高中数学北师大版教学设计必修一25简单的幂函数.docx
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高中数学北师大版教学设计必修一25简单的幂函数
教学设计
§5 简单的幂函数
教学分析
教材从整数指数的幂函数自然引入，给出定义后，也只是推广到其他整数指数的情况，但是要指出x为其他实数时仍有意义，留待第三章解决．对于函数的奇偶性，虽然给出了一般定义，但是应该知道，教材重在从图上看出图像的对称性，着重从对称的角度应用这一性质，也就是说，对奇偶性的要求是低的，习题不需要过难，要循序渐进．
值得注意的是尽量用信息技术画幂函数的图像，通过它们的图像，让学生自己归纳出它们的性质．
三维目标
1．了解指数是整数的简单幂函数的概念，巩固画函数图像的方法，培养学生识图和画图的能力．
2．会利用定义证明简单函数的奇偶性，提高学生的逻辑思维能力．
3．了解利用奇偶性画函数图像和研究函数的方法，培养学生分析问题和解决问题的能力．
重点难点
教学重点是幂函数的概念，奇函数和偶函数的概念．
教学难点是判断函数的奇偶性．
课时安排
1课时
导入新课
思路1.
（1）如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S＝a2，这里S是a的函数．
（2）如果正方体的边长为a，那么正方体的体积V＝a3，这里V是a的函数．
（3）如果正方形场地面积为S，那么正方形的边长a＝S
，这里a是S的函数．
以上是我们生活中经常遇到的几个数学模型，你能发现以上几个函数解析式有什么共同点吗？
（右边是指数式，且底数都是变量）
这只是我们生活中常用到的一类函数的几个具体代表，如果让你给它们起一个名字的话，你将会给它们起个什么名字呢？
（变量在底数位置，解析式右边都是幂的形式）
思路2.我们已经熟悉正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数，这一节课我们再学习一种新的函数——幂函数，教师板书引出课题．
推进新课
①给出下列函数，y＝x，y＝，y＝x2，y＝x－1，y＝x3，考察这些解析式的特点.
②根据①，如果让我们起一个名字的话，你将会给它们起个什么名字呢？
请给出一个一般性的结论.
③函数y＝x，y＝的图像对称性有什么共同点？
④函数y＝x，y＝的解析式满足f（－x）＝－f（x）吗？
⑤函数y＝x2，y＝|x|的图像对称性有什么共同点？
⑥函数y＝x2，y＝|x|的解析式满足f（－x）＝f（x）吗？
活动：
①主要看函数的变量的位置和解析式的形式．
②总结出解析式的共性后，类比前面的式子，起出一个名字．
③画出函数y＝x，y＝
的图像来观察．
④代入函数的解析式验证即可．
⑤画出函数的图像来观察．
⑥代入函数的解析式验证即可．
讨论结果：
①通过观察发现这些函数的变量在底数位置，解析式右边都是幂，因为它们的变量都在底数位置上．
②由于函数的指数是一个常数，底数是变量，类似于我们学过的幂的形式，因此我们称这种类型的函数为幂函数，如果我们用字母α来表示函数的指数，就能得到一般的式子．
即幂函数的定义：
一般地，形如y＝xα（x∈R）的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．
如y＝x2，y＝，y＝x3等都是幂函数，幂函数与二次函数一样，都是基本初等函数．
③函数y＝x，y＝
的图像都关于原点对称．
一般地，图像关于原点对称的函数叫作奇函数．
④都满足f（－x）＝－f（x）．
因此有：
函数f（x）是奇函数函数f（x）的图像关于原点对称对定义域内任意的x，f（－x）＝－f（x）．
⑤都关于y轴对称．
一般地，图像关于y轴对称的函数叫作偶函数．
⑥都满足f（－x）＝f（x）．
因此有：
函数f（x）是偶函数函数f（x）的图像关于y轴对称对定义域内任意的x，f（－x）＝f（x）．
当函数f（x）是奇函数或偶函数时，称函数f（x）具有奇偶性．
在图1中，只画出了函数图像的一半，请你画出它们的另一半，并说出画法的依据．
图1
讨论结果：
函数y＝x－1，y＝－x3是奇函数，其图像关于原点对称；函数y＝x2＋1，y＝－x4是偶函数，其图像关于y轴对称．则这些函数图像的另一半如图2所示．
图2
在研究函数时，如果知道其图像具有关于y轴或原点对称的特点，那么我们可以先研究它的一半，再利用对称性了解另一半，从而减少了工作量．
思路1
例1画出函数f（x）＝x3的图像，讨论其单调性．
活动：
学生思考描点法画函数图像的步骤和函数单调性的几何意义．
解：
先列出x，y的对应值表（如下表），再用描点法画出图像，如图3.
