一元二次方程重难点题型培优.docx

1、一元二次方程重难点题型培优一元二次方程解法、判别式和韦达定理.整数根问题题型一、一元二次方程的定义：关于一元二次方程的定狡考查点有三个：二次项系数不为O ；最鬲次数为2;整式方程【例1】关于X的方程(a2+)x2+2ax-6 = O是一元二次方程，则的取值范围是( )A.tzl B.“hO C/为任何实数 D.不存在【解析】/+1恒大于0【答案】C【巩固】已知关于兀的方程(u-2)x2-ax = x2 是一元二次方程，求的取值范围.【解析】整理方程得：-3)-r + l=0,当“h3时，原方程是一元二次方程.【答案t3【例2】若(m-3)xn2-3nx+3 = Q是关于X的一元二次方程，则加、

2、的取值范围是( )A.In0 X n = 3 B？H3、n = 4 C.In0 t /? = 4 D加H3、z0【答案】B【例3】若严_3严+ 1 = 0是关于X的一元二次方程,求s b的值.【答案】分以下几种悄况考虑：(l)2a + b = 29u-b=2,4 此吋=,b = -33(2)2a + b = 29u-b= 9此时a = l9b = 0;(3)2d + b = l,a-b=2,此时1 = 1,b = -l已知方程2严一严_ab = 0是关于X的一元二次方程，求J b的值.题型二：一元二次方程根的考察关于一元二次方程根的考查就是需要将根代入方程得到一个等式，然后再考察恒等变换。(将

3、根代入方程，这是很多同学撷容易忽略的一个条件)【例4】关于X的一元二次方程G-1)2+-1 = 0的一个根是0,则的值为( )A.l B.-l C或一 1 D 丄2【答案】B【例5】若加是方程3x2-2x-2 = 0的一个根，那么代数式h2-,h + 1的值为 23【解析】Tm 是方程3-2x-2 = (H勺一个根， 3-2,n-2 = 0 即-,-, = l ,代数式-,-n + l = 2 (像这样的恒等变形，很多学生掌握都不是很熟练)2【答案】2【巩固】若两个方程x2+ca+b = O和疋+加+ “ = 0只有一个公共根，则( )A. = b B.u + b = O C.a + b =

4、D.d + Z? = 1【解析】先确定方程的公共根，再将这个公共根代入某一方程，即町得0. 满足的关系式【答案】设两方程的公共根为I ,则nr +am + b = Qy m2 +bm + a = O9得，(a-b)m + b-a = 0 , : (a b)m = a b ,解得m = 将 m = M弋入得 a + b+=O “ + b = 1 选 D【例6】一元二次方程( + l) x2-a + u2- = 0的一个根为0,贝IM = 。【答案】1题型三：“降次”思想【例7】已知是方程x2+3x- = 0的一个根，贝M弋数式a3-0a + 2的值为 【解析】本题难度对于现在学生来讲，稍微有一点

5、大，但是还是建议学生能够学习和掌握。我们都知道解 一元二次方程最根本的思想就是“降次，因此我们在处理高次代数式求值的时候的基本方法就是 “降次“，通过“降次”将代数式转化为我们所熟知的内容，因此本题的主要考查点有二个：根的 考查；恒等变形【答案】Vn 方程X2+3X-I = 0的一个根+ 3“ 一 1 = 0 ,即 / = 1 3. a = a a2 = “(1 3a) = a 3a2 = “ 一 3(1 一 3a) = “ 一 3 + 9“ = 10“ 一 3. / -10 + 2 = (10-3) 10“+ 2 = -1【巩固】已知加是方程疋-2006卄I= 0的一个根，试求亦-2005加

6、+上工7的值Ur +1【解析】本題方法很多，但基本思路一样【答案】川是方程-2-2006.v+1 = 0的一个根 m2 -2006/zz + 1=0 ,则=2006/?-1 原式=(2006加一 1) 一 2005W +【例8】已知/_ = 3,求 + 1)0 1)一(“一3)的值.=Cr - a+ 2【答案】解：(o + l)(d-1) (。一3) =1 + 3【巩固】已知/+加=3,求代数式2(d-l)-(-2)2的值.【答案】解:2d(d-l)-(-2)2 = 2-2-(Ir-4 + 4) = 2d-2-+4-4 -Cr +2 儿=；旺=_3,【例12】用配方法把代数式-4x + 5变形

