北师七年级上册绝对值有关分类讨论.docx
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北师七年级上册绝对值有关分类讨论
一.选择题(共6小题)
1.若m是有理数,则|m|﹣m一定是()
A.零B.非负数C.正数D.负数
2.已知a,b,c为非零的实数,则的可能值的个数为()
A.4B.5C.6D.7
3.下列结论成立的是()
A.若|a|=a,则a>0B.若|a|=|b|,则a=±b
C.若|a|>a,则a≤0D.若|a|>|b|,则a>b.
4.当|a|=5,|b|=7,且|a+b|=a+b,则a﹣b的值为()
A.﹣12B.﹣2或﹣12C.2D.﹣2
5.数轴上点A和点B表示的数分别是﹣1和3,点P到A、B两点的距离之和为6,则点P
表示的数是()
A.﹣3
B.﹣3或5
C.﹣2
D.﹣2或4
6.已知a、b互为相反数,c、d互为倒数,x的绝对值等于
4
2
的值为(
)
2,则x+cdx﹣
A.15
B.20
C.﹣20
D.20或﹣20
二.填空题(共
8小题)
7.已知a,b,c都是有理数,且满足=1,那么6﹣=.
8.如图,数轴上的有理数a,b满足|3a﹣b|﹣|a+2b|=|a|,则=.
9.已知|a|=m+1,|b|=m+4,其中m>0,若|a﹣b|=|a|+|b|,则a+b的值为.
10.已知abc≠0,且+++的最大值为m,最小值为n,则m+n=.
11.如果x、y都是不为0的有理数,则代数式的最大值是.
12.点M表示的有理数是﹣1,点M在数轴上移动5个单位长度后得到点N,则点N表示
的有理数是.
13.已知点A在数轴上原点左侧,距离原点3个单位长度,点B到点A的距离为2个单位
长度,则点B对应的数为.
第1页(共14页)
14.若x、y互为相反数,a、b互为倒数,c的绝对值等于
2,则(
2018
2018
2
)
﹣(﹣ab)
+c
=
.
三.解答题(共5小题)
15.阅读下列材料完成相关问题:
已知
a,b、c是有理数
(1)当ab>0,a+b<0时,求
的值;
(2)当abc≠0时,求
的值;
(3)当a+b+c=0,abc<0,
的值.
16.分类讨论是一种重要的数学方法,如在化简|a|时,可以这样分类:
当a>0时,|a|=a;
当a=0时,|a|=0;当a<0时,|a|=﹣a.用这种方法解决下列问题:
(1)当a=5时,求的值.
(2)当a=﹣2时,求的值.
(3)若有理数a不等于零,求的值.
(4)若有理数a、b均不等于零,试求的值.
17.已知三个非零的有理数a、b、c,记++的最大值为x,最小值为y,求x
÷(﹣4y)的值.
第2页(共14页)
18.
(1)【问题发现】
数学小组遇到这样一个问题:
若
a,b均不为零,求
x=
的值.
小明说:
“考虑到要去掉绝对值符号,必须对字母
a,b的正负作出讨论,又注意到
a,b
在问题中的平等性,可从一般角度考虑两个字母的取值情况.
”
解:
①当两个字母a,b中有2个正,0个负时,x=
+=1+1=2;
②当两个字母a,b中有1个正,1
个负时,无论谁正谁负,
x都等于
0;
③当两个字母a,b中有0个正,2
个负时,x=
+
=﹣1﹣1=﹣2;
综上,当a,b均不为零,求
x的值为﹣2,0,2.
(2)【拓展探究】
若a,b,c均不为零,求
x=
+
﹣
的值.
(3)【问题解决】
若a,b,c均不为零,且
a+b+c=0,直接写出代数式
+
+
的值.
19.有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示
(1)比较a、b、|c|的大小(用“>”连接);
(2)若n=|b+c|﹣|c﹣1|﹣|b﹣a|,求1﹣2017?
(n+a)2018的值;
(3)若a=,b=﹣2,c=﹣3,且a、b、c对应的点分别为A、B、C,问在数轴上是
否存在一点M,使M与B的距离是M与A的距离的3倍,若存在,请求出M点对应的
有理数;若不存在,请说明理由.
第3页(共14页)
参考答案与试题解析
一.选择题(共6小题)
1.若m是有理数,则|m|﹣m一定是()
A.零B.非负数C.正数D.负数
【解答】解:
若m≥0,则|m|﹣m=0,
若m<0,则|m|﹣m=﹣m﹣m=﹣2m>0,
即|m|﹣m≥0,
故选:
B.
