材料成型的数值模拟.ppt

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材料成型数值模拟1精选版ppt第一讲材料成形数值模拟概述1.引言2.工程意义及应用现状3.发展趋势4.课程要求、进度安排2精选版ppt第一讲材料成形数值模拟概述1.引言2.工程意义及应用现状3.发展趋势4.课程要求、进度安排3精选版ppt塑性加工研究的两类方法塑性加工研究的两类方法金属塑性成形金属塑性成形生产效率高产品质量稳定原材料消耗少有效改善金属的组织和力学性能75的钢材70的汽车零部件优点：

缺点：

以经验和知识为依据、以“试错”为基本方法4精选版ppt虚拟制造虚拟制造将虚拟制造技术应用于塑性加工全过程，其中的成形过程虚拟仿真（模拟分析）最为重要。

对成形过程的虚拟仿真，可以在模具加工之前，检验模具关键工作部分形状和尺寸设计的合理性，分析材料的流动规律，预测是否产生缺陷，此外还可以对其他工艺参数进行优化分析。

这样就可以确保工艺、设计和模具制造一次成功，主要问题在设计阶段就完全解决，使塑性加工进入以模型化、最优化、和柔性化为特征的工程科学阶段，提高塑性加工行业的科学化水平。

概念：

在计算机内构造虚拟的生产系统模型，进行实际生产过程的模拟。

5精选版ppt塑性加工工艺特点塑性加工工艺特点加工工艺的多样性变形行为的复杂性变形机理的复杂性变形金属材料性能的可变性接触界面与摩擦作用锻造冲压轧制挤压拉拔6精选版ppt塑性加工工艺模拟分析方法解析法实验/解析法相似理论法视塑性法数值法有限元法有限差分法边界元法工程法（Slab法，主应力法）滑移线法（Slipline）上限法（Upperbound）（下限法）、上限单元法（UBET）有限单元法（FEM,FiniteElementMethod）7精选版ppt什么是CAE？

CAE是什么意思?

计算机辅助工程（CAE）是以工程和科学问题为背景，建立计算模型并进行计算机仿真分析。

一方面，CAE技术的应用，使许多过去受条件限制无法分析的复杂问题，通过计算机数值模拟得到满意的解答。

另一方面，计算机辅助分析使大量繁杂的工程分析问题简单化，使复杂的过程层次化，节省了大量的时间，避免了低水平重复的工作，使工程分析更快、更准确。

在产品的设计、分析、新产品的开发等方面发挥了重要作用，同时CAE这一新兴的数值模拟分析技术在国外得到了迅猛发展，技术的发展又推动了许多相关的基础学科和应用科学的进步。

8精选版pptCAE技术的应用8月17日，北京奥运会游泳比赛项目在“水立方”落下帷幕，9天内，我们见证了19项新的世界纪录和7项新的奥运会纪录的诞生，见证了泳坛巨星菲尔普斯身着“鲨鱼皮”泳衣勇夺8金的奥运传奇。

9精选版pptCAE技术铸就“鲨鱼皮”我们知道水的阻力是运动员提高游泳速度的最大障碍，它的流动方式是决定泳速的关键因素，因此降低水的阻力自然成为帮助游泳运动员提高成绩的最有效途径，它同时也是最具难度的一项工作。

而应用CAE仿真技术的“鲨鱼皮”泳衣却令人难以置信地比普通泳衣的阻力低38%!

10精选版pptCAE技术帮助研究人员获取关于泳衣表面和形体阻力的理想方案。

运动员要求理想的泳衣实现水中运动过程尽可能平滑和不受到干扰，通过采用FLUENT数值分析，研究人员得到泳衣各部位的阻力特性，并在高阻力区域布置低磨擦材料，从而使运动员在水中尽可能地产生减少阻力的流体动力。

11精选版ppt研究人员使用FLUENT软件分析的仿真数据，精确定位运动员在水中身体的高磨擦区，通过CAE技术寻找游泳运动员在水中身体最大阻力的位置，然后在该部位采用低磨擦材料进行设计。

12精选版pptFelt赛车结构设计Felt赛车公司借助CFdesign设计出的自行车称为“从未见过的最具空气动力学特性的自行车”，并且赢得了一系列世界重大赛事。

13精选版ppt型号：

B2-pro材料：

碳纤维重量：

7.58Kg14精选版pptANSYS在国家体育场设计中的应用国家体育场是2008年第29届奥运会的主体育场，承担奥运会开、闭幕式与田径比赛，总建筑面积约为25万m2。

