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1、高中数学必修一知识点总结学习笔记数学笔记必修一第一章：集合第一节：集合的含义及表示一、定义：（描述性） 一定范围内，某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合二、表示：1.列举法： A=a 、b2.描述法： x|p （x）代表元 分割线 代表元满足的性质3.图示法：（数轴、 Venn 图）三、特点 ：确定性、互异性、无序性四、常用数集N 自然数集N 、 N 正整数集Z 整数集Q 有理数集R 实数集五、元素与集合的关系a M 、 a M （两者必居其一）六、集合相等两个集合所含元素完全相同 A B七、集合的分类1.有限集 含有有限个元素的集合2.无限集 含有无限个元素的集合3.空集 不含有任何元素

2、的集合第二节：子集、全集、补集一） 子集、定义（文字） A中的任一元素都属于 B（符号） A B （或 B A）二）真子集、定义（文字） A B，且 B 中至少有一元素不属于 A（符号） A B（或 B A）图形）注意空集是任何非空集合的真子集A（ A为非空子集）（三）补集一、定义（文字）设 A U ，由 U中不属于 A 的所有元素组成的集合称为 U 的子集 A 的补集（符号） eU A= x|x U ,且x A第二节：子集、全集、补集（一）交集一、定义（文字）由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素构成的集合称为A 与 B 的交集图形）二）并集、 定义（文字）由所有属于集合 A 或者属于集

3、合 B 的元素构成的集合称 为 A 与 B 的交集（符号） x| x A,或x B图形）1（三）区间设 a , b 是两个实数，且 a b ，规定闭区间 a x b a,b ；开区间 a x b （ a,b）；半开半闭区间 （左闭右开） a x b a,b） （左开右闭） a x b （a,b x a, x a, x b, x ba, ）,（a, ）,（ ,b,（ ,b） 对于集合 x|a x b与区间 （a,b），前者 a可以大于或等于 b，而后者必须 a b ，（前者可以不成立， 为空集；而后者必须成立）第二章：函数第一节：函数的概念一、定义：设A 、 B是两个非空的数集，如果按照某种对应

4、法则 f ，对于集合 A中任何一个数 x，在集合 B中都有唯一确定的数 f (x)和它 对应，那么这样的对应(包括集合 A，B以及 A到B的对应法则 f ) 叫做集合 A到B的一个函数，记作 f :A B二、三要素：定义域、值域和对应法则三、相同函数：定义域相同，且对应法则也相同的两个函数四、函数定义域：1.f (x)是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数2.f (x)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数 的集合3.对数函数的真数大于零4.对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零5. y tanx中， x k (k Z) 26.零(负)指数幂的底数不能为零7.若 f (

5、x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时， 则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集8.对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知 f (x)的定义域为 a, b ，其复合函数 fg(x) 的定义域应由不等式 a g(x) b 解出9.对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需 对字母参数进行分类讨论10.由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还 要符合问题的实际意义五、求函数值域(最值) ：1.观察法：初等坐标函数2.配方法：二次函数类3. 判别式法：二次函数类 b2( y) 4a(y) c(y) 04.不等式法：基本不等式5.换元法：变量代换、三角代换6

6、.数形结合法：函数图象、几何方法7.函数的单调性法8.分离常数法 : 反比例类六、函数的表示方法：解析法列表法图象法 （ 不是所有函数都有图像 ）七、分段函数八、复合函数九、求函数解析式1.配凑（换元 ） 法2.待定系数法 : 已知函数模型3.方程组法 : 互为相反数、互为倒数第二节：函数的简单性质（一 ） 、单调性一、定义如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1、 x2,当 x1 x2时，都有 f（x1）f（x2），那么就说 f（x） 在这个区间上是 增函数y=f(X)f(x1 )x1x2当 x1 x2时，都有 f（x1）f（x2），那么就说 f（x） 在这个区间上是减

7、函数x1注意1.不在区间内谈单调增或单调减都无意义2.端点不计入区间3.一般情况下单调区间不能并4.单调区间区间单调二、证明1.任取2.作差3.变形4.定号5.下结论三、证明1.定义2.初等坐标函数、已知函数3.函数图象（某个区间图象）4.复合函数：同増异减 （二）、最值、定义1)一般地，设函数 y f (x)的定义域为 I ，如果存在实数 M 满足： 对于任意的 x I ，都有 f ( x) M 存在 x0 I ，使得 f(x0) M 那么，我们称 M 是函数 f (x) 的 最大值，记作 fmax (x) M (2)一般地，设函数 y f (x)的定义域为I ，如果存在实数 m 满足：对于

8、任意的 x I ，都有 f ( x) m存在 x0 I ，使得 f (x0) m 那么，我们称 m是函数 f (x) 的最小值，记作 fmax(x) m 注意: 开区间无最值二、题型定函数动区间动函数定区间注意: 抓住对称轴和区间的相对关系(二)、奇偶性、定义1)如果对于函数 f(x) 定义域内任意一个 x，都有 f(x)=f(x) 那么函数 f(x) 叫做 奇函数2)如果对于函数 f(x) 定义域内任意一个 x，都有 f(x)=f(x) 那么函数 f(x) 叫做 偶函数二、证明1.定义域f(x) 的定义域为 任意的 x 2.f( x)与 f(x)3.下结论正确严格证明错误举出反例奇函数偶函数

