北师七年级上册绝对值有关分类讨论.docx

1、北师七年级上册绝对值有关分类讨论一选择题（共 6 小题）1若 m 是有理数，则 |m| m 一定是（ ）A 零 B 非负数 C正数 D负数2已知 a， b， c 为非零的实数，则 的可能值的个数为（ ）A 4 B5 C6 D73下列结论成立的是（ ）A 若 |a| a，则 a 0 B若 |a| |b|，则 a bC若 |a| a，则 a 0 D若 |a| |b|，则 a b4当 |a| 5， |b| 7，且 |a+b|a+b，则 a b 的值为（ ）A 12 B 2 或 12 C2 D 25数轴上点 A 和点 B 表示的数分别是 1 和 3，点 P 到 A、B 两点的距离之和为 6，则点 P表

2、示的数是（ ）A3B3 或 5C 2D2或 46已知 a、b 互为相反数， c、d 互为倒数， x 的绝对值等于42的值为（）2，则 x +cdx A 15B 20C 20D 20 或 20二填空题（共8 小题）7已知 a， b， c 都是有理数，且满足 1，那么 6 8如图，数轴上的有理数 a，b 满足 |3a b| |a+2b| |a|，则 9已知 |a|m+1 ， |b| m+4，其中 m 0，若 |a b| |a|+|b|，则 a+b 的值为 10已知 abc 0，且 + + + 的最大值为 m，最小值为 n，则 m+n 11如果 x、 y 都是不为 0 的有理数，则代数式 的最大值是

3、 12点 M 表示的有理数是 1，点 M 在数轴上移动 5 个单位长度后得到点 N，则点 N 表示的有理数是 13已知点 A 在数轴上原点左侧，距离原点 3 个单位长度，点 B 到点 A 的距离为 2 个单位长度，则点 B 对应的数为 第1页（共 14页）14若 x、y 互为相反数， a、b 互为倒数， c 的绝对值等于2，则（201820182）（ ab）+c三解答题（共 5 小题）15阅读下列材料完成相关问题：已知a， b、 c 是有理数（ 1）当 ab 0，a+b 0 时，求的值；（ 2）当 abc 0 时，求的值；（ 3）当 a+b+c0， abc 0，的值16分类讨论是一种重要的数学

4、方法，如在化简 |a|时，可以这样分类：当 a 0 时， |a| a；当 a0 时， |a| 0；当 a 0 时， |a| a用这种方法解决下列问题：（ 1）当 a 5 时，求 的值（ 2）当 a 2 时，求 的值（ 3）若有理数 a 不等于零，求 的值（ 4）若有理数 a、 b 均不等于零，试求 的值17已知三个非零的有理数 a、 b、 c，记 + + 的最大值为 x，最小值为 y，求 x（ 4y）的值第2页（共 14页）18（ 1）【问题发现】数学小组遇到这样一个问题：若a，b 均不为零，求x的值小明说：“考虑到要去掉绝对值符号，必须对字母a，b 的正负作出讨论，又注意到a， b在问题中的

5、平等性，可从一般角度考虑两个字母的取值情况”解： 当两个字母 a， b 中有 2 个正， 0 个负时， x+ 1+1 2； 当两个字母 a，b 中有 1 个正， 1个负时，无论谁正谁负，x 都等于0； 当两个字母 a，b 中有 0 个正， 2个负时， x+ 1 1 2；综上，当 a， b 均不为零，求x 的值为 2， 0， 2（ 2）【拓展探究】若 a，b， c 均不为零，求x+的值（ 3）【问题解决】若 a，b， c 均不为零，且a+b+c 0，直接写出代数式+的值19有理数 a、 b、 c 在数轴上的位置如图所示（ 1）比较 a、 b、 |c|的大小（用“”连接） ；（ 2）若 n |b+