x
…
－2
－1
－
0
1
2
…
y
…
－8
－1
－
0
1
8
…
图3
从图像上看出，y＝x3是R上的增函数．
点评：
本题主要考查描点法画函数的图像，以及应用图像讨论函数单调性的能力．
变式训练
画出幂函数y＝x
的图像，并讨论其单调性．
答案：
幂函数y＝x
的图像如图4所示．
图4
从图像看出，函数y＝在
（2）图像法：
如果函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果函数的图像关于y轴对称，那么这个函数是偶函数；如果函数的图像关于原点和y轴均对称，那么这个函数既是奇函数又是偶函数；如果函数的图像关于原点和y轴均不对称，那么这个函数既不是奇函数又不是偶函数．
注意：
分段函数的奇偶性要分段判断．
变式训练
1．判断下列函数的奇偶性．
（1）f（x）＝
；
（2）f（x）＝x3－2x.
解：
（1）函数的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，所以f（x）既不是奇函数也不是偶函数．
（2）函数的定义域为R，
f（－x）＝（－x）3－2（－x）＝2x－x3＝－f（x），所以f（x）是奇函数．
2．已知函数f（x）是定义在（－∞，＋∞）上的偶函数．当x∈（－∞，0）时，f（x）＝x－x4，则当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝__________.
解析：
利用偶函数的性质f（x）＝f（－x）求解．当x∈（0，＋∞）时，则－x＜0.又∵当x∈（－∞，0）时，f（x）＝x－x4，∴f（x）＝f（－x）＝（－x）－（－x）4＝－x－x4.
答案：
－x－x4
3．设f（x）是R上的任意函数，则下列叙述正确的是（ ）．
A．f（x）f（－x）是奇函数 B．f（x）|f（－x）|是奇函数
C．f（x）－f（－x）是偶函数D．f（x）＋f（－x）是偶函数
解析：
各个选项中函数的定义域都是R.A中设F（x）＝f（x）f（－x），则F（－x）＝f（－x）f（x）＝F（x），即函数F（x）＝f（x）f（－x）为偶函数；B中设F（x）＝f（x）|f（－x）|，则F（－x）＝f（－x）|f（x）|，此时F（x）与F（－x）的关系不能确定，即函数F（x）＝f（x）|f（－x）|的奇偶性不确定；C中设F（x）＝f（x）－f（－x），F（－x）＝f（－x）－f（x）＝－F（x），即函数F（x）＝f（x）－f（－x）为奇函数；D中设F（x）＝f（x）＋f（－x），F（－x）＝f（－x）＋f（x）＝F（x），即函数F（x）＝f（x）＋f（－x）为偶函数．
答案：
D
思路2
例1已知函数f（x）的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意x1，x2都有f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2），且当x＞1时f（x）＞0，f
（2）＝1.
（1）求证：
f（x）是偶函数；
（2）求证：
f（x）在（0，＋∞）上是增函数；
（3）试比较f
与f
的大小．
分析：
解决此类问题的关键是利用好条件中的函数性质等式．
（1）利用赋值法证明f（－x）＝f（x）；
（2）利用定义法证明单调性；（3）利用函数的单调性比较它们的大小．
解：
（1）函数的定义域是x≠0.
令x1＝x2＝1，得f
（1）＝2f
（1），
∴f
（1）＝0.
令x1＝x2＝－1，得f
（1）＝f＝f（－1）＋f（－1），
∴2f（－1）＝0.∴f（－1）＝0.
∴f（－x）＝f（－1·x）＝f（－1）＋f（x）＝f（x）．
∴f（x）是偶函数．
（2）设0＜x1＜x2，则
f（x2）－f（x1）＝f
－f（x1）＝f（x1）＋f
－f（x1）＝f
，
∵x2＞x1＞0，∴
＞1.∴f
＞0，即f（x2）－f（x1）＞0.
∴f（x2）＞f（x1），即f（x1）＜f（x2）．
∴f（x）在（0，＋∞）上是增函数．
（3）由
（1）知f（x）是偶函数，则有f
＝f
，
由
（2）知f（x）在（0，＋∞）上是增函数，则f
＞f
，
∴f
＞f
.