7、，所得结果是（ ）【答案】A【巩固】将方程X2-2X = 1进行配方，可得（ ）【答案】C【巩固】若把代数式F-2x-3化为（x-02的形式，其中加、R为常数，则m + k =【答案】-3【例13】用公式法解下列方程【例14】解关于X的方程：（4-1）2 -3（1 -4x）-4 = 0【解析】换元法【答案】设4v-l = ,则原方程町变形为+3-4 = 0整理得( + 4)(-I) = O “ + 4 = 0 或一1=0 = -4 或=1 当 = -4 时，4x 1=4, jv = -二4 1 3 1 t/ = 1 Q寸, 4AB 1 1 , = j = , X、=24 2【例15】解分式方程

8、：21tl2+!=7x+1 X2+1【答案】设U 则原方程町变形为2/ + - = 7x + U整理得：2-7 + 6 = 0,解得“丄或“ =22经检验得/ = -或“ =2均为方程2 + - = 7的解2 U当 u =-时，则 il = -,整理得：22-3 -1 = 02 xl 2解W呼,/呼经检验，X, =-317 , X2=- 均为原方程的解V- + 1当 t = 2t,则 =2 ,整理得：x2-2x-l = 0x + 1解得：x3=l , x4 = 1-2 经检验，x5 = 12, x4=1-均为原方程的解原方程的解为 Xi = P；丄,X2 =二匕,x3 = + 2 , x=-4

9、2【例16】解无理方程（换元法）2x* + 3x - 5y2x2 + 3x + 9 +3 = 0【答案】令竝+3x + 9m ,则 2x2+3x + 9 = a2 , 2x2+3x = a2-9则原方程变形为/一9一5 + 3 = 0,整理得/-5g-6 = 0解得终=一1 , Ci2 =6I2-2+3a+9 =a0 ：. a = 6则 J22+3 + 9=6 ,整理得2+3x-27 = 0,解得召=3, & =经检验x1 =3 ,9 9x2=-均为原方程的解原方程的解为x1=3 , 2 =-【例17】已知关于a的方程(-1)22x-1 = O的根都是整数，那么符合条件的整数有几个?【解析】对

10、二次项系数进行分类讨论【答案】当G-I=O时，a = ,解得 = l,符合題意要求。当一1 Ho 时，则 1,整理得(“ 一I)X + “ +1 (X 1) = 0解得a;=-, X2=I ,因为原方程的两个根均为整数 -1也为整敎，因此f-l=l或“一1=2综上所述，整数的值有5个，分别为一1, 0,1,2,3题型五：根的判别式/) A 4,、定义：运用配方法解一元二次方程过程中得到 +丄)2= ,显然只有当h2-4ac 0吋，才能直 接开平方得：=也就是说，一元二次方程ax2+bx + c = 0(a0)只有当系数a、b、C满足条件厶= b-4ac 0时才有 实数根.这里/72-40方程心

11、2 +bx + c = 0(a0)有两个不相等的实数根.V12 = h i 4-AvOO方程ax2+hx + c = 0(u0)没有实数根.【例18】不解方程，判别一元二次方程2F-6x=l的根的情况是(【答案】A【巩固】若方程(w + 2)x2 -2(m + )x + m = O只有一个实数根，那么方程(m + l)x2-2mx + /n-2 = O ().A.没有实数根 B.有2个不同的实数根C.有2个相等的实数根 D.实数根的个数不能确定【答案】C【解析】方程(m + 2)-2(m + l)x + m = O只有一个实数根，.m + 2=0,得加=一2.方程(i + l)x -2nx +

12、 /?/- 2 = O ,即为方程一疋 +4 -4 = 0 , = 42 一4x(-I)X (-4) = 0 方程(m + l)x2 一2zru +加一 2 = 0有2个相等的实数根故选C.特别注意方程伽+ I)XI-2(m + l)x + m = 0只有一个实数根若m+20,則方程要么有2个根(相等或不相等)，要么没有实数根.条件指明，该方程只有1个实数根，所以h + 2 = 0,且w + l0【例19】如果关于X的一元二次方程kx2-6x + 9 = 0有两个不相等的实数根，那么代的取值范围是( )A kl B. Jt C jI【答案】C3= 36 - 36k 0【解析】由题可得“0 ,所以11O【巩固】若关于X的二次方程(m-)x2+2mx + m-2