版中考总复习数学人教版 全国通用基础讲练 第19讲 矩形菱形和正方形含答案点拨.docx

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版中考总复习数学人教版全国通用基础讲练第19讲矩形菱形和正方形含答案点拨

第19讲　矩形、菱形和正方形

考纲要求

命题趋势

1．掌握平行四边形与矩形、菱形、正方形之间的关系．

2．掌握矩形、菱形、正方形的概念、判定和性质．

3．灵活运用特殊平行四边形的判定与性质进行有关的计算和证明.

　　特殊的平行四边形是中考的重点内容之一，常以选择题、填空题、计算题、证明题的形式出现，也常与折叠、平移和旋转问题相结合，出现在探索性、开放

性的题目中.

知识梳理

一、矩形的性质与判定

1．定义

有一个角是直角的____________是矩形．

2．性质

（1）矩形的四个角都是________．

（2）矩形的对角线________．

（3）矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴；它的对称中心是__________．

3．判定

（1）有三个角是________的四边形是矩形．

（2）对角线________的平行四边形是矩形．

二、菱形的性质与判定

1．定义

一组邻边相等的__________叫做菱形．

2．性质

（1）菱形的四条边都________．

（2）菱形的对角线__________，并且每一条对角线平分一组对角．

3．判定

（1）对角线互相垂直的________是菱形．

（2）四条边都相等的________是菱形．

三、正方形的性质与判定

1．定义

一组邻边相等的________叫做正方形．

2．性质

（1）正方形的四条边都________，四个角都是______．

（2）正方形的对角线______，且互相________；每条对角线平分一组对角．

（3）正方形是轴对称图形，两条对角线所在直线，以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴；正方形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心．

3．判定

（1）一组邻边相等并且有一个角是直角的__________是正方形．

（2）一组邻边相等的________是正方形．

（3）对角线互相垂直的________是正方形．

（4）有一个角是直角的________是正方形．

（5）对角线相等的________是正方形．

自主测试

1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝5，则AD的长是（　　）

A．5

B．5

C．5D．10

2．在菱形ABCD中，AB＝5cm，则此菱形的周长为（　　）

A．5cmB．15cmC．20cmD

．25cm

3．如图，矩形纸片ABC

D中，AB＝4，AD＝3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为（　　）

A．1B．C．

D．2

4．下列命题中是真命题的是（　　）

A．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等

C．两条对角线相等的平行四边形是矩形

D．两边相等的平行四边形是菱形

5．如图，在

正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O，∠AOF＝90°.

求证：

BE＝CF.

考点一、矩形的性质与判定

【例1】如图，在△ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE，AF.那么当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？

并证明你的结论．

分析：

判定一个四边形是矩形，可以先判定四边形是平行四边形，再找一个内角是直角或说明对角线相等．

解：

当点O运动到AC的中点（或OA＝OC）时，

四边形AECF是矩形．

证明：

∵CE平分∠BCA，∴∠1＝∠2.

又∵MN∥BC，∴∠1＝∠3，

∴∠3＝∠2，∴EO＝CO.

同理，FO＝CO，

∴EO＝FO.

又OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形．

又∵∠1＝∠2，∠4＝∠5，

∴∠1＋∠5＝∠2＋∠4.

又∵∠1＋∠5＋∠2＋∠4＝180°，

∴∠2＋∠4＝90°，即∠ECF＝90°.

∴四边形AECF是矩形．

方法总结矩形的定义既可以作为性质，也可以作为判定．矩形的性质是求证线段或角相等时常用的知识点．证明一个四边形是矩形的方法：

（1）先证明它是平行四边形，再证明它有一个角是直角；

（2）先证明它是平行四边形，再证明它的对角线相等；（3）证明有三个内角为90°.

触类旁通1如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，连接AE.

求证：

（1）BF＝DF；

（2）AE∥BD.

考点二、菱形的性质与判定

【例2】如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD.

（1）求证：

四边形OCED是菱形；

（2）若∠ACB＝30°，菱形OCED的面积为8

，求AC的长．

分析：

（1）先证明四边形OCED是平行四边形，然后证明它的一组邻边相等；

（2）因为△DOC是等边三角形，根据菱形的面积计算公式可以求菱形的边长，从而求出AC的长．

解：

（1）证明：

∵DE∥OC，CE∥OD，∴四边形OCED是平行四边形．

∵四边形ABCD是矩形，∴AO＝OC＝BO＝OD.

∴四边形OCED是菱形．

（2）∵∠ACB＝30°，∴∠DCO＝90°－30°＝60°.

又∵OD＝OC，∴△OCD是等边三角形．

过D作DF⊥OC于F，则CF＝

OC，

设CF＝x，则OC＝2x，AC＝4x.

在Rt△DFC中，tan60°＝

，

∴DF＝FC·tan60°＝

x.