6、c| |c1| |b a|，求 12017?（ n+a） 2018 的值；（ 3）若 a ， b 2，c 3，且 a、 b、 c 对应的点分别为 A、B、 C，问在数轴上是否存在一点 M，使 M 与 B 的距离是 M 与 A 的距离的 3 倍，若存在，请求出 M 点对应的有理数；若不存在，请说明理由第3页（共 14页）参考答案与试题解析一选择题（共 6 小题）1若 m 是有理数，则 |m| m 一定是（ ）A 零 B 非负数 C正数 D负数【解答】 解：若 m 0，则 |m| m0，若 m 0，则 |m| m m m 2m 0，即 |m| m 0，故选： B2已知 a， b， c 为非零的实数

7、，则 的可能值的个数为（ ）A 4 B5 C6 D7【解答】 解： a、 b、 c 三个数都是正数时， a 0， ab0， ac 0， bc 0，原式 1+1+1+1 4； a、 b、 c 中有两个正数时，设为 a 0， b 0， c 0，则 ab0， ac 0， bc 0，原式 1+1 11 0；设为 a 0， b 0， c 0，则 ab0， ac 0， bc 0，原式 1 1+11 0；设为 a 0， b 0， c 0，则 ab0， ac 0， bc 0，原式 1 11+1 2； a、 b、 c 有一个正数时，设为 a 0， b 0， c 0，第4页（共 14页）则 ab0， ac 0，

8、bc 0，原式 1 1 1+1 0；设为 a 0， b 0， c 0，则 ab0， ac 0， bc 0，原式 1 1+1 1 2；设为 a 0， b 0， c 0，则 ab0， ac 0， bc 0，原式 1+1 1 1 2； a、 b、 c 三个数都是负数时，即 a0， b 0， c 0，则 ab0， ac 0， bc 0，原式 1+1+1+1 2综上所述， 的可能值的个数为 4故选： A3下列结论成立的是（ ）A 若 |a| a，则 a 0 B若 |a| |b|，则 a bC若 |a| a，则 a 0 D若 |a| |b|，则 a b【解答】 解： A若 |a| a，则 a 为正数或 0

9、，故结论不成立；B若 |a| |b|，则 a 与 b 互为相反数或相等，故结论成立；C若 |a| a，则 a 为正数，故结论不成立；D 若 |a| |b|，若 a， b 均为负数，则 ab，故结论不成立；故选： B4当 |a| 5， |b| 7，且 |a+b|a+b，则 a b 的值为（ ）A 12 B 2 或 12 C2 D 2【解答】 解： |a| 5， |b| 7， a 5， b 7第5页（共 14页） a+b0， a 5 b 7，当 a5， b 7 时， a b 2；当 a 5， b 7 时， ab 12；故 ab 的值为 2 或 12故选： B5数轴上点 A 和点 B 表示的数分别是

10、 1 和 3，点 P 到 A、B 两点的距离之和为 6，则点 P表示的数是（ ）A3 B3 或 5 C2 D2或 4【解答】 解： AB |3（ 1）| 4，点 P 到 A、B 两点的距离之和为设点 P 表示的数为 x，点 P 在点 A 的左边时， 1 x+3 x 6，解得： x 2，点 P 在点 B 的右边时， x 3+x（ 1） 6，解得： x 4，综上所述，点P 表示的数是 2 或 4故选： D6已知 a、b 互为相反数， c、d 互为倒数， x 的绝对值等于422，则 x +cdx 6，的值为（ ）A 15 B 20 C 20 D 20 或 20【解答】 解：根据题意知 a+b 0，c

11、d 1， x 2，则原式（ 2） 4+1（ 2） 2 16+4 20，故选： B二填空题（共8 小题）7已知 a， b， c 都是有理数，且满足 1，那么 6 7 【解答】 解：根据绝对值的意义，知：一个非零数的绝对值除以这个数，等于1 或1第6页（共 14页）又 1，则其中必有两个 1 和一个 1，即 a， b，c 中两正一负则 1，则 6 6（ 1） 7故答案为： 78如图，数轴上的有理数 a，b 满足 |3a b| |a+2b| |a|，则 【解答】 解：由题意可知： 3a b 0， a+2b 0， a0， b 3a（ a+2b） a整理得： b 3a 故答案为： 9已知 |a|m+1

