最优工作安排问题数学建模docx.docx
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B最优工作安排问题
摘要：
最优工作安排在当今这个劳动力不再廉价的社会至关重要。
本文主要研究最优
工作安排问题，可视为运筹学中的指派问题。
对于指派问题，分别通过建立0-1整
体线性规划模型，多目标线性规划模型以及二次0-1整数线性规划模型加以解决。
考虑到一个人可在不同的时间做不同的工作，因此我们引入“0-1变量”Xj表示是否指派第i个人去完成第j项工作。
对于多目标问题，为解决不同目标之间产生的矛盾，将多目标问题转化为单目标问题，例如：
在第三问中，采用极大极小法。
通过翻译题目要求来建立目标函数和约束条件，并利用Lingo软件编写程序，对问题求
解。
最后对所得到的最优解进行检验，以提高答案的科学性与可靠性。
关键字：
0-1模型最优解多目标线性规划Lingo
、背景分析
1.1问题重述
现有五件工作甲、乙、丙、丁、戊要交给AB、C、DE、F和G七个人来完成
完成这个工作所需要花费的时间如表1所示，且这七个人均表示可参加该项目。
【注意：
为了工作的连贯性，不允许两人或两人以上做同一种工作。
一个人在同一时间只能做一种工作。
】
表1.七人五件工作用时表（单位：
天）
甲
乙
丙
丁
戊
A
2
15
13
M
8
B
10
4
14
15
7
C
9
14
16
〔13
8
D
7
8
11
「9
4
E
8
4
15
8
6
F
12
4
6
A
13
G
5
16
8
5
10
试通过建立数学模型（而非枚举法）回答下述问题。
问题1.应该如何进行工人的安排使得这五件工作能尽早完成？
问题2.在问题1中若规定每人最多承担一种工作，试求相应的最优人力安排
万案
问题3.接上级通知，为了保证工作的质量，需要对完成工作之后进行检查且规定同一个人不能即做这件工作又检查这件工作。
显然，在这种新的要求下，这五件工作完成当且仅当所有的工作检查完。
已知这七人均表示可以参加检查工作，他们检查这五种工作的用时如表2所示。
【注意：
对于每个工作，只有当该工作完全完成之后才能进行检查工作。
为了检查的连贯性，不允许两人或两人以上检查同一种工作。
一个人在同一时间只能检查一种工作。
】问：
应该如何进行人力的安排使得该
五项工作尽早完成?
表2.七人五件工作检查用时表（单位：
天）
甲
乙
丙
丁
戊
A
1
13
10
r1
8
B
10
4
8
10
5
C
8
6
10
9
6
D
6
7
11
A
4
E
6
3
15
8
5
F
11
4
6
7
10
G
4
12
6
3
2
问题4.在问题3中若规定每人最多完成一种工作和另外一件工作的检查任务,
试求相应的最优人力安排方案。
1.2问题分析
整个问题均可视为运筹学中的指派问题。
对于问题一，为了使得这五项工作能尽早完成，可引入“0-1变量”，定义Xj表示是否指派第i个人去完成第j项工作，从而使时间量化。
由于问题一中数据较少且每个人的效率差别明显，因此要使得这五项工作能尽早完成，可转化为选出在所有的指派方案中所用总时间最少的方案，因此我们以运筹学中的指派问题为基础建立模型，并根据题目要求建立目标函数和约束条件。
对于问题二，最优人力安排方案可理解为考虑时间、成本等因素下的效率最大化，即做完这五件事所用的总时间最小。
又由于题目要求每人最多承担一种工作，
5
即在第一问的基础上，增加约束条件：
7Xjj・y,2,…,7。
j=4
对于问题三，由于存在两个目标，因此可将该小题视为多目标规划问题，尽早完成工作即为保证做完某工作及检查完毕的时间和向量中的最大值最小化。
由于在多目标规划问题中，不同目标之间往往会发生矛盾。
为解决该矛盾，将多目标问题转化为单目标问题，即采用极大极小法。
对于问题四，题目要求求解每人最多完成一种工作和另外一件工作的检查任务的最优人力安排方案。
与第二问类似，即效率最大化的总时间最小原则。
因此在第二问模型的基础上再次使用“0-1”模型，称为二次0-1整数线性规划模型。
、符号定义
符号
含义
Xij
为0时表示不指派第i个人去完成第j项工作；
为1时表示指派第i个人去元成第j项工作。
q
第i个人完成第j项工作所需时间
乙
表示完成工作所需总时间
yj
为0时表示不指派第i个人去检查第j项工作；
为1时表示指派第i个人去检查第j项工作。
au
表示第i个人检查第j项丄作所需时间
Z2
表示完成工作所需时间与检查工作所需时间总和
三、模型假设
1、假设题目中所给数据可靠无误；
2、假设问题中的任何人对于参与各项工作都没有限制；
3、假设每个人完成工作的质量相同；
4、假设每个人做每项工作的其他因素（成本、资源等）相同。
5、对于问题一与问题三，一个人在完成一件事情之后可继续做另一件事；
6对于问题一、问题二以及问题四，认为五个工作完成时间之和最小时的方案即最优人力安排方案；
7、各个工作之间没有相互联系。
即这五个工作中，某一个工作的完成与否，不受另一个工作的制约。
四、0-1整体线性规划模型设立
3.1问题一
3.1.1模型建立
为了将工作时间定量，首先将第i个人做或者不做第j项工作定量化，再以五件工作完成总时间作为目标函数，最后对目标函数求最优解得出最终结果。
设：
0,不指派第i个人做第j项工作
x—2i—12八7j—1一5
U1,指派第i个人做第j项工作,,j
