专题42 二面角理科高考数学解答题专题训练.docx

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专题42二面角理科高考数学解答题专题训练

1．如图，在三棱柱中，侧面底面.

（1）求证：

平面；

（2）若,求二面角的余弦值.

【答案】

（1）证明见解析；

（2）.

【解析】试题分析:

（1）由四边形为菱形，得对角线，由侧面底面，得侧面B1，从而1，由此能证明平面；

（2）由勾股定理得，由菱形中，得为正三角形，以菱形的对角线交点为坐标原点方向为轴，方向为轴，过且与平行的方向为轴建立如图空间直角坐标系，分别求出平面的法向量和平面的法向量，由此能求出二面角的余弦值.

侧面底面，

侧面，

.

又,

平面.

（2）在中，,

又菱形中，，

为正三角形.

设为平面的方向量，则

令,得为平面的一个法向量.

又为平面的一个法向量，

.

二面角的余弦值为.

2．如图所示的多面体中，下底面平行四边形与上底面平行，且，,，，平面平面，点为的中点．

（1）过点作一个平面与平面平行，并说明理由；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．

【答案】

（1）见解析；

（2）

试题解析：

（1）取的中点，的中点，连接、、，如图所示．

则平面平面，平面即为所求的平面．

理由如下：

在平行四边形中，点分别是与的中点，所以，

在中，点分别是的中点，所以．

显然，，

所以平面平面，亦即平面平面．

（2）不妨设,,，故,．在平行四边形中，，所以．

取的中点，则．

又平面平面，平面平面，所以平面．

连接，因为，，所以，又，所以．

如图所示，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，则，，，，，，,，．

所以，，，．

设平面的法向量为，

则由，即，整理得．

令，．所以．

所以．

3．如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，且底面.

（1）证明：

平面平面；

（2）若为的中点，且，求二面角的大小.

【答案】

（1）见解析

（2）

【解析】试题分析：

（1）易证得，，所以有平面，从而得证；

（2）分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，分别求得平面的法向量为，平面的一个法向量为，由法向量的所成角可得解.

试题解析：

（1）证明：

∵，∴，

∴，∴.

又∵底面，∴.

∵，∴平面.

而平面，∴平面平面.

（2）解：

由

（1）知，平面，

∴，∴.

故，.

设平面的法向量为，

则，即，

令，得.

易知平面的一个法向量为，则，

∴二面角的大小为.

4．如图所示的几何体是由棱台和棱锥拼接而成的组合体，其底面四边形是边长为2的菱形，，平面.

（1）求证：

；

（2）求平面与平面所成锐角二面角的余弦值.

【答案】

（1）证明见解析；

（2）.

【解析】试题分析：

（1）根据菱形性质得，根据线面垂直得，再根据线面垂直判定定理得平面，即得.最后根据得结论，

（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解得法向量，根据向量数量积求夹角，最后根据二面角与向量夹角关系确定所成锐角二面角的余弦值.

又棱台中，

∴

（2）建立空间直角坐标系如图所示，则，，，，，，

所以，，，，

设平面的一个法向量为，则,

∴，.

令，得，∴；

设平面的法向量为，则,

∴，

令，得，，∴，

设平面与平面所成锐二面角为，

则，

所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为.

5．在四棱锥中，四边形是矩形，平面平面，点、分别为、中点.

（1）求证：

平面；

（2）若，求平面DEF与平面所成锐二面角的余弦值.

【答案】

（1）见解析

（2）

试题解析：

（I）证明：

取中点，连接．

在△中，有

分别为、中点

而平面，平面

平面

（II）取中点，连接，设.

四边形是矩形

平面平面,平面平面=，平面

平面

又，，为中点

，，.

故可建立空间直角坐标系，如图所示，则

，，，，

，

，

设是平面的一个法向量，则

，即

不妨设，则．

易知向量为平面的一个法向量．

故平面与平面所成锐二面角的余弦值为.

6．如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,,平面底面,为中点,是棱上的点,.

（Ⅰ）若点是棱的中点,求证:

平面;

（Ⅱ）求证:

平面平面;

（Ⅲ）若二面角为,设,试确定的值.

【答案】（I）详见解析；（II）详见解析；（III）.

（Ⅲ）以为原点,以的方向分别为轴,轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和平面中,，利用向量的夹角公式，即可求得的值.

试题解析：

因为平面,平面

所以平面.

（Ⅱ）因为为中点,

所以四边形为平行四边形,所以.

因为,所以,即.

又因为平面平面,且平面平面,

所以平面,

因为平面,

所以平面平面.

（Ⅲ）因为为的中点,所以.

又因为平面平面,且平面平面,

所以平面

以为原点,以的方向分别为轴,轴的正方向,

建立如图所示的空间直角坐标系,

则点,,,,平面的一个法向量.

设,则,,

因为

所以

在平面中,,

因为二面角为,

所以,

所以.