北师七年级上册绝对值有关分类讨论.docx
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北师七年级上册绝对值有关分类讨论
一．选择题（共6小题）
1．若m是有理数，则|m|﹣m一定是（）
A．零B．非负数C．正数D．负数
2．已知a，b，c为非零的实数，则的可能值的个数为（）
A．4B．5C．6D．7
3．下列结论成立的是（）
A．若|a|＝a，则a＞0B．若|a|＝|b|，则a＝±b
C．若|a|＞a，则a≤0D．若|a|＞|b|，则a＞b．
4．当|a|＝5，|b|＝7，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值为（）
A．﹣12B．﹣2或﹣12C．2D．﹣2
5．数轴上点A和点B表示的数分别是﹣1和3，点P到A、B两点的距离之和为6，则点P
表示的数是（）
A．﹣3
B．﹣3或5
C．﹣2
D．﹣2或4
6．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值等于
4
2
的值为（
）
2，则x+cdx﹣
A．15
B．20
C．﹣20
D．20或﹣20
二．填空题（共
8小题）
7．已知a，b，c都是有理数，且满足＝1，那么6﹣＝．
8．如图，数轴上的有理数a，b满足|3a﹣b|﹣|a+2b|＝|a|，则＝．
9．已知|a|＝m+1，|b|＝m+4，其中m＞0，若|a﹣b|＝|a|+|b|，则a+b的值为．
10．已知abc≠0，且+++的最大值为m，最小值为n，则m+n＝．
11．如果x、y都是不为0的有理数，则代数式的最大值是．
12．点M表示的有理数是﹣1，点M在数轴上移动5个单位长度后得到点N，则点N表示
的有理数是．
13．已知点A在数轴上原点左侧，距离原点3个单位长度，点B到点A的距离为2个单位
长度，则点B对应的数为．
第1页（共14页）
14．若x、y互为相反数，a、b互为倒数，c的绝对值等于
2，则（
2018
2018
2
）
﹣（﹣ab）
+c
＝
．
三．解答题（共5小题）
15．阅读下列材料完成相关问题：
已知
a，b、c是有理数
（1）当ab＞0，a+b＜0时，求
的值；
（2）当abc≠0时，求
的值；
（3）当a+b+c＝0，abc＜0，
的值．
16．分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简|a|时，可以这样分类：
当a＞0时，|a|＝a；
当a＝0时，|a|＝0；当a＜0时，|a|＝﹣a．用这种方法解决下列问题：
（1）当a＝5时，求的值．
（2）当a＝﹣2时，求的值．
（3）若有理数a不等于零，求的值．
（4）若有理数a、b均不等于零，试求的值．
17．已知三个非零的有理数a、b、c，记++的最大值为x，最小值为y，求x
÷（﹣4y）的值．
第2页（共14页）
18．
（1）【问题发现】
数学小组遇到这样一个问题：
若
a，b均不为零，求
x＝
的值．
小明说：
“考虑到要去掉绝对值符号，必须对字母
a，b的正负作出讨论，又注意到
a，b
在问题中的平等性，可从一般角度考虑两个字母的取值情况．
”
解：
①当两个字母a，b中有2个正，0个负时，x＝
+＝1+1＝2；
②当两个字母a，b中有1个正，1
个负时，无论谁正谁负，
x都等于
0；
③当两个字母a，b中有0个正，2
个负时，x＝
+
＝﹣1﹣1＝﹣2；
综上，当a，b均不为零，求
x的值为﹣2，0，2．
（2）【拓展探究】
若a，b，c均不为零，求
x＝
+
﹣
的值．
（3）【问题解决】
若a，b，c均不为零，且
a+b+c＝0，直接写出代数式
+
+
的值．
19．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示
（1）比较a、b、|c|的大小（用“＞”连接）；
（2）若n＝|b+c|﹣|c﹣1|﹣|b﹣a|，求1﹣2017?
