高中数学必修一知识点总结学习笔记.docx
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高中数学必修一知识点总结学习笔记
数学笔记
必修一
第一章：
集合
第一节：
集合的含义及表示
一、定义：
（描述性）一定范围内，某些确定．的．．、不．同．的．对象的全．体．构成一个集合
二、表示：
1.列举法：
A={a、b}
2.描述法：
{x|p（x）}
代表元分割线代表元满足的性质
3.图示法：
（数轴、Venn图）
三、特点：
确定性、互异性、无序性
四、常用数集
N自然数集
N、N正整数集
Z整数集
Q有理数集
R实数集
五、元素与集合的关系
aM、aM（两者必居其一）
六、集合相等
两个集合所含元素完全相同AB
七、集合的分类
1.有限集含有有限个元素的集合
2.无限集含有无限个元素的集合
3.空集不含有任何元素的集合
第二节：
子集、全集、补集
一）子集
、定义
（文字）A中的任一元素都属于B
（符号）AB（或BA）
二）真子集
、定义
（文字）AB，且B中至少有一元素不属于A
（符号）AB（或BA）
图形）
注意
空集是任何非．空．集．合．的真子集
A（A为非空子集）
（三）补集
一、定义
（文字）设AU，由U中不属于A的所有元素组成的集合称为U的子集A的补集
（符号）eUA={x|xU,且xA}
第二节：
子集、全集、补集
（一）交集
一、定义
（文字）由所有属于集合A且．属于集合B的元素构成的集合称为
A与B的交集
图形）
二）并集
、定义
（文字）由所有属于集合A或．者．属于集合B的元素构成的集合称为A与B的交集
（符号）{x|xA,或．xB}
图形）
1
（三）区间
设a,b是两个实数，且ab，规定
闭区间axb[a,b]；
开区间axb（a,b）；
半开半闭区间（左闭右开）axb[a,b）（左开右闭）axb（a,b]xa,xa,xb,xb
[a,）,（a,）,（,b],（,b）．
对于集合{x|axb}与区间（a,b），前者a可以大于或等于b，而
后者必须ab，（前者可以不成立，为空集；而后者必须成立）
第二章：
函数
第一节：
函数的概念
一、定义：
设A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对
于集合A中任何一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到B的一个函数，记作f:
AB
二、三要素：
定义域、值域和对应法则
三、相同函数：
定义域相同，且对应法则也相同的两个函数
四、函数定义域：
1.f（x）是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．
2.f（x）是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．
3.对数函数的真数大于零
4.对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零
5.ytanx中，xk（kZ）．
2
6.零（负）指数幂的底数不能为零．
7.若f（x）是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．
8.对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：
若已知f（x）的定
义域为[a,b]，其复合函数f[g（x）]的定义域应由不等式ag（x）b解出．
9.对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．
10.由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．
五、求函数值域（最值）：
1.观察法：
初等坐标函数
2.配方法：
二次函数类
3.判别式法：
二次函数类b2（y）4a（y）c（y）0
4.不等式法：
基本不等式
5.换元法：
变量代换、三角代换
6.数形结合法：
函数图象、几何方法
7.函数的单调性法．
8.分离常数法:
反比例类
六、函数的表示方法：
解析法
列表法
图象法（不是所有函数都有图像）
七、分段函数
八、复合函数
九、求函数解析式
1.配凑（换元）法
2.待定系数法:
已知函数模型
3.方程组法:
互为相反数、互为倒数
第二节：
函数的简单性质
（一）、单调性
一、定义
如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,
当x．1．＜．x．2．时，都有f．（x．．1．）．＜．f．（x．．2．）．，那么就说f（x）在这个区间上是增．函．数．．
y=f（X）
f（x1）
x1
x2
当x．1．＜．x．2．时，都有f．（x．．1．）．＞．f．（x．．2．）．，那么就说f（x）在这个区间上是
减．函．数．．
x1
注意
1.不在区．间．内谈单调增或单调减都无意义
2.端点不计入区间
3.一般情况下单调区间不能并
4.单调区间≠区间单调
二、证明
1.任取
2.作差
3.变形
4.定号
5.下结论
三、证明
1.定义
2.初等坐标函数、已知函数
3.函数图象（某个区间图象）
4.复合函数：
同増异减
（二）、最值
、定义
1）一般地，设函数yf（x）的定义域为I，如果存在实数M满
足：
①对于任意的xI，都有f（x）M
②存在x0I，使得f（x0）M．那么，我们称M是函数f（x）的最大值，记作fmax（x）M．
（2）
一般地，设函数yf（x）的定义域为
I，如果存在实数m满
足：
①
对于任意的xI，都有f（x）m
②
存在x0I，使得f（x0）m．那么，
我们称m是函数f（x）的
最小值，
记作fmax（x）m．
注意:
开区间无最值
二、题型
定函数动区间
动函数定区间
注意:
抓住对称轴和区间的相对关系
（二）、奇偶性
、定义
1）如果对于函数f（x）定义域内任意一个x，都有f．（．－．x．）．=．－．f．（x．）那么函数f（x）叫做奇．函．数．．
2）如果对于函数f（x）定义域内任意一个x，都有f．（．－．x．）．=．f．（．x）．那么函数f（x）叫做偶．函．数．．