点评：
本题是抽象函数问题，主要考查函数的奇偶性和单调性及其综合应用．判断抽象函数的奇偶性和单调性通常应用定义法，比较抽象函数值的大小通常利用抽象函数的单调性来比较．其关键是将所给的关系等式进行有效的变形和恰当的赋值．
变式训练
1．函数y＝f（x）是偶函数，且在（－∞，0]上为减函数，试比较f
与f（2a2－a＋1）的大小．
分析：
用函数的单调性比较大小，但需注意在函数的同一单调区间上进行．
解：
∵2a2－a＋1＝2
2＋
≥
，∴－（2a2－a＋1）≤－
＜0.
而函数y＝f（x）在（－∞，0]上为减函数，
∴f≥f
.
又∵y＝f（x）是偶函数，∴f＝f（2a2－a＋1）．
∴f（2a2－a＋1）≥f
.
2.已知f（x）是定义在（－∞，＋∞）上的不恒为零的函数，且对定义域内的任意x，y,f（x）都满足f（xy）＝yf（x）＋xf（y）．
（1）求f
（1），f（－1）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性，并说明理由．
分析：
（1）利用赋值法，令x＝y＝1，得f
（1）的值，令x＝y＝－1，得f（－1）的值；
（2）利用定义法证明f（x）是奇函数，要借助于赋值法，得f（－x）＝－f（x）．
解：
（1）∵f（x）对任意x，y都有f（x·y）＝yf（x）＋xf（y），
∴令x＝y＝1时，有f（1·1）＝1·f
（1）＋1·f
（1），
∴f
（1）＝0;
∴令x＝y＝－1时，有f＝（－1）·f（－1）＋（－1）·f（－1）．
∴f（－1）＝0.
（2）∵f（x）对任意x，y都有f（x·y）＝yf（x）＋xf（y），
∴令y＝－1，有f（－x）＝－f（x）＋xf（－1）.
将f（－1）＝0代入，得f（－x）＝－f（x）,
∴函数f（x）是（－∞，＋∞）上的奇函数.
1．下列命题中正确的是（ ）．
A．当α＝0时，函数y＝xα的图像是一条直线
B．幂函数的图像都经过（0,0），（1,1）两点
C．若幂函数y＝xα的图像关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大
D．幂函数的图像不可能在第四象限
解析：
当α＝0时，函数y＝xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，其图像为两条射线，故A不正确；当α＜0时，函数y＝xα的图像不过（0,0）点，故B不正确；幂函数y＝x－1的图像关于原点对称，但其在定义域内不是增函数，故C不正确；当x＞0，α∈R时，y＝xα＞0，则幂函数的图像都不在第四象限．
答案：
D
2．下列函数中不是幂函数的是（ ）．
A．y＝
B．y＝x3 C．y＝2x D．y＝x－1
解析：
根据幂函数的定义：
形如y＝xα的函数称为幂函数，可知C不是幂函数．
答案：
C
3．下列函数是偶函数且在（－∞，0）上为减函数的是（ ）．
A．y＝x
B．y＝x2
C．y＝x3D．y＝x－2
解析：
函数y＝x
和y＝x3是奇函数，排除A，C；函数y＝x2和y＝x－2都是偶函数，由幂函数的性质可知，y＝x－2在（－∞，0）上为增函数，函数y＝x2在（－∞，0）上为减函数．
答案：
B
4．下列图像表示具有奇偶性的函数可能是（ ）．
图5
解析：
图像关于原点或y轴对称的函数具有奇偶性．A，D中的图形关于原点和y轴均不对称，∴排除A，D；C中的图形虽然关于原点对称，但是过（0，－1）和（0,1）两点，这说明当x＝0时，y＝±1，这不符合函数的定义，不是函数的图像，排除C；B中图形关于y轴对称．
答案：
B
5．函数g（x）＝
是（ ）．
A．奇函数B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数又不是偶函数
解析：
先验证函数定义域的对称性，再考察f（－x）是否等于f（x）或－f（x）．当x＞0时，－x＜0，于是g（－x）＝－
（－x）2－1＝－
＝－g（x），当x＜0时，－x＞0，于是g（－x）＝
（－x）2＋1＝
x2＋1＝－
＝－g（x），综上可知，g（x）是奇函数．
答案：
A
6．若奇函数f（x）在区间上递增且最小值为5，则f（x）在上为（ ）．
A．增函数且最小值为－5B．增函数且最大值为－5
C．减函数且最小值为－5D．减函数且最大值为－5
解析：
由题意得f（3）＝5.由奇函数在y轴两侧对称区间内的单调性相同，排除C，D；f（x）在上是增函数，则此时最大值是f（－3）＝－f（3）＝－5，排除A.
