1、专题42 二面角理科高考数学解答题专题训练1如图,在三棱柱中, 侧面底面. (1)求证: 平面;(2)若,求二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】试题分析: (1)由四边形为菱形,得对角线,由侧面底面,得侧面B1,从而1,由此能证明平面;(2)由勾股定理得,由菱形中,得为正三角形,以菱形的对角线交点为坐标原点方向为轴, 方向为轴,过且与平行的方向为轴建立如图空间直角坐标系,分别求出平面的法向量和平面的法向量,由此能求出二面角的余弦值.侧面底面,侧面,.又,平面.(2)在中, ,又菱形中, ,为正三角形.设为平面的方向量,则令,得为平面的一个法向量.又为平面的一个法向量,.二
2、面角的余弦值为.2如图所示的多面体中,下底面平行四边形与上底面平行,且,,,平面平面,点为的中点(1)过点作一个平面与平面平行,并说明理由;(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值【答案】(1)见解析;(2)试题解析:(1)取的中点,的中点,连接、,如图所示则平面平面,平面即为所求的平面 理由如下:在平行四边形中,点分别是与的中点,所以,在中,点分别是的中点,所以 显然,所以平面平面,亦即平面 平面 (2)不妨设,,故,在平行四边形中,所以取的中点,则又平面平面,平面平面,所以平面 连接,因为,所以,又,所以如图所示,以点为坐标原点建立空间直角坐标系,则,,,所以,设平面的法向量为,则由,即,整
3、理得令,所以所以3如图,在四棱锥中,底面为平行四边形, , ,且底面.(1)证明:平面平面;(2)若为的中点,且,求二面角的大小.【答案】(1)见解析(2)【解析】试题分析:(1)易证得, ,所以有平面,从而得证;(2)分别以, , 为轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系,分别求得平面的法向量为,平面的一个法向量为,由法向量的所成角可得解.试题解析:(1)证明:,.又底面,.,平面.而平面,平面平面.(2)解:由(1)知, 平面,.故, .设平面的法向量为,则,即,令,得.易知平面的一个法向量为,则,二面角的大小为.4如图所示的几何体是由棱台和棱锥拼接而成的组合体,其底面四边形是边长为2的菱形,平
4、面.(1)求证:;(2)求平面与平面所成锐角二面角的余弦值.【答案】(1)证明见解析;(2).【解析】试题分析:(1)根据菱形性质得,根据线面垂直得,再根据线面垂直判定定理得平面,即得.最后根据得结论,(2)先根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,根据方程组解得法向量,根据向量数量积求夹角,最后根据二面角与向量夹角关系确定所成锐角二面角的余弦值.又棱台中, (2)建立空间直角坐标系如图所示, 则, , 所以,设平面的一个法向量为,则,,.令,得, ; 设平面的法向量为,则,,令,得, , 设平面与平面所成锐二面角为,则,所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 5在四棱锥中,四边形是矩形,平
5、面 平面,点、分别为、中点.(1)求证: 平面;(2)若,求平面DEF与平面所成锐二面角的余弦值.【答案】(1)见解析(2)试题解析:(I)证明:取中点,连接在中,有 分别为、中点 而平面, 平面 平面 (II)取中点,连接,设. 四边形是矩形 平面 平面,平面 平面= , 平面 平面 又 , , 为中点 , , .故可建立空间直角坐标系,如图所示,则, , , , , , 设是平面的一个法向量,则 ,即不妨设,则易知向量为平面的一个法向量 故平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 6如图,在四棱锥中,底面为直角梯形, ,平面底面, 为中点, 是棱上的点, .()若点是棱的中点,求证: 平面;()
6、求证:平面平面;()若二面角为,设,试确定的值.【答案】(I)详见解析;(II)详见解析;(III).()以为原点,以的方向分别为轴, 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,求得平面的一个法向量和平面中, ,利用向量的夹角公式,即可求得的值.试题解析:因为平面, 平面所以平面.()因为为中点,所以四边形为平行四边形,所以.因为,所以,即.又因为平面平面,且平面平面,所以平面,因为平面,所以平面平面.()因为为的中点,所以.又因为平面平面,且平面平面,所以平面以为原点,以的方向分别为轴, 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,则点, , , ,平面的一个法向量.设,则,因为所以在平面中, ,因为二面角为,所以,所以.
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