2.已知a,b,c为非零的实数,则的可能值的个数为()
A.4B.5C.6D.7
【解答】解:
①a、b、c三个数都是正数时,a>0,ab>0,ac>0,bc>0,
原式=1+1+1+1
=4;
②a、b、c中有两个正数时,设为a>0,b>0,c<0,
则ab>0,ac<0,bc<0,
原式=1+1﹣1﹣1
=0;
设为a>0,b<0,c>0,
则ab<0,ac>0,bc<0,
原式=1﹣1+1﹣1
=0;
设为a<0,b>0,c>0,
则ab<0,ac<0,bc>0,
原式=﹣1﹣1﹣1+1
=﹣2;
③a、b、c有一个正数时,设为a>0,b<0,c<0,
第4页(共14页)
则ab<0,ac<0,bc>0,
原式=1﹣1﹣1+1
=0;
设为a<0,b>0,c<0,
则ab<0,ac>0,bc<0,
原式=﹣1﹣1+1﹣1
=﹣2;
设为a<0,b<0,c>0,
则ab>0,ac<0,bc<0,
原式=﹣1+1﹣1﹣1
=﹣2;
④a、b、c三个数都是负数时,即a<0,b<0,c<0,
则ab>0,ac>0,bc>0,原式=﹣1+1+1+1
=2.
综上所述,的可能值的个数为4.
故选:
A.
3.下列结论成立的是()
A.若|a|=a,则a>0B.若|a|=|b|,则a=±b
C.若|a|>a,则a≤0D.若|a|>|b|,则a>b.
【解答】解:
A.若|a|=a,则a为正数或0,故结论不成立;
B.若|a|=|b|,则a与b互为相反数或相等,故结论成立;
C.若|a|>a,则a为正数,故结论不成立;
D.若|a|>|b|,若a,b均为负数,则a<b,故结论不成立;
故选:
B.
4.当|a|=5,|b|=7,且|a+b|=a+b,则a﹣b的值为()
A.﹣12B.﹣2或﹣12C.2D.﹣2
【解答】解:
∵|a|=5,|b|=7,
∴a=±5,b=±7
第5页(共14页)
∵a+b>0,
∴a=±5.b=7,
当a=5,b=7时,a﹣b=﹣2;
当a=﹣5,b=7时,a﹣b=﹣12;故a﹣b的值为2或﹣12.
故选:
B.
5.数轴上点A和点B表示的数分别是﹣1和3,点P到A、B两点的距离之和为6,则点P
表示的数是()
A.﹣3B.﹣3或5C.﹣2D.﹣2或4
【解答】解:
∵AB=|3﹣(﹣1)|=4,点P到A、B两点的距离之和为设点P表示的数为x,
∴点P在点A的左边时,﹣1﹣x+3﹣x=6,解得:
x=﹣2,
点P在点B的右边时,x﹣3+x﹣(﹣1)=6,解得:
x=4,
综上所述,点
P表示的数是﹣2或4.
故选:
D.
6.已知a、b互为相反数,c、d互为倒数,x的绝对值等于
4
2
2,则x+cdx﹣
6,
的值为()
A.15B.20C.﹣20D.20或﹣20
【解答】解:
根据题意知a+b=0,cd=1,x=±2,
则原式=(±2)4+1×(±2)2﹣
=16+4
=20,
故选:
B.
二.填空题(共
8小题)
7.已知a,b,c都是有理数,且满足
=1,那么6﹣
=7.
【解答】解:
根据绝对值的意义,知:
一个非零数的绝对值除以这个数,等于
1或﹣1.
第6页(共14页)
又=1,则其中必有两个1和一个﹣1,即a,b,c中两正一负.
则=﹣1,
则6﹣=6﹣(﹣1)=7.
故答案为:
7.
8.如图,数轴上的有理数a,b满足|3a﹣b|﹣|a+2b|=|a|,则=﹣.
【解答】解:
∵由题意可知:
3a﹣b<0,a+2b>0,a<0,
∴b﹣3a﹣(a+2b)=﹣a.
整理得:
﹣b=3a.
∴.
故答案为:
﹣.
9.已知|a|=m+1,|b|=m+4,其中m>0,若|a﹣b|=|a|+|b|,则a+b的值为±3.