答案：
B
7．幂函数y＝x－1和y＝x，直线y＝1和x＝1将平面直角坐标系第一象限分成八个“卦限”：
Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ（如图6所示），那么幂函数y＝x－
的图像在第一象限中经过的“卦限”是（ ）．
图6
A．Ⅳ，ⅦB．Ⅳ，Ⅷ
C．Ⅲ，ⅧD．Ⅲ，Ⅶ
解析：
幂函数y＝x－
的指数小于0，其图像在第一象限内不过Ⅰ，Ⅱ，Ⅴ，Ⅵ卦限，∵－
＜－1，∴在直线x＝1的右边，幂函数y＝x－
的图像在y＝x－1的下边，即过Ⅲ，Ⅶ卦限．
答案：
D
8．设函数y＝f（x）是奇函数．若f（－2）＋f（－1）－3＝f
（1）＋f
（2）＋3，则f
（1）＋f
（2）＝__________.
解析：
∵函数y＝f（x）是奇函数，∴f（－2）＝－f
（2），f（－1）＝－f
（1）．
∴－f
（2）－f
（1）－3＝f
（1）＋f
（2）＋3.∴2＝－6.∴f
（1）＋f
（2）＝－3.
答案：
－3
怎样判断分段函数的奇偶性？
探究：
理解分段函数与函数奇偶性的含义，通常利用定义法判断分段函数的奇偶性．在函数定义域内，对自变量x的不同取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数叫作分段函数．分段函数不是几个函数，而是一个函数．因此其判断方法也是先考察函数的定义域是否关于原点对称，然后判断f（－x）与f（x）的关系．首先要特别注意x与－x的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，f（x）与f（－x）对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较．
例如：
判断函数f（x）＝
的奇偶性．
解：
定义域是（－∞，0]∪（0，＋∞）＝R.
当x＞0时，有f（x）＝x（x－1），－x＜0，
∴f（－x）＝－（－x）（－x＋1）＝－x（x－1）＝－f（x）．
当x＜0时，f（x）＝－x（x＋1），－x＞0，
∴f（－x）＝－x（－x－1）＝x（x＋1）＝－f（x）．
当x＝0时，f（0）＝0，f（－0）＝0＝－f（0）．
综上所得，对x∈R，总有f（－x）＝－f（x）成立．∴f（x）是奇函数．
1．幂函数的概念．
2．函数的奇偶性．
习题2—5 A组1,2,3.
幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了二次函数之后的又一类基本的初等函数．学生已经有了学习二次函数的图像和性质的学习经历，幂函数概念的引入以及图像和性质的研究便水到渠成．因此，在本节教学设计过程中，引入幂函数的概念之后，尝试放手让学生自己进行合作探究学习．
函数对称性的探究
函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础．函数的性质是竞赛和高考的重点与热点，函数的对称性是函数的一个基本性质，对称关系不仅广泛存在于数学问题之中，而且利用对称性往往能更简捷地使问题得到解决，对称关系还充分体现了数学之美．本文拟通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性这两个方面来探讨函数与对称有关的性质．
一、函数自身的对称性探究
定理1.函数y＝f（x）的图像关于点A（a，b）对称的充要条件是f（x）＋f（2a－x）＝2b.
证明：
（必要性）设点P（x，y）是y＝f（x）图像上任一点，
∵点P（x，y）关于点A（a，b）的对称点P′（2a－x,2b－y）也在y＝f（x）图像上，
∴2b－y＝f（2a－x），
即y＋f（2a－x）＝2b.故f（x）＋f（2a－x）＝2b，必要性得证．
（充分性）设点P（x，y）是y＝f（x）图像上任一点，则y＝f（x）．
∵f（x）＋f（2a－x）＝2b，
∴2b－f（x）＝f（2a－x），即2b－y＝f（2a－x）．
故点P′（2a－x,2b－y）也在y＝f（x）图像上，
又点P与点P′关于点A（a，b）对称，充分性得证．
推论：
函数y＝f（x）的图像关于原点O对称的充要条件是f（x）＋f（－x）＝0.
