一元二次方程重难点题型培优.docx
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一元二次方程重难点题型培优
一元二次方程解法、判别式和韦达定理.整数根问题
题型一、一元二次方程的定义：
关于一元二次方程的定狡考查点有三个：
①二次项系数不为O；②最鬲次数为2;③整式方程
【例1】关于X的方程（a2+∖）x2+2ax-6=O是一元二次方程，则α的取值范围是（）
A.tz≠±lB.“hOC/为任何实数D.不存在
【解析】/+1恒大于0【答案】C
【巩固】已知关于兀的方程（u-2）x2-ax=x2是一元二次方程，求α的取值范围.
【解析】整理方程得：
ω-3）√-αr+l=0,当“h3时，原方程是一元二次方程.【答案］t∕≠3
【例2】若（m-3）xn~2-3nx+3=Q是关于X的一元二次方程，则加、"的取值范围是（）
A.In≠0Xn=3B・〃？
H3、n=4C.In≠0t/?
=4D•加H3、∕z≠0
【答案】B
【例3】若严_3严+1=0是关于X的一元二次方程,求sb的值.
【答案】分以下几种悄况考虑：
（l）2a+b=29
u-b=2,
4此吋"=—
b=~-
3
3
（2）2a+b=29
u-b=Λ9
此时a=l9
b=0;
（3）2d+b=l,
a-b=2,
此时€1=1,
b=-l
已知方程2严一严_ab=0是关于X的一元二次方程，求Jb的值.
题型二：
一元二次方程根的考察
关于一元二次方程根的考查就是需要将根代入方程得到一个等式，然后再考察恒等变换。
（将根代入方程，这是很多同学撷容易忽略的一个条件）
【例4】关于X的一元二次方程G∕-1）λ∙2+λ+√-1=0的一个根是0,则α的值为（）
A.lB.-lC」或一1D丄
2
【答案】B
【例5】若加是方程3x2-2x-2=0的一个根，那么代数式→h2-,h+1的值为
2
3
【解析】Tm是方程3λ∙'-2x-2=（H勺一个根，Λ3∕√-2,n-2=0即-,√-,∏=l,
•••代数式-,√-∕n+l=2（像这样的恒等变形，很多学生掌握都不是很熟练）
2
【答案】2
【巩固】若两个方程x2+ca+b=O和疋+加+“=0只有一个公共根，则（）
A."=bB.u+b=OC.a+b=∖D.d+Z?
=—1
【解析】先确定方程的公共根，再将这个公共根代入某一方程，即町得0.〃满足的关系式
【答案】设两方程的公共根为〃I,则nr+am+b=Qφym2+bm+a=O®9
①■②得，（a-b）m+b-a=0,:
∙（a—b）m=a—b,解得m=∖
将m=M弋入①得a+b+∖=O∙'∙“+b=—1选D
【例6】一元二次方程（<∕+l）x2-ιa+u2-∖=0的一个根为0,贝IM=。
【答案】1
题型三：
“降次”思想
【例7】已知"是方程x2+3x-∖=0的一个根，贝M弋数式a3-∖0a+2的值为
【解析】本题难度对于现在学生来讲，稍微有一点大，但是还是建议学生能够学习和掌握。
我们都知道解一元二次方程最根本的思想就是“降次"，因此我们在处理高次代数式求值的时候的基本方法就是“降次“，通过“降次”将代数式转化为我们所熟知的内容，因此本题的主要考查点有二个：
①根的考查；②恒等变形
【答案】Vn<方程X2+3X-I=0的一个根
+3“一1=0,即/=1—3"
.∖a^=a∙a2=“（1—3a）=a—3a2=“一3（1一3a）=“一3+9“=10“一3
.∖/-10"+2=（10"-3）—10“+2=-1
【巩固】已知加是方程疋-2006卄I=0的一个根，试求亦-2005加+上工7的值
Ur+1
【解析】本題方法很多，但基本思路一样
【答案】•••川是方程λ-2-2006.v+1=0的一个根
Λm2-2006/zz+1=0,则=2006/?
?
-1•••原式=（2006加一1）一2005W+
【例8】已知/_°=3,求@+1）0—1）一（“一3）的值.
=Cr-a+2
【答案】解：
（o+l）（d-1）—（。
一3）=α'—1—α+3
【巩固】已知/+加=3,求代数式2α（d-l）-（α-2）2的值.
【答案】解:
2d（d-l）-（α-2）2=2α'-2α-（Ir-4"+4）=2d'-2α-α'+4α-4-Cr+2<∕-4
【例9】已知q2-2g-2=0,
TCr+2α=3•：
原式=3-4=-1
求代数式（1-一）÷一的值.
a+1α~+2（i+1
【巩固】已知2x2+7x-1=0＞求代数式（x+l）（3x-2）-（x-3）2+1的值.
【答案】-9
题型四：
一元二次方程的解法
【例10】解关于X的方程：
（2x+3）2=（3—2）2
【答案】Λ]=1,X2=-1
【巩固】解方程：
√-6λ+9=（5-2a∙）2
【解析】把方程左边化成一个完全平方式，那么将出现两个完全平方式相等，则这两个式子相等或互为相
反数，据此即可转化为两个一元一次方程即可求解.