9、既奇又偶函数非奇非偶函数 两个反例1.分段函数要分段讨论2.0 可单独讨论3. 若函数 f ( x)为奇函数，且在 x 0处有定义，则 f(0) 0三、应用1. 定义 （一般到一般）2. 代“ 0”（特殊到一般） 需检验四、奇偶性若奇函数在（ a，b）上单调增，则在（ -a ， -b ）上单调增若偶函数在（ a， b）上单调增，则在（ -a ， -b ）上单调减第三节：映射的概念一、定义设A、 B是两个非空集合，如果按照某种对应法则 f ，对于 集合 A中任何一个元素，在集合 B 中都有唯一的元素和它对应， 那么这样的对应叫做集合 A到 B的映射，记作 f :A B B可用树状图考虑第三章：指

10、数函数、对数函数和幂函数第一节：指数函数一)、根式、定义如果 xn a,a R,x R,n 1，且 n N ，那么 x叫做 a的 n次方根当 n 是奇数时， a 的 n 次方根用符号 n a 表示；当n是偶数时， 正数a的正的 n次方根用符号 n a表示，负的 n次方根用符号 n a表示；0的 n次方根是 0；负数 a没有 n次方根根指数被开方数当 n 为奇数时， a 为任意实数；当 n为偶数时， a 0 、性质：nan |a| a (a 0) (n a)n a ；当n为奇数时， n an a；当n为 a (a 0)偶数时，三、分数指数幂man n am(a 0,m,n N ,且 n 1)1.

11、ar as ar s(a 0,r, s R)2.(ar)s ars (a 0,r,s R)3.(ab)r arbr (a 0,b 0,r R) (二)指数函数 一、定义函数 y ax(a 0且 a 1)叫做指数函数二、图像与性质名称指数函数a10a1y y a xy a x y图象y1y 1 (0,1)(0,1)OxOx定义域R值域(0,)奇偶性非奇非偶单调性在 R 上是增函数在 R 上是减函数过定点（0,1 ）、（1，a）渐近线x轴三、图像移动及解析式变化平移变换y f (x) hh 00,右, 移 |hh|个单位 y f (x h) y f(x) kk 00,下, 移| kk|个单位 y

12、f (x) k 伸缩变换y f ( x) 1,缩 y f ( x )y f(x) 0 AA11,伸,缩 y Af (x)对称变换去掉y轴左边图象y f(x) 保留y轴右边图象，并作其关于 y轴对称图象 y f (| x|)保留x轴上方图象y f (x) 将x轴下方图象翻折上去 y | f (x) |四、指数型复合函数换元 取值范围、单调性同增异减初级坐标函数 值域、单调性五、指数函数的应用1. 审题 归纳2. 建模 注意定义域 “指数型函数”模型3.求解(解模)4.还原(结论答)1. 每一个步骤读一遍题2. 注意定义域、精确度第二节：对数函数一）对数、定义如果 a（a0，a1）的 b 次幂等于

13、 N 即 ab=N那么就称 b 是以 a 为底 N的对数 记作 log aN=b底数 真数、互化对数 底数 真数 底数 指数 幂 根指数 被开方数 方根三、常用对数与自然对数常用对数： lg N ，即 log10 N ；自然对数： lnN ，即 loge N （其中 e 2.71828）四、运算1. 加法： loga M loga N log a （MN ）2. 减法： loga M loga N log a MN3. 数乘： n log a M log a M n (n R)4.aloga N N5.logab Mn nlogaM (b 0,n R) ab b a6.换底公式： loga N

14、 logb N (b 0,且b 1) log b a(二)对数函数一、定义函数 y loga x(a 0且a 1)叫做对数函数、图像与性质名称对数函数图象a10 a 1yOx1y loga x(1,0)(1,0) xyOx1y loga x(1,0)x定义域(0, )值域R奇偶性非奇非偶单调性在 （0, ）上是增函数在 （0, ） 上是减函数过定点（1，0）、（a，1）渐近线y轴三、题型1. 比较大小1利用单调性2利用图像（真数相同）3利用中间值2. 解不等式3.求值4.判断奇偶性第三节：幂函数、定义函数 y x 叫做幂函数，其中 x 为自变量， 是常数、图像与性质定义域： (0, ) 一定有

15、定义过定点： (1,1) 单调性： 0, ) 上0 ，过原点、 (0, ) 上为增函数 a=0，常函数0， (0, )上为减函数，在第一象限内，图象无限接近 x轴与 y 轴奇偶性：当 为奇数时，幂函数为奇函数，当 为偶数时，幂函数为偶函数当 q (其中 p,q互质， p和q Z )，若 p为奇数 q为奇数时， pq则 y xp 是奇函数，q若 p 为奇数 q 为偶数时，则 y x p 是偶函数，q若 p 为偶数 q 为奇数时，则 y x p 是非奇非偶函数 图象特征：幂函数 y x , x (0, ) ，当 1时，若 0 x 1，其图象在直线 y x 下方，若 x 1，其图象在直线 y x 上

16、方，当 1时，若 0 x 1，其图象在直线 y x 上方，若 x 1，其图象在直线 y x 下方第四节：函数的应用(一)、零点一、定义对于函数 y f (x)(x D)，把使 f(x) 0 成立的实数 x叫做函 数 y f(x)(x D) 的零点二、意义函数 y f(x)的零点方程 f (x) 0实数根函数 y f (x) 的图象与 x轴交点的横坐标1. 零点不是点2. 穿过零点， y 值变号 y 值变号，穿过零点(图像连续不断)三、求法1(代数法) 证单调区间 零点定理 1(几何法) 交点(二)、零点定理一、定义设函数 f(x) 在闭区间 a,b 上连续，且 f(a) f(b) 0）设一元二次方程 ax2 bx c 0（a a0） 0）的 两实根为 x1,x2 ， k02af(k) 0f(k) 0x1kx2f(k) 0k1x1x20f(k 1) 0f(k2) 0 k1x b k22ak1 x1 0f(k2)0