建筑的设计使用年限为100年，其“鸟巢”结构将成为北京市的重要标志性建筑。

该建筑地面以上平面呈椭圆型，长轴为332.3m，短轴为296.4m。

主体结构由钢筋混凝土看台与带有可开合屋盖的大跨度钢屋盖两部分构成。

屋盖的主结构由48榀桁架与中间环梁构成，支承在周边24根组合柱之上。

屋盖的顶面呈鞍形，最高点高度为68.5m，最低点高度为42.8m。

主桁架围绕屋盖中部的环梁放射形布置，与屋面及立面的次结构一起形成了“鸟巢”的特殊建筑造型，主场看台部分采用钢筋混凝土框架剪力墙结构体系，与大跨度钢结构完全脱开。

15精选版ppt16精选版pptCAE在焊接结构上的应用MSC.MARC17精选版ppt本课程学习基础及方法应用CAE仿真分析软件是一项比较复杂、对使用者要求相对较高的技术。

要求软件的使用者首先要具备以下的背景知识及一定的工程实践经验，基础包括：

1.CAD/CAE/CAM的基础知识2.具有一定的有限元分析方法的理论知识3.锻造，冲压和焊接工艺基础及模具设计的理论4.具备能熟练使用某一三维CAD软件进行三维造型的能力（ProE、UG、Solidworks、CATIA）5.具备一定的专业外语阅读水平6.具备一定的计算机基本操作技能18精选版ppt第一讲材料成形数值模拟概述1.引言2.工程意义及应用现状3.发展趋势4.课程要求、进度安排19精选版ppt应用现状20精选版ppt计算机模拟促进了热加工工艺改进大型船用曲轴锻造数值模拟研究21精选版ppt22精选版ppt计算机模拟促进了热加工工艺改进大型船用曲轴锻造数值模拟研究23精选版ppt计算机模拟促进了热加工节能降耗大型轴类锻件倒棱滚圆过程的数值模拟研究初始坯料形状、不同型砧（平砧、90V砧和120V砧）倒棱后锻件形状、以及120V砧滚圆后形状24精选版ppt计算机模拟促进了热加工节能降耗大型轴类锻件倒棱滚圆过程的数值模拟研究不同型砧下的锻件倒棱、滚圆后的断面形状精度25精选版ppt计算机模拟促进了热加工节能降耗多工步成形中的空洞型缺陷演化大型长方体钢锭平砧拔长后的空洞闭合情况（外观图和剖面图）基于空洞演化的体胞模型，通过数值模拟可以为锻件“控性”提供理论分析基础，也为新工艺的创成提供了依据。

26精选版ppt计算机模拟促进了热加工节能降耗汽车传动系统锻件的飞边余量27精选版ppt计算机模拟促进了热加工节能降耗汽车传动系统锻件的飞边余量50某汽车传动系统锻件的飞边余量原来占到总重量的约50%，经过计算机模拟，改进了锻造工25艺设计，使飞边余量降低到25%，通过节省原材料降低了能耗。

飞边余量的降低百分比28精选版ppt计算机模拟促进了热加工节能降耗，还保证了产品质量大型合金钢模块P20大模块预冷水淬自回火水淬自回火处理后珠光体分布云图29精选版ppt国家体育馆空间结构梁焊接变形隔板66第4段第3段外侧腹板隔板22a隔板38隔板39隔板41第2段上翼板内侧腹板下翼板隔板B1隔板37隔板编号示意图隔板焊缝G4第1段结构整体示意图隔板焊缝G1隔板焊缝G2隔板焊缝G3主焊缝Z1主焊缝Z2焊缝的空间分布及编号图主焊缝Z4主焊缝Z3注：

隔板焊缝编号以一个隔板为例，其余隔板相同。

30精选版pptperature（C）Temp宁德项目2#反应堆压力容器接管段温度700应力600500400300200WELD2WELD1modifieddesignTemperatureinweldvicinity050100150200250300350400100Distance（mm）焊接残余应力与焊缝布置31精选版ppt核电装备堆内构件应力槽计算32精选版pptisplacement（mDimm）斜接管交换器焊接变形预测0.50firstsecondthirdfourthb0.200.450.400.350.300.25内环2内环1内环30.100.050.15外环2a外环102004006008001000120014001600180020000.00Distanceinaxialdirection（mm）33精选版ppt真空高压气淬炉流场温度场模拟真空炉实体真空炉模型炉内流场工件内部温度场34精选版ppt第一讲材料成形数值模拟概述1.引言2.工程意义及应用现状3.发展趋势4.课程要求、进度安排35精选版pptl宏观-微观l多物理场耦合l数值模拟在特种成成形中的应用范围不断拓宽l基础性研究增大l反向模拟技术l模拟软件l协同工作l模拟结果与设备控制的关联36精选版ppt第一讲材料成形数值模拟概述1.引言2.工程意义及应用现状3.发展趋势4.课程要求、进度安排37精选版ppt1.教材：