（n+a）2018的值；
（3）若a＝，b＝﹣2，c＝﹣3，且a、b、c对应的点分别为A、B、C，问在数轴上是
否存在一点M，使M与B的距离是M与A的距离的3倍，若存在，请求出M点对应的
有理数；若不存在，请说明理由．
第3页（共14页）
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．若m是有理数，则|m|﹣m一定是（）
A．零B．非负数C．正数D．负数
【解答】解：
若m≥0，则|m|﹣m＝0，
若m＜0，则|m|﹣m＝﹣m﹣m＝﹣2m＞0，
即|m|﹣m≥0，
故选：
B．
2．已知a，b，c为非零的实数，则的可能值的个数为（）
A．4B．5C．6D．7
【解答】解：
①a、b、c三个数都是正数时，a＞0，ab＞0，ac＞0，bc＞0，
原式＝1+1+1+1
＝4；
②a、b、c中有两个正数时，设为a＞0，b＞0，c＜0，
则ab＞0，ac＜0，bc＜0，
原式＝1+1﹣1﹣1
＝0；
设为a＞0，b＜0，c＞0，
则ab＜0，ac＞0，bc＜0，
原式＝1﹣1+1﹣1
＝0；
设为a＜0，b＞0，c＞0，
则ab＜0，ac＜0，bc＞0，
原式＝﹣1﹣1﹣1+1
＝﹣2；
③a、b、c有一个正数时，设为a＞0，b＜0，c＜0，
第4页（共14页）
则ab＜0，ac＜0，bc＞0，
原式＝1﹣1﹣1+1
＝0；
设为a＜0，b＞0，c＜0，
则ab＜0，ac＞0，bc＜0，
原式＝﹣1﹣1+1﹣1
＝﹣2；
设为a＜0，b＜0，c＞0，
则ab＞0，ac＜0，bc＜0，
原式＝﹣1+1﹣1﹣1
＝﹣2；
④a、b、c三个数都是负数时，即a＜0，b＜0，c＜0，
则ab＞0，ac＞0，bc＞0，原式＝﹣1+1+1+1
＝2．
综上所述，的可能值的个数为4．
故选：
A．
3．下列结论成立的是（）
A．若|a|＝a，则a＞0B．若|a|＝|b|，则a＝±b
C．若|a|＞a，则a≤0D．若|a|＞|b|，则a＞b．
【解答】解：
A．若|a|＝a，则a为正数或0，故结论不成立；
B．若|a|＝|b|，则a与b互为相反数或相等，故结论成立；
C．若|a|＞a，则a为正数，故结论不成立；
D．若|a|＞|b|，若a，b均为负数，则a＜b，故结论不成立；
故选：
B．
4．当|a|＝5，|b|＝7，且|a+b|＝a+b，则a﹣b的值为（）
A．﹣12B．﹣2或﹣12C．2D．﹣2
【解答】解：
∵|a|＝5，|b|＝7，
∴a＝±5，b＝±7
第5页（共14页）
∵a+b＞0，
∴a＝±5．b＝7，
当a＝5，b＝7时，a﹣b＝﹣2；
当a＝﹣5，b＝7时，a﹣b＝﹣12；故a﹣b的值为2或﹣12．
故选：
B．
5．数轴上点A和点B表示的数分别是﹣1和3，点P到A、B两点的距离之和为6，则点P
表示的数是（）
A．﹣3B．﹣3或5C．﹣2D．﹣2或4
【解答】解：
∵AB＝|3﹣（﹣1）|＝4，点P到A、B两点的距离之和为设点P表示的数为x，
∴点P在点A的左边时，﹣1﹣x+3﹣x＝6，解得：
x＝﹣2，
点P在点B的右边时，x﹣3+x﹣（﹣1）＝6，解得：
x＝4，
综上所述，点
P表示的数是﹣2或4．
故选：
D．
6．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值等于
4
2
2，则x+cdx﹣
6，
的值为（）
A．15B．20C．﹣20D．20或﹣20
【解答】解：
根据题意知a+b＝0，cd＝1，x＝±2，
则原式＝（±2）4+1×（±2）2﹣
＝16+4
＝20，
故选：
B．
二．填空题（共
8小题）
7．已知a，b，c都是有理数，且满足
＝1，那么6﹣
＝7．
【解答】解：
根据绝对值的意义，知：
一个非零数的绝对值除以这个数，等于
1或﹣1．
第6页（共14页）
又＝1，则其中必有两个1和一个﹣1，即a，b，c中两正一负．
则＝﹣1，
则6﹣＝6﹣（﹣1）＝7．
故答案为：
7．
8．如图，数轴上的有理数a，b满足|3a﹣b|﹣|a+2b|＝|a|，则＝﹣．
【解答】解：
∵由题意可知：
3a﹣b＜0，a+2b＞0，a＜0，
∴b﹣3a﹣（a+2b）＝﹣a．
整理得：
﹣b＝3a．
∴．
故答案为：
﹣．
9．已知|a|＝m+1，|b|＝m+4，其中m＞0，若|a﹣b|＝|a|+|b|，则a+b的值为±3．
【解答】解：
∵|a|＝m+1，|b|＝m+4，