【解答】解:
∵|a|=m+1,|b|=m+4,
∴a=±(m+1),b=±(m+4)
当a=m+1,b=m+4时
|a﹣b|=|m+1﹣m﹣4|=3
|a|+|b|=m+1+m+4=2m+5
∵m>0
∴2m+5>0
∴|a﹣b|≠|a|+|b|
当a=m+1,b=﹣m﹣4时
|a﹣b|=|m+1+m+4|=2m+5
|a|+|b|=m+1+m+4=2m+5
∴|a﹣b|=|a|+|b|
当a=﹣m﹣1,b=m+4时
|a﹣b|=|﹣m﹣1﹣m﹣4|=|﹣2m﹣5|=2m+5
∴|a﹣b|=|a|+|b|
当a=﹣m﹣1,b=﹣m﹣4时
第7页(共14页)
|a﹣b|=|﹣m﹣1+m+4|=3
∴|a﹣b|≠|a|+|b|
∴a=m+1,b=﹣m﹣4或a=﹣m﹣1,b=m+4
∴a+b=m+1﹣m﹣4=﹣3
或a+b=﹣m﹣1+m+4=3
故答案为:
±3.
10.已知abc≠0,且+++的最大值为m,最小值为n,则m+n=0.
【解答】解:
∵a,b,c都不等于0,
∴有以下情况:
①a,b,c都大于0,原式=1+1+1+1=4;
②a,b,c都小于0,原式=﹣1﹣1﹣1﹣1=﹣4;
③a,b,c,一负两正,不妨设a<0,b>0,c>0,原式=﹣1+1+1﹣1=0;
④a,b,c,一正两负,不妨设a>0,b<0,c<0,原式=1﹣1﹣1+1=0;
∴m=4,n=﹣4,
∴m+n=4﹣4=0.
故答案为:
0.
11.如果x、y都是不为0的有理数,则代数式的最大值是1.
【解答】解:
①当x,y中有二正,
=1+1﹣1=1;
②当x,y中有一负一正,
=1﹣1+1=1;
③当x,y中有二负,
=﹣1﹣1﹣1=﹣3.
故代数式的最大值是1.
故答案为:
1.
12.点M表示的有理数是﹣1,点M在数轴上移动5个单位长度后得到点N,则点N表示
第8页(共14页)
的有理数是
﹣6或4
.
【解答】解:
﹣1﹣5=﹣6,
或﹣1+5=4.
故点N表示的有理数是﹣
6或4.
故答案为:
﹣
6或4.
13.已知点A在数轴上原点左侧,距离原点
3个单位长度,点
B到点A的距离为
2个单位
长度,则点B对应的数为
﹣1或﹣5
.
【解答】解:
∵在数轴上,点A所表示的数为﹣3,
∴到点A的距离等于2个单位长度的点所表示的数是:
﹣
3+2=﹣1或﹣3﹣2=﹣5.
故答案为:
﹣
1或﹣5.
14.若x、y互为相反数,a、b互为倒数,c的绝对值等于2,则(
2018
2018
2
)
﹣(﹣ab)
+c
=3.
【解答】解:
由题意知x+y=0,ab=1,c=2或c=﹣2,
则c2=4,
20182018
所以原式=0﹣(﹣1)+4
=0﹣1+4
=3,
故答案为:
3.
三.解答题(共5小题)
15.阅读下列材料完成相关问题:
已知a,b、c是有理数
(1)当ab>0,a+b<0时,求的值;
(2)当abc≠0时,求的值;
(3)当a+b+c=0,abc<0,的值.
【解答】解:
(1)∵ab>0,a+b<0,
∴a<0,b<0
∴
=﹣1﹣1=﹣2;
(2)当a、b、c同正时,
=1+1+1=3;
第9页(共14页)
当a、b、c两正一负时,
=1+1﹣1=
1;
当a、b、c一正两负时,
=﹣1﹣1+1
=﹣1;
当a、b、c同负时,
=﹣1﹣1﹣1=﹣3;
(3)∵a+b+c=0,
∴b+c=﹣a,a+c=﹣b,a+b=﹣c
∴
=
+
﹣
=﹣
﹣
+
又∵abc<0,
∴当c<0,a>0,b>0时,原式=﹣
﹣+
=﹣1﹣1﹣1=﹣3;
当c>0,a或b为负时,原式=﹣
﹣
+
=1﹣1+1=1.
16.分类讨论是一种重要的数学方法,如在化简
|a|时,可以这样分类:
当
a>0时,|a|=a;
当a=0时,|a|=0;当a<0时,|a|=﹣a.用这种方法解决下列问题:
(1)当a=5时,求
的值.
(2)当a=﹣2时,求
的值.
(3)若有理数a不等于零,求
的值.
(4)若有理数a、b均不等于零,试求
的值.
【解答】解:
(1)当a=5时,
=1;
(2)当a=﹣2时,=﹣1;
(3)若有理数a不等于零,当a>0时,=1,当a<0时,=﹣1;
第10页(共14页)
(4)若有理数a、b均不等于零,当a,b是同正数,=2,
当a,b是同负数,=﹣2,
当a,b是异号,=0.