傅建主编.材料成形过程数值模拟.化学工业出版社，20092.参考书目：

刘劲松;张士宏;肖寒;李毅波.MSC.MARC在材料加工工程中的应用.中国水利水电出版社,2010陈立亮主编材料加工CAD/CAE/CAM技术基础机械工业出版社，2006董湘怀主编材料成形计算机模拟机械工业出版社出版社，2002辛啟斌编著材料成形计算机模拟冶金工业出版社，2005张凯锋主编材料热加工过程的数值模拟哈尔滨工业大学出版社，2001牛济泰主编材料和热加工领域的物理模拟技术国防工业出版社，199938精选版ppt3.教学软件：

DeformDynaformMarc4.教学内容：

基本内容包括基本内容包括：

有限元与有限差分法基础、应用数值方法模拟材料成形的一般步骤，金属冲压成形中的数值模拟，金属锻压成形中的数值模拟，金属焊接成形中的数值模拟等。

课程重点：

课程重点：

金属冲压、锻压、焊接成型过程的数值模拟。

课程难点：

课程难点：

非线性有限单元法、刚（黏）塑性有限元法、数值解的解的收敛性与误差控制、热力耦合分析。

39精选版ppt第二讲有限元与有限差分法基础CAE的工具：

有限元法（FEM）、有限差分法（FDM）、边界元法（BEM）、有限体积法（FVM）、无网格法等等在材料成形的CAE中主要使用的是有限元法、有限差分和有限体积法。

40精选版ppt“有限元法有限元法”的基本思想基本思想早在20世纪40年代初期就有人提出，但真正用于工程中则是电子计算机出现以后。

“有限元法有限元法”这一名称是1960年美国的克拉夫（Clough，R.W.）在一篇题为“平面应力分析的有限元法”论文中首先使用。

此后，有限元法的应用得到蓬勃发展。

到20世纪80年代初期国际上较大型的结构分析有限元通用程序多达几百种，从而为工程应用提供了方便条件。

由于有限元通用程序使用方便，计算精度高，其计算结果已成为各类工业产品设计和性能分析的可靠依据。

41精选版ppt有限元法有限元法最初用于飞机结构的强度设计强度设计，由于它在理论上的通用性，因而它可用于解决工程中的许多问题。

目前，它可以解决几乎所有的连续介质和场的问题，包括热传导、电磁场、流体动力学、地质力学、原子工程和生物医学等方面的问题。

机械设计机械设计中，从齿轮、轴、轴承等通用零部件到机床、汽车、飞机等复杂结构的应力和变形分析（包括热应力和热变形分析）。

有限元法有限元法不仅可以解决工程中的线性问题、非线性问题，而且对于各种不同性质的固体材料，如各向同性和各向异性材料，粘弹性和粘塑性材料以及流体均能求解；对于工程中最有普遍意义的非稳态问题也能求解。

42精选版ppt2.1有限元法基础基本思想：

基本思想：

将一个连续求解域（对象）离散（剖分）成有限个形状简单的子域（单元）利用有限个节点将各子域连接起来在给定的初始条件和边界条件下进行综合计算求解，从而获得对复杂工程问题的近似数值解43精选版ppt为什么要离散？

为什么要离散？

1.无法得到复杂实际问题的解析解2.将域划分成一些微小而形状规则的单元后，便于在一个单元内得到近似解3.域中所有单元的解可视为该复杂问题的近似解44精选版ppt有限元分析的过程1.连续体离散化2.单元分析3.整体分析4.确定约束条件5.方程求解6.结果分析与讨论45精选版ppt1.连续体离散化连续体：