定理2.函数y＝f（x）的图像关于直线x＝a对称的充要条件是f（a＋x）＝f（a－x），即f（x）＝f（2a－x）．
（证明留给读者）
推论：
函数y＝f（x）的图像关于y轴对称的充要条件是f（x）＝f（－x）．
定理3.①若函数y＝f（x）图像同时关于点A（a，c）和点B（b，c）成中心对称（a≠b），则y＝f（x）是周期函数，且2|a－b|是其一个周期．
②若函数y＝f（x）图像同时关于直线x＝a和直线x＝b成轴对称（a≠b），则y＝f（x）是周期函数，且2|a－b|是其一个周期．
③若函数y＝f（x）图像既关于点A（a，c）成中心对称又关于直线x＝b成轴对称（a≠b），则y＝f（x）是周期函数，且4|a－b|是其一个周期．
①②的证明留给读者，以下给出③的证明：
∵函数y＝f（x）图像关于点A（a，c）成中心对称，
∴f（x）＋f（2a－x）＝2c，用2b－x代x，得
f（2b－x）＋f＝2c.（*）
又∵函数y＝f（x）图像关于直线x＝b成轴对称，
∴f（2b－x）＝f（x），代入（*），得
f（x）＝2c－f，（**）
用2（a－b）＋x代x，得f＝2c－f，代入（**），得f（x）＝f，
故y＝f（x）是周期函数，且4|a－b|是其一个周期．
二、不同函数对称性的探究
定理4.函数y＝f（x）与y＝2b－f（2a－x）的图像关于点A（a，b）成中心对称．
定理5.①函数y＝f（x）与y＝f（2a－x）的图像关于直线x＝a成轴对称．
②函数y＝f（x）与a－x＝f（a－y）的图像关于直线x＋y＝a成轴对称．
③函数y＝f（x）与x－a＝f（y＋a）的图像关于直线x－y＝a成轴对称．
定理4与定理5中①②的证明留给读者，现证定理5中的③.
设点P（x0，y0）是y＝f（x）图像上任一点，则y0＝f（x0）．
记点P（x，y）关于直线x－y＝a的轴对称点为P′（x1，y1），则x1＝a＋y0，y1＝x0－a.
∴x0＝a＋y1，y0＝x1－a，代入y0＝f（x0）之中，得x1－a＝f（a＋y1），
∴点P′（x1，y1）在函数x－a＝f（y＋a）的图像上．
同理可证：
函数x－a＝f（y＋a）的图像上任一点关于直线x－y＝a的轴对称点也在函数y＝f（x）的图像上．
故定理5中的③成立．
推论：
函数y＝f（x）的图像与x＝f（y）的图像关于直线x＝y成轴对称．
三、函数对称性应用举例
例1定义在R上的非常数函数f（x）满足：
f（10＋x）为偶函数，且f（5－x）＝f（5＋x），则f（x）一定是（ ）．
A．偶函数，也是周期函数B．偶函数，但不是周期函数
C．奇函数，也是周期函数D．奇函数，但不是周期函数
解析：
∵f（10＋x）为偶函数，
∴f（10＋x）＝f（10－x）．
∴f（x）有两条对称轴x＝5与x＝10.
因此f（x）是以10为其一个周期的周期函数．
∴x＝0即y轴也是f（x）的对称轴．
因此f（x）还是一个偶函数．
答案：
A
例2设f（x）是定义在R上的偶函数，且f（1＋x）＝f（1－x），当－1≤x≤0时，f（x）＝－
x，则f（8.6）＝__________.
解析：
∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴x＝0是y＝f（x）的对称轴；
又∵f（1＋x）＝f（1－x），∴x＝1也是y＝f（x）的对称轴．
故y＝f（x）是以2为周期的周期函数．
∴f（8.6）＝f（8＋0.6）＝f（0.6）＝f（－0.6）＝0.3.
答案：
0.3
例3函数y＝f（x）的图像为C，而C关于直线x＝1对称的图像为C1，将C1向左平移1个单位后得到的图像为C2，则C2所对应的函数为（ ）．
A．y＝f（－x）B．y＝f（1－x）
C．y＝f（2－x）D．y＝f（3－x）
解析：
C关于直线x＝1对称的图像为C1的解析式为y＝f（2－x），C1向左平移1个单位后得到的图像为C2的解析式为y＝f（2－（x＋1）），即y＝f（1－x）．
答案：
B
（设计者 方诚心）
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