17.已知三个非零的有理数a、b、c,记++的最大值为x,最小值为y,求x
÷(﹣4y)的值.
【解答】解:
∵a、b、c是三个非零有理数,
∴=1=1或﹣1,═1或﹣1,=1或﹣1,
当a、b、c都是正数,原式=1+1+1=3;
当a、b、c只有两个正数,原式=1+1﹣1=1;
当a、b、c只有一个正数,原式=1﹣1﹣1=﹣1;
当a、b、c都是负数,原式=﹣1﹣1﹣1=﹣3.
∴x=3,y=﹣3,
∴x÷(﹣4y)=3÷12=.
18.
(1)【问题发现】
数学小组遇到这样一个问题:
若
a,b均不为零,求
x=
的值.
小明说:
“考虑到要去掉绝对值符号,必须对字母
a,b的正负作出讨论,又注意到
a,b
在问题中的平等性,可从一般角度考虑两个字母的取值情况.
”
解:
①当两个字母a,b中有2个正,0个负时,x=
+=1+1=2;
②当两个字母a,b中有1个正,1
个负时,无论谁正谁负,
x都等于
0;
③当两个字母a,b中有0个正,2
个负时,x=
+
=﹣1﹣1=﹣2;
综上,当a,b均不为零,求
x的值为﹣2,0,2.
(2)【拓展探究】
若a,b,c均不为零,求
x=
+
﹣
的值.
(3)【问题解决】
若a,b,c均不为零,且
a+b+c=0,直接写出代数式
+
+
的值.
第11页(共14页)
【解答】解:
(2)①当a,b,c都为正数时:
x=+﹣
=1+1﹣1=1.
②当a,b为正,c为负时:
x=
+
﹣
=1+1+1=3.
当a,c为正,b为负时:
x=
+
﹣
=1﹣1﹣1=﹣1.
当b,c为正,a为负时:
x=
+
﹣=﹣1+1﹣1=﹣1.
③当a,b为负,c为正时:
x=
+
﹣
=﹣1﹣1﹣1=﹣3.
当a,c为负,b为正时:
x=
+
﹣
=﹣1+1+1=1.
当b,c为负,a为正时:
x=
+
﹣
=1﹣1+1=1.
④当a,b,c都为负数时:
x=
+
﹣=﹣1﹣1+1=﹣1.
综上所述x=+﹣
的值为
1或3或﹣3或﹣1.
(3)∵a,b,c均不为零,且a+b+c=0,∴a,b,c为两正一负或两负一正.
∴①当a,b,c为两正一负时:
++=﹣﹣﹣=﹣1﹣1+1=
﹣1.
②当a,b,c为两负一正时:
++=﹣﹣﹣=1+1﹣1=1.
19.有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示
(1)比较a、b、|c|的大小(用“>”连接);
(2)若n=|b+c|﹣|c﹣1|﹣|b﹣a|,求1﹣2017?
(n+a)2018的值;
(3)若a=,b=﹣2,c=﹣3,且a、b、c对应的点分别为A、B、C,问在数轴上是
否存在一点M,使M与B的距离是M与A的距离的3倍,若存在,请求出M点对应的
有理数;若不存在,请说明理由.
【解答】解:
(1)如图所示:
由数轴可知|c|>a>b;
(2)由数轴可知:
b+c<0,c﹣1<0,b﹣a<0,
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则n=|b+c|﹣|c﹣1|﹣|b﹣a|
=﹣b﹣c+c﹣1+b﹣a
=﹣1﹣a,
即a+n=﹣1,
∴1﹣2017?
(n+a)2018
=1﹣2017×(﹣1)2018
=1﹣2017
=﹣2016;
(3)①当点M在AB的右侧时,设点M对应的数为x,
∵点A对应的数是,点B对应的数是点﹣2,
∴BM=x+2,AM=x﹣,
∵BM=3AM,
∴x+2=3(x﹣),
x+2=3x﹣,
x=;
②当点M在AB的上时,
此时,BM=x+2,AM=﹣x,
∵BM=3AM
∴x+2=3(﹣x)
x+2=﹣3x,
x=;
③当点M在AB的左侧时,
此时,BM=﹣2﹣x,AM=﹣x,
∵BM=3AM
第13页(共14页)
∴﹣2﹣x=3(﹣x)
﹣2﹣x=﹣3x,
x=与M对应的数是负数相矛盾,
所以AB的左侧不存在这样的点M
因此点M对应的有理数是或.
第14页(共14页)