∴a＝±（m+1），b＝±（m+4）
当a＝m+1，b＝m+4时
|a﹣b|＝|m+1﹣m﹣4|＝3
|a|+|b|＝m+1+m+4＝2m+5
∵m＞0
∴2m+5＞0
∴|a﹣b|≠|a|+|b|
当a＝m+1，b＝﹣m﹣4时
|a﹣b|＝|m+1+m+4|＝2m+5
|a|+|b|＝m+1+m+4＝2m+5
∴|a﹣b|＝|a|+|b|
当a＝﹣m﹣1，b＝m+4时
|a﹣b|＝|﹣m﹣1﹣m﹣4|＝|﹣2m﹣5|＝2m+5
∴|a﹣b|＝|a|+|b|
当a＝﹣m﹣1，b＝﹣m﹣4时
第7页（共14页）
|a﹣b|＝|﹣m﹣1+m+4|＝3
∴|a﹣b|≠|a|+|b|
∴a＝m+1，b＝﹣m﹣4或a＝﹣m﹣1，b＝m+4
∴a+b＝m+1﹣m﹣4＝﹣3
或a+b＝﹣m﹣1+m+4＝3
故答案为：
±3．
10．已知abc≠0，且+++的最大值为m，最小值为n，则m+n＝0．
【解答】解：
∵a，b，c都不等于0，
∴有以下情况：
①a，b，c都大于0，原式＝1+1+1+1＝4；
②a，b，c都小于0，原式＝﹣1﹣1﹣1﹣1＝﹣4；
③a，b，c，一负两正，不妨设a＜0，b＞0，c＞0，原式＝﹣1+1+1﹣1＝0；
④a，b，c，一正两负，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，原式＝1﹣1﹣1+1＝0；
∴m＝4，n＝﹣4，
∴m+n＝4﹣4＝0．
故答案为：
0．
11．如果x、y都是不为0的有理数，则代数式的最大值是1．
【解答】解：
①当x，y中有二正，
＝1+1﹣1＝1；
②当x，y中有一负一正，
＝1﹣1+1＝1；
③当x，y中有二负，
＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3．
故代数式的最大值是1．
故答案为：
1．
12．点M表示的有理数是﹣1，点M在数轴上移动5个单位长度后得到点N，则点N表示
第8页（共14页）
的有理数是
﹣6或4
．
【解答】解：
﹣1﹣5＝﹣6，
或﹣1+5＝4．
故点N表示的有理数是﹣
6或4．
故答案为：
﹣
6或4．
13．已知点A在数轴上原点左侧，距离原点
3个单位长度，点
B到点A的距离为
2个单位
长度，则点B对应的数为
﹣1或﹣5
．
【解答】解：
∵在数轴上，点A所表示的数为﹣3，
∴到点A的距离等于2个单位长度的点所表示的数是：
﹣
3+2＝﹣1或﹣3﹣2＝﹣5．
故答案为：
﹣
1或﹣5．
14．若x、y互为相反数，a、b互为倒数，c的绝对值等于2，则（
2018
2018
2
）
﹣（﹣ab）
+c
＝3．
【解答】解：
由题意知x+y＝0，ab＝1，c＝2或c＝﹣2，
则c2＝4，
20182018
所以原式＝0﹣（﹣1）+4
＝0﹣1+4
＝3，
故答案为：
3．
三．解答题（共5小题）
15．阅读下列材料完成相关问题：
已知a，b、c是有理数
（1）当ab＞0，a+b＜0时，求的值；
（2）当abc≠0时，求的值；
（3）当a+b+c＝0，abc＜0，的值．
【解答】解：
（1）∵ab＞0，a+b＜0，
∴a＜0，b＜0
∴
＝﹣1﹣1＝﹣2；
（2）当a、b、c同正时，
＝1+1+1＝3；
第9页（共14页）
当a、b、c两正一负时，
＝1+1﹣1＝
1；
当a、b、c一正两负时，
＝﹣1﹣1+1
＝﹣1；
当a、b、c同负时，
＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3；
（3）∵a+b+c＝0，
∴b+c＝﹣a，a+c＝﹣b，a+b＝﹣c
∴
＝
+
﹣
＝﹣
﹣
+
又∵abc＜0，
∴当c＜0，a＞0，b＞0时，原式＝﹣
﹣+
＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3；
当c＞0，a或b为负时，原式＝﹣
﹣
+
＝1﹣1+1＝1．
16．分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简
|a|时，可以这样分类：
当
a＞0时，|a|＝a；
当a＝0时，|a|＝0；当a＜0时，|a|＝﹣a．用这种方法解决下列问题：
（1）当a＝5时，求
的值．
（2）当a＝﹣2时，求
的值．
（3）若有理数a不等于零，求
的值．
（4）若有理数a、b均不等于零，试求
的值．
【解答】解：
（1）当a＝5时，
＝1；