［答案J.V1=2,Λ∖=-
・3
【例11】用配方法解下列方程
（1）x2-6λ-4=0
（2）（y-l）（y+3）-5=0（3）χ2+lχ-l=0
63
⑷2）,-4y=-l（5）2x2-3x-5=4-6x
［答案］
（1）兀I=λ∕Γ5+3,x2=-713÷3;
（2）j^=-4,y2=2;
々、212+V∑2-√Σ/、
（3）χ1=--,x2=-;（4）y1=—^―>儿=—^―；⑸旺=_3,
【例12】用配方法把代数式√-4x+5变形，所得结果是（）
【答案】A
【巩固】将方程X2-2X=1进行配方，可得（）
【答案】C
【巩固】若把代数式F-2x-3化为（x-∏02的形式，其中加、R为常数，则m+k=
【答案】-3
【例13】用公式法解下列方程
【例14】解关于X的方程：
（4λ-1）2-3（1-4x）-4=0
【解析】换元法
【答案】设4v-l=",则原方程町变形为√+3<∕-4=0
整理得（"+4）（"-I）=O•••“+4=0或"一1=0•••"=-4或"=1当α=-4时，4x—1=—4,∙'∙jv=-二
4
•131
⅜t/=1Q寸,4AB—1—1,∙∙Λ"=—∙∙Λ"j=——,X、=—
24■2
【例15】解分式方程：
∑21tl2+⅛±!
!
=7
x+1X2+1
【答案】设U则原方程町变形为2^/+-=7
x+∖U
整理得：
2∕-7"+6=0,解得“丄或“=2
2
经检验得＜/=-或“=2均为方程2α+-=7的解
2U
当u=-时，则≤il=-,整理得：
2λ∙2-3λ-1=0
2x÷l2
解W呼,/呼
经检验，X,=-3~^17,X2=-^均为原方程的解
V-+1
当t∕=2∏t,则——=2,整理得：
x2-2x-l=0
x+1
解得：
x3=l÷^,x4=1-√2经检验，x5=1÷√2,x4=1-√^均为原方程的解
原方程的解为Xi=P；丄,X2=二］匕,x3=∖+∖∣2,xλ=∖-42
【例16】解无理方程（换元法）
2x*+3x-5y∣2x2+3x+9+3=0
【答案】令竝+3x+9m,则2x2+3x+9=a2,Λ2x2+3x=a2-9
则原方程变形为/一9一5"+3=0,整理得/-5g-6=0
解得终=一1,Ci2=6
I√2λ-2+3a+9=a≥0：
.a=6
则J2λ∙2+3λ∙+9=6,整理得2λ^+3x-27=0,解得召=3,&=
经检验x1=3,
99
x2=--均为原方程的解•••原方程的解为x1=3,χ2=--
【例17】已知关于a∙的方程（π-1）λ2÷2x-λ-1=O的根都是整数，那么符合条件的整数"有几个?
【解析】对二次项系数进行分类讨论
【答案】当G-I=O时，a=∖,解得Λ∙=l,符合題意要求。
当"一1Ho时，则≠1,整理得[（“一I）X+“+1]∙（X—1）=0
解得a;=-—,X2=I,因为原方程的两个根均为整数
——-1也为整敎，因此f∕-l=±l或“一1=±2
综上所述，整数α的值有5个，分别为一1,0,1,2,3
题型五：
根的判别式
/•）A~—4〃,、
"定义：
运用配方法解一元二次方程过程中得到α∙+丄）2=—,显然只有当h2-4ac≥0吋，才能直接开平方得：
χ÷⅛=±⅛
也就是说，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）只有当系数a、b、C满足条件厶=b-4ac≥0时才有实数根.这里/72-4<∕c叫做一元二次方程根的判别式.
b判别式与根的关系
在实数范围内•一元二次方程a√+加+e=0（"H0）的根由其系数a、b、（•确定，它的根的情况（是否有实数根）由厶=//一4心确定.
设一元二次方程为ax2+bx+c=Q（a≠O）9其根的判别式为:
A=Z∕-4心則
①A>0θ方程心2+bx+c=0（a≠0）有两个不相等的实数根.V12=~hi~4<-・
③AvOO方程ax2+hx+c=0（u≠0）没有实数根.
【例18】不解方程，判别一元二次方程2F-6x=l的根的情况是（
【答案】A
【巩固】若方程（∕w+2）x2-2（m+∖）x+m=O只有一个实数根，那么方程（m+l）x2-2mx+/n-2=O（）.
A.没有实数根B.有2个不同的实数根
C.有2个相等的实数根D.实数根的个数不能确定
【答案】C
【解析】•••方程（m+2）√-2（m+l）x+m=O只有一个实数根，.∖m+2=0,得加=一2.
方程（"i+l）x'-2nιx+/?
/-2=O,即为方程一疋+4λ-4=0,ΛΔ=42一4x（-I）X（-4）=0・
•••方程（m+l）x2一2zru∙+加一2=0有2个相等的实数根・故选C.
特别注意方程伽+I）XI-2（m+l）x+m=0只有一个实数根•若m+2≠0,則方程要么有2个根（相
等或不相等），要么没有实数根.条件指明，该方程只有1个实数根，所以∕h+2=0,且w+l≠0
【例19】如果关于X的一元二次方程kx2-6x+9=0有两个不相等的实数根，那么代的取值范围是（）
A・k∖
【答案】C
3=36-36k>0
【解析】由题可得］“0,所以⅛<11Λ≠O
【巩固】若关于X的二次方程（m-∖）x2+2mx+m-2
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