12、， |b| m+4，其中 m 0，若 |a b| |a|+|b|，则 a+b 的值为 3 【解答】 解： |a| m+1，|b| m+4， a（ m+1）， b（ m+4）当 am+1，b m+4 时|a b| |m+1 m 4| 3|a|+|b| m+1+ m+4 2m+5 m 0 2m+5 0 |a b| |a|+|b|当 am+1，b m 4 时|a b| |m+1+ m+4| 2m+5|a|+|b| m+1+ m+4 2m+5 |a b| |a|+|b|当 a m1， b m+4 时|a b| |m 1m 4| | 2m5| 2m+5 |a b| |a|+|b|当 a m1， b m4

13、 时第7页（共 14页）|a b| |m 1+m+4| 3 |a b| |a|+|b| am+1 ，b m 4 或 a m 1， b m+4 a+bm+1 m 4 3或 a+b m 1+ m+4 3故答案为： 310已知 abc 0，且 + + + 的最大值为 m，最小值为 n，则 m+n 0 【解答】 解： a， b， c 都不等于 0，有以下情况： a， b， c 都大于 0，原式 1+1+1+1 4； a， b， c 都小于 0，原式 1 11 1 4； a， b， c，一负两正，不妨设 a 0， b 0， c0，原式 1+1+1 1 0； a， b， c，一正两负，不妨设 a 0， b

14、 0， c0，原式 1 1 1+1 0； m 4， n 4， m+n 44 0故答案为： 011如果 x、 y 都是不为 0 的有理数，则代数式 的最大值是 1 【解答】 解： 当 x， y 中有二正，1+1 11； 当 x， y 中有一负一正，1 1+11； 当 x， y 中有二负， 1 11 3故代数式 的最大值是 1故答案为： 112点 M 表示的有理数是 1，点 M 在数轴上移动 5 个单位长度后得到点 N，则点 N 表示第8页（共 14页）的有理数是6或4【解答】 解： 1 5 6，或 1+5 4故点 N 表示的有理数是6或 4故答案为：6或 413已知点 A 在数轴上原点左侧，距离

15、原点3 个单位长度，点B 到点 A 的距离为2 个单位长度，则点 B 对应的数为1或5【解答】 解：在数轴上，点 A 所表示的数为 3，到点 A 的距离等于 2 个单位长度的点所表示的数是：3+2 1 或 3 2 5故答案为：1或514若 x、y 互为相反数， a、b 互为倒数， c 的绝对值等于 2，则（201820182）（ ab）+c 3 【解答】 解：由题意知 x+y 0， ab1， c 2 或 c 2，则 c2 4，2018 2018所以原式 0 （ 1） +4 0 1+4 3，故答案为： 3三解答题（共 5 小题）15阅读下列材料完成相关问题：已知 a， b、 c 是有理数（ 1）

16、当 ab 0，a+b 0 时，求 的值；（ 2）当 abc 0 时，求 的值；（ 3）当 a+b+c0， abc 0， 的值【解答】 解：（ 1） ab0， a+b 0， a 0， b 0 1 1 2；（ 2）当 a、 b、 c 同正时， 1+1+1 3；第9页（共 14页）当 a、b、 c 两正一负时， 1+1 11；当 a、b、 c 一正两负时， 1 1+1 1；当 a、b、 c 同负时， 1 1 1 3；（ 3） a+b+c 0， b+c a， a+c b， a+b c+又 abc 0，当 c0， a 0， b 0 时，原式+ 1 1 1 3；当 c 0， a 或 b 为负时，原式+ 1

17、 1+1 116分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简|a|时，可以这样分类：当a 0 时， |a| a；当 a0 时， |a| 0；当 a 0 时， |a| a用这种方法解决下列问题：（ 1）当 a 5 时，求的值（ 2）当 a 2 时，求的值（ 3）若有理数 a 不等于零，求的值（ 4）若有理数 a、 b 均不等于零，试求的值【解答】 解：（ 1）当 a5 时， 1；（ 2）当 a 2 时， 1；（ 3）若有理数 a 不等于零，当 a0 时， 1，当 a 0 时， 1；第 10 页（共 14 页）（ 4）若有理数 a、 b 均不等于零，当 a， b 是同正数， 2，当 a，b 是同负数，