由已知菱形OCED的面积为8

得OC·DF＝8

，即2x·

x＝8

.解得x＝2.∴AC＝4×2＝8.

方法总结菱形的定义既可作

为性质，也可作为判定．证明一个四边形是菱形的一般方法：

（1）四边相等；

（2）首先证明是平行四边形，然后证明有一组邻边相等；（3）对角线互相垂直平分；（4）对角线垂直的平行四边形．

触类旁通2如图，在

ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O作直线EF⊥BD，分别交AD，BC于点E和点F，求证：

四边形BEDF是菱形．

考点三、正方形的性质与判定

【例3】如图①，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA上的点，HA＝EB＝FC＝GD，连接EG，FH，交点为O.

（1）如图②，连接EF，FG，GH，HE，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；

（2）将正方形ABCD沿线段EG，HF剪开，再把得到的四个四边形按图③的方式拼接成一个四边形．若正方形ABCD的边长为3cm，HA＝EB＝FC＝GD＝1cm，则图③中阴影部分的面积为__________cm2.

分析：

根据题目的条件可先证△AEH，△BFE，△CGF，△DHG四个三角形全等，证得四边形EFGH的四边相等，然后由全等再证一个角是直角．

解：

（1）四边形EFGH是正方形．

证明：

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA.

∵HA＝EB＝FC＝GD，

∴AE＝BF＝CG＝DH.

∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.

∴EF＝FG＝GH＝HE.

∴四边形EFGH是菱形．

由△DHG≌△AEH，知∠DHG＝∠AEH.

∵∠AEH＋∠AHE＝90°，

∴∠DHG＋∠AHE＝90°.∴∠GHE＝90°.

∴菱形EFGH是正方形．

（2）1

方法总结

证明一个四边形是正方形可从以下几个方面考虑：

（1）“平行四边形”＋“一组邻边相等”＋“一个角为直角”（定义法）；

（2）“矩形”＋“一组邻边相等”；（3）“矩形”＋“对角线互相垂直”；（4）“菱形”＋“一个角为直角”；（5）“菱形”＋“对角线－相等”．

1．（2012四川成都）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（　　）

A．AB∥DCB．AC＝BD

C．AC⊥BDD．OA＝OC

2．（2012山东滨州）

若菱形的周长为8cm，高为1cm，则菱形两邻角的度数比为（　　）

A．3:

1B．4:

1C．5:

1D．6:

1

3．（2012江苏泰州）下列四个命题：

①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形；④正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题共有（　　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

4．（2012江苏苏州）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC.若AC＝4，则四边形CODE的周长是（　　）

A．4　　　　B．6

C．8　　　D．10

5．（2012贵州铜仁）以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A，B两点，则线段AB的最小值是__________．

6．（2012山东临沂）如图，点A，F，C，D在同一直线上，点B和点E分别在直线AD的两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AF＝DC.

（1）求证：

四边形BCEF是平行四边形；

（2）若∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，当AF为何值时，四边形BCEF是菱形？

1．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（　　）

A．对角线互相垂直B．对角线相等

C．对角线互相平分D．对角互补

2．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是（　　）

A．BA＝BC

B．AC，BD互相平分

C．AC＝BD

D．AB∥CD

3．已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加

一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（　　）

A．∠D＝90°B．AB＝CDC．AD＝BCD．BC＝CD

4．如图，四边形ABCD为矩形纸片，把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF.若CD＝6，则AF等于（　　）

A．4

B．3

C．4

D．8

5．如图，两条笔直的公路l1，l2相交于点

O，村庄C的村民在公路的旁边建三个加工厂A，B，D，已知AB＝BC＝CD＝DA＝5千米，村庄C到公路l1的距离为4千米，则村庄C到公路l2的距离是（　　）

（第5题图）

A．3千米B．4千米C．5千米D．6千米

6．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是__________．

（第6题图）

7．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB，CD于E，F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的__________．

（第7题图）

8．如图，点P是边

长为1的菱形ABCD对角线AC上一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，MP＋NP的最小值是__________．

（第8题图）

9．如图

（1）所示，在正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM，且交∠CBE的平分线于点N.

（1）求证：

MD＝MN.

（2）若将上述条件中“M是AB的中点”改为“M是AB上任意一点”，其余条件不变，如图

（2）所示，则结论“MD＝MN”还成立吗？

若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．

参考答案

导学必备知识

自主测试

1．B　2．C

3．C　∵设AG＝A′G＝x，∴x2＋22＝（4－x）2，解得x＝

，故选C.

4．C

5．证明：

如题图，∵四边形ABCD为正方形，

∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°.

∴∠EAB＋∠AEB＝90°.

∵∠EOB＝∠AOF＝90°，

∴∠FBC＋∠AEB＝90°.

∴∠EAB

＝∠FBC.

∴△ABE≌△BCF.∴BE＝CF.