二、证明
1.定义域
f（x）的定．义．域．为——任意的x——
2.f（－x）与f（x）
3.下结论
正确——严格证明
错误——举出反例
奇函数
偶函数
既奇又偶函数
非奇非偶函数两个反例
1.分段函数要分段讨论
2.0可单独讨论
3.若函数f（x）为奇函数，且在x0处有定义，则f（0）0
三、应用
1.定义（一般到一般）
2.代“0”（特殊到一般）需检验
四、奇偶性
若奇函数在（a，b）上单调增，则在（-a，-b）上单调增
若偶函数在（a，b）上单调增，则在（-a，-b）上单调减
第三节：
映射的概念
一、定义
设A、B是两个非．空．集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A中任．何．一．个．元素，在集合B中都有唯．一．的元素和它对应，那么这样的对应叫做集合A到B的映射，记作f:
ABB
可用树状图考虑
第三章：
指数函数、对
数函数和幂函数
第一节：
指数函数
一）、根式
、定义
如果xna,aR,xR,n1，且nN，那么x叫做a的n次方根
当n是奇数时，a的n次方根用符号na表示；
当n是偶数时，正数a的正的n次方根用符号na表示，负的n次方根用符号na表示；
0的n次方根是0；负数a没有n次方根．
根指数
被开方数
当n为奇数时，a为任意实数；当n为偶数时，a0．、性质：
nan|a|a（a0）（na）na；当n为奇数时，nana；当n为a（a0）
偶数时，
三、分数指数幂
m
annam（a0,m,nN,且n1）．
1.arasars（a0,r,sR）
2.（ar）sars（a0,r,sR）
3.（ab）rarbr（a0,b0,rR）
（二）指数函数一、定义
函数yax（a0且a1）叫做指数函数
二、图像与性质
名称
指数函数
a1
0a1
yyax
yaxy
图象
y1
y1（0,1）
（0,1）
Ox
Ox
定义域
R
值域
（0,
）
奇偶性
非奇非偶
单调性
在R上是增函数
在R上是减函数
过定点
（0,1）、
（1，a）
渐近线
x轴
三、图像移动及解析式变化
平移变换
yf（x）hh00,右,移|hh|个单位yf（xh）yf（x）kk00,下,移|kk|个单位yf（x）k伸缩变换
yf（x）1,缩yf（x）
yf（x）0AA11,伸,缩yAf（x）
对称变换
去掉y轴左边图象
yf（x）保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称图象yf（|x|）
保留x轴上方图象
yf（x）将x轴下方图象翻折上去y|f（x）|
四、指数型复合函数
换元取值范围、单调性
同增异减
初级坐标函数值域、单调性
五、指数函数的应用
1.审题归纳
2.建模注意定义域“指数型函数”模型
3.求解（解模）
4.还原（结论——答）
1.每一个步骤读一遍题
2.注意定义域、精确度
第二节：
对数函数
一）对数
、定义
如果a（．a．＞．0．，．a．≠．1．）．的b次幂等于N即ab=N
那么就称b是以a为底N的对数记作logaN=b
底数真数．
、互化
对数底数真数底数指数幂根指数被开方数方根
三、常用对数与自然对数
常用对数：
lgN，即log10N；
自然对数：
lnN，即logeN（其中e2.71828⋯）．
四、运算
1.加法：
logaMlogaNloga（MN）
2.减法：
logaMlogaNlogaM
N
3.数乘：
nlogaMlogaMn（nR）
4.alogaNN
5.logabMnnlogaM（b0,nR）abba
6.换底公式：
logaNlogbN（b0,且b1）logba
（二）对数函数
一、定义
函数ylogax（a0且a1）叫做对数函数
、图像与性质
名称
对数函数
图象
a1
0a1
y
O
x1
ylogax
（1,0）
（1,0）x
y
O
x1
ylogax
（1,0）
x
定义域
（0,）
值域
R
奇偶性
非奇非偶
单调性
在（0,）上是增函数
在（0,）上是减函数
过定点
（1，0）、（a，1）
渐近线
y轴
三、题型
1.比较大小
1利用单调性
2利用图像（真数相同）
3利用中间值
2.解不等式
3.求值
4.判断奇偶性
第三节：
幂函数
、定义
函数yx叫做幂函数，其中x为自变量，是常数
、图像与性质
定义域：
（0,）一定有定义
过定点：
（1,1）．
单调性：
[0,）上
0，过原点、（0,）上为增函数．a=0，常函数
0，（0,）上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴
与y轴．
奇偶性：
当为奇数时，幂函数为奇函数，
当为偶数时，幂函数为偶函数．
当q（其中p,q互质，p和qZ），若p为奇数q为奇数时，p
q
则yxp是奇函数，
q
若p为奇数q为偶数时，则yxp是偶函数，
q
若p为偶数q为奇数时，则yxp是非奇非偶函数．图象特征：
幂函数yx,x（0,），
当1时，若0x1，其图象在直线yx下方，若x1，其图
象在直线yx上方，
当1时，若0x1，其图象在直线yx上方，若x1，其图
象在直线yx下方．
第四节：
函数的应用
（一）、零点
一、定义
对于函数yf（x）（xD），把使f（x）0成立的实数x叫做函数yf（x）（xD）的零点
二、意义
函数yf（x）的零点
方程f（x）0实数根
函数yf（x）的图象与x轴交点的横坐标
1.零点不是点
2.穿过零点，y值变号y值变号，穿过零点（图像．连．
续．不．断．）
三、求法
1．（代数法）
①证单调区间
②零点定理1．（几何法）交点
（二）、零点定理
一、定义
设函数f（x）在闭区间[a,b]上连．续．，且f（a）×f（b）<0，那么在开区间（a,b）内至少有函数f（x）的一个零点二、应用（二次函数的实根分布）
已知二次函数f（x）ax2bxc（a>0）
设一元二次方程ax2bxc0（（aa0>）0）的两实根为x1,x2，
①k>0
2a
f（k）>0
f（k）>0
③x1
f（k）<0
④k1>0
f（k1）>0
f（k2）>0k12a
⑤k1f（k1）>0
f（k2）<0
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