2

5、分别是双曲a 9线的左、右焦点，若|PFi|=3,则PF2I的值为 同步练习三：若双曲线的两个焦点分别为(0,-2),(0 2)，且经过点(2屈)，则双曲线的标准方程例4、下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是同步练习四：已知双曲线的中心在原点，两个焦点 Fi, F2分别为（75,0）和（$,0），点P在双曲线上且PFi丄PF2,且 PF1F2的面积为1,贝U双曲线的方程为（. x yA=1近线的距离是（2 3同步练习五：以y =薦X为渐近线，一个焦点是F （0, 2）的双曲线方程为（ ）例6下列方程中，以x2y=0为渐近线的双曲线方程是同步练习六：双曲线8kx2-ky 2=8的一

6、个焦点是（0 , 3），那么k的值是例7、经过双曲线 3 的右焦点F2作倾斜角为30的弦AB ,(1 )求 |AB|.（2） F1是双曲线的左焦点，求 F1AB的周长.同步练习七过点（0, 3）的直线I与双曲线4 3 只有一个公共点，求直线I的方程。高考真题分析1.【2012高考新课标文10】等轴双曲线C的中心在原点，焦点在X轴上，C与抛物线y2=16x的 准线交于A,B两点，AB =43 ;则C的实轴长为（）(A) Q(B) 22(0 4(D) S【答案】C【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题【解析】由题设知抛物线的准线为：X = 4，设等轴双曲线方程为：X

7、2 - y2 = a2，将x = 4代入 等轴双曲线方程解得 y =J16 -a2，V | AB | =4/3，二 2丿16 - a2 =43，解得 a =2， C的实轴长为4,故选C.2 22.【2012高考山东文11】已知双曲线C1 :务笃=1（aA0,bA0）的离心率为2.若抛物线 a bG：x2=2 py（p:0）的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2,则抛物线C2的方程为(A) X2 =833y (B) X2 =呼丫 (C) X2 =8y (D) x2 =16y【答案】D 考点：圆锥曲线的性质 解析：由双曲线离心率为2且双曲线中a，b，c的关系可知，此题应注意C2的焦点在y轴上，即（0

8、，p/2）到直线y = J3x的距离为2,可知p=8或数形结合，利用直角三角形求解。3.【2012高考全国文10】已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点，点P在C 上, | PF1 1 = 2 I PF2 I，则 cosNRPF2 =【答案】C【命题意图】本试题主要考查了双曲线的定义的运用和性质的运用， 以及余弦定理的运用。首先运用定义得到两个焦半径的值，然后结合三角形中的余弦定理求解即可。【解析】解：由题意可知，a = c = 2，设|P F1|=2x,| P F2|=x，则 |P FJ-| PF2 |=x = 2a = 22 , 故|P片|=4血,|PF2| = 272，F1

9、F2 =4，利用余弦定理可得 cosNF1PF 2=P F12+ PF22-f1F22=()2+(2Q2-422 24.（2011年高考湖南卷文科6）设双曲线 笃-乂 =1（a 0）的渐近线方程为3x2y =0,则a的值为 a 95.答案:【答案】2忑【命题意图】本题主要考查双曲线的定义、标准方程以及转化思想和运算求解能力，难度适中。【解析】由双曲线的方程可知a=1,c = 72,. PFi - PF2 =2a=2,2二 PFi -2 PFi PF2 + PF2 =4【点评】解题时要充分利用双曲线的定义和勾股定理，实现差一积一和的转化。2 26.【2012高考江苏8】（5分）在平面直角坐标系x

10、Oy 中,若双曲线- 2 =1的离心率为V5 ,m m+4则m的值为.【答案】2。【考点】双曲线的性质。2 2 【解析】由 L 一=1 得a=7m, b=Jm2+4, c=Jm+m +4 。 m m +4课后作业2 27.双曲线+-与=1与其共轭双曲线有（）a bA.焦距为10.实轴长与虚轴长分别为C离心率e只能是5或3 D 离心率e不可能是专或59.等轴双曲线的一个焦点是Fi (4, 0)，则它的标准方程是，渐近线方程是10. 若双曲线的实轴长，虚轴长，焦距依次成等差数列，则其离心率为 _211 .若双曲线2上的一点P到它的右焦点的距离是8,则到它的右准线之间的距离为64 3612.若双曲线

11、的一条渐近线方程为3x2y=0，左焦点坐标为 C莎,0)，则它的两条准线之间的距离为13.写出满足下列条件的双曲线的标准方程:2 2双曲线的两个焦点是椭圆爲叫厂1的两个顶点，双曲线的两条准线经过这个椭圆的两个 焦占-八、八、(2)双曲线的渐近线方程为y=x，两顶点之间的距离为2:214.双曲线的其中一条渐近线的斜率为-，求此双曲线的离心率 15.已知双曲线X2-my2 =1(m0)的右顶点为A,而B C是双曲线右支上的两点，如果 MBC是正三角形，贝U m的取值范围是2 216.设圆过双曲线 匚_厶=1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心9 16的距离是2 217-已知双

12、曲线話一上一点“到左焦点F1的距离是它到右焦点距离的5倍,则皿点的坐标 18.已知直线I过定点(0, 1)，与双曲线X2-y2=1的左支交于不同的两点 A B,过线段AB的中点M与定点P(-2,0)的直线交y轴于Q(0,b)，求b的取值范围.2 219.已知双曲线_厶=18 16(1)过右焦点F2作一条渐近线的垂线(垂中为 A),交另一渐近线于B点，求证：线段AB被双曲线的左准线平分;(2)过中心0作直线分别交双曲线于 C、D两点，且CDFJFj为左焦点)的面积为20，求直线CD的方程。2 220. P为双曲线 笃-与=1 ( 0,20)上一点，PM丄X轴于M射线MP交渐近线于Q求证:a bMQ2-MP是定值。