将原题中的
A，B,C,D,E，F，G人员对应x的下标i:
i〈1,2,3,4,5,6,71；
将原题中的甲，乙，丙，丁，戊工作对应x的下标j:
",2,3,4,51
贝目标函数为：
57
minZ八'q为
j=1iW
其中：
Z表示完成工作所需总时间；
q表示第i个人完成第j项工作所需时间。
由于为了工作的连贯性，不允许两人或两人以上做同一种工作，即一项工作只能有一人完成。
因此，约束条件为：
7
'Xij=1,j=1^,5
iW
3.1.2模型求解
根据目标函数及其约束条件可知，该模型为0-1整体线性规划模型。
因此，利
用Lingo软件编写程序对此问题求解。
（程序见附录一）
可解得:
表3.1.2.1问题一解
Variable
Value
VOLUME（X1,W1）
1.000000:
VOLUME（X1,W4）
1.000000
VOLUME（X4,W5）
1.000000
VOLUME（X5,W2）
1.000000「
VOLUME（X6,W3）
1.000000
由表3.1.2.1可得到表3.1.2.2:
表3.1.2.2工作安排
工作
工人
时间（天）
甲
A
2
乙
E
4
丙
F
6
丁
A
1
戊
D
4
综合以上所述：
应该安排工人A做甲和丁两件事，共需3天；安排工人D做戊,需4天；安排E做乙，需4天；安排F做丙，需6天；即总耗时6天。
3.1.3模型检验
由于丙工作所需最少时间为6天，且每件工作只由一位工人完成，可知上述答案满足题目要求，具有合理性。
3.2问题二
3.2.1模型建立
问题二中规定每人最多承担一种工作，则五个工作完成时间之和最小时的方案即最优人力安排方案。
在问题一的基础上，可得到，目标函数为：
57
min二二qx
jTi=1
其中：
Z表示完成工作所需总时间；
Cj表示第i个人完成第j项工作所需时间。
由于为了工作的连贯性，不允许两人或两人以上做同一种工作，即一项工作只
能有一人完成。
因此，约束条件①为：
7
'Xj=1,j=1,,5
i丄
由于每人最多承担一种工作，因此，约束条件②为：
5
'Xj「,i=1,2/,7
j=
322模型求解
根据目标函数及其约束条件可知，该模型为0-1整体线性规划模型。
因此，利
用Lingo软件编写程序对此问题求解。
（程序见附录二）
可解得：
表3.2.2.1问题二解
Variable
Value
VOLUME（X1,W4）
1.000000:
VOLUME（X4,W5）
1.000000
VOLUME（X5,W2）
1.000000
VOLUME（X6,W3）
1.000000:
VOLUME（X7,W1）
1.000000
由表3.2.2.1可得到表3.222
表3.2.2.2工作安排
工作
工人
时间（天）
甲
G
5
乙
E
4
丙
F
6
丁
A
1
戊
D
4
综合以上所述：
应该安排工人A做丁，共需1天；安排工人D做戊，需4天；安排E做乙，需4天；安排F做丙，需6天；安排工人G做甲，需5天；即总耗时6天。
3.2.3模型检验
由于丙工作所需最少时间为6天，且每个人只做一件工作，每件工作只由一位工人完成，可知上述答案满足题目要求，具有合理性。
五、多目标线性规划模型（问题三）
5.1模型建立
线性规划只研究在满足一定条件下，单一目标函数取得最优解。
而在问题三中要求五项工作尽早完成，即保证做完某工作及检查完毕的时间和向量中的最大值最小化，即可将问题三转化为多目标线性规划问题。
在多目标规划问题中，不同目标之间往往会发生矛盾。
未解决该矛盾，将多目标问题转化为单目标问题，即采用极大极小法。
设：
0,不指派第i个人做第j项工作
x厂1,指派第i个人做第j项工作…5
0,不指派第i个人检查第j项工作
Vii=2i=12_7i=1八5
儿1,指派第i个人检查第j项工作,,j5
B,C,D,E，F，G人员对应x的下标i:
i〈1,2,3,4,5,6,7?
；x的下标j:
j・42,3,4,5?
。
7
匸1
minmax^吃a^j}
~~i=1
其中：
aij表示第i个人检查第j项工作所需时间；
由于为了工作的连贯性，不允许两人或两人以上检查同一种工作，即一项工作只能由一人检查。
因此，约束条件①为：
7
'yij=l,j7,5
i=1
又由于为了工作的连贯性，不允许两人或两人以上做同一种工作，即一项工作只能有一人完成。
因此，约束条件②为：
「，j「,,5
7、Xij
id
由于同一个人不能既做这件工作又检查这件工作，因此，约束条件⑤为：
刍y^1
5.2模型求解
根据目标函数及其约束条件可知，该模型为多目标线性规划模型。
因此，可以在第一小题成立的前提下（即X11，X14，X45，X52，X63都为0），利用Lingo软件编写程序对此问题求解。
（程序见附录三）
可解得:
表521问题三解
Variable
Value
Variable
Value
X11
「1.000000
Y71
1.000000
X14
1.000000
Y32
1.000000
X45
1.000000
Y73
1.000000
X52
「1.000000
Y74
1.000000
X63
1.000000
Y75
1.000000
由表5.2.1可得到表5.2.2:
表5.2.2工作安排
工作
工人
时间（天）
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