（2）当a＝﹣2时，＝﹣1；
（3）若有理数a不等于零，当a＞0时，＝1，当a＜0时，＝﹣1；
第10页（共14页）
（4）若有理数a、b均不等于零，当a，b是同正数，＝2，
当a，b是同负数，＝﹣2，
当a，b是异号，＝0．
17．已知三个非零的有理数a、b、c，记++的最大值为x，最小值为y，求x
÷（﹣4y）的值．
【解答】解：
∵a、b、c是三个非零有理数，
∴＝1＝1或﹣1，═1或﹣1，＝1或﹣1，
当a、b、c都是正数，原式＝1+1+1＝3；
当a、b、c只有两个正数，原式＝1+1﹣1＝1；
当a、b、c只有一个正数，原式＝1﹣1﹣1＝﹣1；
当a、b、c都是负数，原式＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3．
∴x＝3，y＝﹣3，
∴x÷（﹣4y）＝3÷12＝．
18．
（1）【问题发现】
数学小组遇到这样一个问题：
若
a，b均不为零，求
x＝
的值．
小明说：
“考虑到要去掉绝对值符号，必须对字母
a，b的正负作出讨论，又注意到
a，b
在问题中的平等性，可从一般角度考虑两个字母的取值情况．
”
解：
①当两个字母a，b中有2个正，0个负时，x＝
+＝1+1＝2；
②当两个字母a，b中有1个正，1
个负时，无论谁正谁负，
x都等于
0；
③当两个字母a，b中有0个正，2
个负时，x＝
+
＝﹣1﹣1＝﹣2；
综上，当a，b均不为零，求
x的值为﹣2，0，2．
（2）【拓展探究】
若a，b，c均不为零，求
x＝
+
﹣
的值．
（3）【问题解决】
若a，b，c均不为零，且
a+b+c＝0，直接写出代数式
+
+
的值．
第11页（共14页）
【解答】解：
（2）①当a，b，c都为正数时：
x＝+﹣
＝1+1﹣1＝1．
②当a，b为正，c为负时：
x＝
+
﹣
＝1+1+1＝3．
当a，c为正，b为负时：
x＝
+
﹣
＝1﹣1﹣1＝﹣1．
当b，c为正，a为负时：
x＝
+
﹣＝﹣1+1﹣1＝﹣1．
③当a，b为负，c为正时：
x＝
+
﹣
＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3．
当a，c为负，b为正时：
x＝
+
﹣
＝﹣1+1+1＝1．
当b，c为负，a为正时：
x＝
+
﹣
＝1﹣1+1＝1．
④当a，b，c都为负数时：
x＝
+
﹣＝﹣1﹣1+1＝﹣1．
综上所述x＝+﹣
的值为
1或3或﹣3或﹣1．
（3）∵a，b，c均不为零，且a+b+c＝0，∴a，b，c为两正一负或两负一正．
∴①当a，b，c为两正一负时：
++＝﹣﹣﹣＝﹣1﹣1+1＝
﹣1．
②当a，b，c为两负一正时：
++＝﹣﹣﹣＝1+1﹣1＝1．
19．有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示
（1）比较a、b、|c|的大小（用“＞”连接）；
（2）若n＝|b+c|﹣|c﹣1|﹣|b﹣a|，求1﹣2017?
（n+a）2018的值；
（3）若a＝，b＝﹣2，c＝﹣3，且a、b、c对应的点分别为A、B、C，问在数轴上是
否存在一点M，使M与B的距离是M与A的距离的3倍，若存在，请求出M点对应的
有理数；若不存在，请说明理由．
【解答】解：
（1）如图所示：
由数轴可知|c|＞a＞b；
（2）由数轴可知：
b+c＜0，c﹣1＜0，b﹣a＜0，
第12页（共14页）
则n＝|b+c|﹣|c﹣1|﹣|b﹣a|
＝﹣b﹣c+c﹣1+b﹣a
＝﹣1﹣a，
即a+n＝﹣1，
∴1﹣2017?
（n+a）2018
＝1﹣2017×（﹣1）2018
＝1﹣2017
＝﹣2016；
（3）①当点M在AB的右侧时，设点M对应的数为x，
∵点A对应的数是，点B对应的数是点﹣2，
∴BM＝x+2，AM＝x﹣，
∵BM＝3AM，
∴x+2＝3（x﹣），
x+2＝3x﹣，
x＝；
②当点M在AB的上时，
此时，BM＝x+2，AM＝﹣x，
∵BM＝3AM
∴x+2＝3（﹣x）
x+2＝﹣3x，
x＝；
③当点M在AB的左侧时，
此时，BM＝﹣2﹣x，AM＝﹣x，
∵BM＝3AM
第13页（共14页）
∴﹣2﹣x＝3（﹣x）
﹣2﹣x＝﹣3x，
x＝与M对应的数是负数相矛盾，
所以AB的左侧不存在这样的点M
因此点M对应的有理数是或．
第14页（共14页）
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