探究考点方法

触类旁通1．

证明：

（1）在矩形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，

∴∠1＝∠2.

∵∠2＝∠3，

∴∠1＝∠3，∴BF＝DF.

（2）∵AD＝BC＝BE，BF＝DF，

∴AF＝EF，

∴∠AEB＝∠EAF.

∵∠AFE＝∠BFD，∠1＝∠3，

∴∠AEB＝∠3，∴AE∥BD.

触类旁通2．证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，OB＝OD，

∴∠EDO＝∠FBO，∠OED＝∠OFB，

∴△OED≌△OFB，∴DE＝BF.

又∵DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形．

∵EF⊥BD，∴四边形BEDF是菱形．

品鉴经典考题

1．B　因为菱形的对边平行且相等，所以A正确；对角线互相平分且垂直，但不一定相等，所以C，D正确，B错误．

2．C　根据已知可得到菱形的边长为2cm，从而可得到高所对的角为30°，相邻的角为150°，则该菱形两邻角度数比为5:

1.故选C.

3．B　①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形是真命题；②对角线互相垂直且

相等的四边形是正方形是假命题；③顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形是真命题；④正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形是假命题．故选B.

4．C　∵CE∥BD，DE∥AC，∴四边形CODE是平行四边形．∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD＝4，OA＝OC，OB＝OD，∴OD＝OC＝

AC＝2，∴四边形CODE是菱形，

∴四边形CODE的周长为4OC＝4×2＝8.

故选C.

5．

　如图：

∵四边形CDEF是正方形，∴∠OCD＝∠ODB＝45°，∠COD＝90°，OC＝OD.

∵AO⊥OB，∴∠AOB＝90°，∴∠COA＋∠AOD＝90°，∠AOD＋∠DOB＝90°，∴∠COA＝∠DOB.

∵在△COA和△DOB中，有

∴△COA≌△DOB，∴OA＝OB.

∵∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，

由勾股定理得：

AB＝

＝

OA，要使AB最小，只需OA取最小值即可．

根据垂线段最短，OA⊥CD时，O

A最小．

此时OA＝

CF＝1，即AB＝

.

6．解：

（1）证明：

∵AF＝DC，∴AF＋FC＝DC＋FC，即AC＝DF.

又∵∠A＝∠D，AB＝DE，∴△ABC≌△DEF.

∴BC＝EF，∠ACB＝∠DFE.

∴BC∥EF.∴四边形BCEF是平行四边形．

（2）若四边形BCEF是菱形，连接BE，交CF于点G，

∴BE⊥CF，FG＝CG.

∵∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，

∴AC＝

＝

＝5.

∵∠BGC＝∠ABC＝90°，∠ACB＝∠BCG，

∴△ABC∽△BGC.

∴

＝

，即

＝

.∴CG＝

.∴FC＝2CG＝

.

∴AF＝AC－FC＝5－

＝

.

因此，当AF＝

时，四边形BCEF是菱形．

研习预测试题

1．A　2．B　3．D

4．A　∵点E是CD的中点，∴DE＝CE＝

CD＝3.

∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝6.

由折叠性质可知，AE＝AB＝6，BF＝EF，

在Rt△ADE中，AD＝

＝3

，

∴BC＝3

.设CF＝x，BF＝EF＝3

－x，

在Rt△CEF中，（3

－x）2＝x2＋32，

∴x＝

.∴BF＝2

.在Rt△ABF中，AF＝4

.

5．B　6．22.5°　7．

8．1　在DC上找N点关于AC的对称点N′，连接MN′，则MN′的长即为MP＋NP的最小值，此时MN′＝AD＝1.

9．分析：

（1）证MD＝MN，可证它们所在的三角形全等，易知MN在钝角△MBN中，而MD在直角△AMD中，显然需添加辅助线构造全等三角形，由△MBN的特征想到可在AD上取AD的中点F，构造△MDF≌△NMB；

（2）可参照第

（1）题的方法．

（1）证明：

取AD的中点F，连接MF.

∵M是AB的中点，F是AD的中点，

∴MB＝AM＝

AB，DF＝AF＝

AD.

∵AB＝AD，∴AF＝AM＝DF＝MB，∴∠1＝45°，

∴∠DFM＝135°.∵BN平分∠CBE，∴∠CBN＝45°.

∴∠MBN＝135°.∴∠MBN＝∠DFM.

∵∠DMN＝90°，∴∠NMB＋∠DMA＝90°.

∵∠A＝90°，∴∠ADM＋∠DMA＝90°.

∴∠NMB＝∠ADM.

∴△DFM≌△MBN.∴MD＝MN.

（2）解：

结论MD＝MN仍成立．

证明：

在AD上取点F，使AF＝AM，连接MF.

由

（1）中证法可得：

DF＝

BM，∠DFM＝∠MBN，∠FDM＝∠BMN，

∴△DFM≌△MBN，∴MD＝MN.