18、2，当 a，b 是异号， 017已知三个非零的有理数 a、 b、 c，记 + + 的最大值为 x，最小值为 y，求 x（ 4y）的值【解答】 解： a、 b、 c 是三个非零有理数， 11 或 1， 1 或 1， 1 或 1，当 a、b、 c 都是正数，原式 1+1+1 3；当 a、b、 c 只有两个正数，原式 1+1 1 1；当 a、b、 c 只有一个正数，原式 1 1 1 1；当 a、b、 c 都是负数，原式 1 1 1 3 x 3， y 3， x（ 4y） 3 12 18（ 1）【问题发现】数学小组遇到这样一个问题：若a，b 均不为零，求x的值小明说：“考虑到要去掉绝对值符号，必须对字母

19、a，b 的正负作出讨论，又注意到a， b在问题中的平等性，可从一般角度考虑两个字母的取值情况”解： 当两个字母 a， b 中有 2 个正， 0 个负时， x+ 1+1 2； 当两个字母 a，b 中有 1 个正， 1个负时，无论谁正谁负，x 都等于0； 当两个字母 a，b 中有 0 个正， 2个负时， x+ 1 1 2；综上，当 a， b 均不为零，求x 的值为 2， 0， 2（ 2）【拓展探究】若 a，b， c 均不为零，求x+的值（ 3）【问题解决】若 a，b， c 均不为零，且a+b+c 0，直接写出代数式+的值第 11 页（共 14 页）【解答】 解：（ 2） 当 a，b， c 都为正数

20、时： x+ 1+1 11 当 a，b 为正， c 为负时： x+1+1+1 3当 a，c 为正， b 为负时： x+ 1 1 1 1当 b，c 为正， a 为负时： x+ 1+11 1 当 a，b 为负， c 为正时： x+ 1 11 3当 a，c 为负， b 为正时： x+ 1+1+1 1当 b，c 为负， a 为正时： x+ 1 1+11 当 a，b， c 都为负数时： x+ 1 1+1 1综上所述 x+的值为1或3或3或1（ 3） a， b， c 均不为零，且 a+b+c 0， a， b， c 为两正一负或两负一正 当 a， b， c 为两正一负时： + + 1 1+1 1 当 a，b，

21、 c 为两负一正时： + + 1+1 1 119有理数 a、 b、 c 在数轴上的位置如图所示（ 1）比较 a、 b、 |c|的大小（用“”连接） ；（ 2）若 n |b+c| |c1| |b a|，求 12017?（ n+a） 2018 的值；（ 3）若 a ， b 2，c 3，且 a、 b、 c 对应的点分别为 A、B、 C，问在数轴上是否存在一点 M，使 M 与 B 的距离是 M 与 A 的距离的 3 倍，若存在，请求出 M 点对应的有理数；若不存在，请说明理由【解答】 解：（ 1）如图所示：由数轴可知 |c| ab；（ 2）由数轴可知： b+c 0， c 1 0， b a 0，第 12

22、 页（共 14 页）则 n |b+c| |c 1| |b a| b c+c 1+b a 1 a，即 a+n 1， 1 2017?（ n+a） 2018 1 2017（ 1） 2018 1 2017 2016；（ 3） 当点 M 在 AB 的右侧时，设点 M 对应的数为 x，点 A 对应的数是 ，点 B 对应的数是点 2， BM x+2， AM x ， BM 3AM ， x+2 3（ x ），x+2 3x ，x ；当点 M在AB的上时，此时， BM x+2，AM x， BM 3AM x+2 3（ x）x+2 3x，x ； 当点 M 在 AB 的左侧时，此时， BM 2 x， AM x， BM 3AM第 13 页（共 14 页） 2 x 3（ x） 2 x 3x，x 与 M 对应的数是负数相矛盾，所以 AB 的左侧不存在这样的点 M因此点 M 对应的有理数是 或 第 14 页（共 14 页）