是指所求解的对象（如物体或结构）。

离散化（划分网格或网络化）：

是将所求解的对象划分为有限个具有规则形状的微小块体，把每个微小块体称为单元，相邻两个单元之间只通过若干点互相连接，每个连接点称为节点。

相邻单元只在节点处连接，载荷也只通过节点在各单元之间传递，这些有限个单元的集合体，即原来的连续体。

*单元划分后，给每个单元及节点进行编号；*选定坐标系，计算各个节点坐标；*确定各个单元的形态和性态参数以及边界条件等。

46精选版ppt单元的划分单元的划分基本上是任意的，一个结构体可以有多种划多种划分结果分结果。

但应遵循以下划分原则：

（1）分析清楚所讨论对象的性质，例如，是桁架结构还是结构物，是平面问题还是空间问题等等。

（2）单元的几何形状取决于结构特点和受力情况，单元的几何尺寸（大小）要按照要求确定。

一般来说，单元几何形体各边的长度比不能相差太大。

（3）有限元模型的网格划分越密，其计算结果越精确，但计算工作量就越大。

因此，在保证计算精度的前提下，单元网格数量应尽量少。

（4）在进行网格疏密布局时，应力集中或变形较大的部位，单元网格应取小一些，网格应划分得密一些，而其他部分则可疏一些。

47精选版ppt（5）在设计对象的厚度或者弹性系数有突变的情况下，应该取相应的突变线作为网格的边界线；（6）相邻单元的边界必须相容，不能从一单元的边或者面的内部产生另一个单元的顶点。

（7）网格划分后，要将全部单元和节点按顺序编号，不允许有错漏或者重复。

（8）划分的单元集合成整体后，应精确逼近原设计对象。

原设计对象的各个顶点都应该取成单元的顶点。

所有网格的表面顶点都应该在原设计对象的表面上。

所有原设计对象的边和面都应被单元的边和面所逼近。

48精选版ppt有限元分析模型图例将悬臂梁划分为许多三角形单元三角形单元的三个顶点都是节点载荷直接施加在节点上悬臂梁及其有限元模型49精选版ppt2.单元分析连续体离散化后，即可对单元体进行特性分析，简称为单元分析。

单元分析工作主要有两项：

（1）选择单元位移模式（位移函数）用节点位移来表示单元体内任一点的位移、应变和应力，就需搞清各单元中的位移分布。

一般是假定单元位移是坐标的某种简单函数，用其模拟内位移的分布规律，这种函数就称为位移模式或位移函数。

通常采用的函数形式多为多项式。

根据所选定的位移模式，就可以导出用节点位移来表示单元体内任一点位移的关系式。

50精选版ppt2.单元分析

（2）

（2）分析单元的特性，建立单元刚度矩阵进行单元力学特性分析，将作用在单元上的所有力（表面力、体积力、集中力）等效地移置为节点载荷；采用有关的力学原理建立单元的平衡方程，求得单元内节点位移与节点力之间的关系矩阵单元刚度矩阵。

51精选版ppt3.整体分析把各个单元的刚度矩阵集成为总体刚度矩阵，以及将各单元的节点力向量集成总的力向量，求得整体平衡方程。

集成过程所依据的原理是节点变形协调条件和平衡条件。

52精选版ppt4.确定约束条件由上述所形成的整体平衡方程是一组线性代数方程，在求解之前，必修根据具体情况分析，确定求解对象问题的边界约束条件，并对这些方程进行适当修正。

53精选版ppt5.有限元方程求解应用有限元法求解机械结构应力类问题时，根据未知量和分析有三种基本解法：

位移法力法混合法54精选版ppt

（1）位移法以节点位移作为基本未知量，通过选择适当的位移函数，进行单元的力学特性分析。

在节点处建立单元刚度方程，再组合成整体刚度矩阵，求解出节点位移后，进而由节点位移求解出应力。

位移法优点是比较简单，规律性强，易于编写计算机程序。

所以得到广泛应用，其缺点是精度稍低。

（2）力法以节点力作为基本未知量，在节点处建立位移连续方程，求解出节点力后，再求解节点位移和单元应力。

力法的特点是计算精度高。

（3）混合法取一部分节点位移和一部分节点力作为基本未知量，建立平衡方程进行求解。

55精选版ppt单元特性的推导方法单元刚度矩阵单元刚度矩阵的推导是有限元分析有限元分析的基本步骤之一。

目前，建立单元刚度矩阵的方法主要有以下四种：

直接刚度法虚功原理法能量变分法加权残数法56精选版ppt1.直接刚度法直接刚度法直接刚度法直接刚度法是直接应用物理概念来建立单元的有限元方程和分析单元特性的一种方法。

这一方法仅能适用于简单形状的单元，如梁单元。

但它可以帮助理解有限元法的物理概念。

图1所示是xoy平面中的一简支梁简图简支梁简图，现以它为例，来说明用直接刚度法直接刚度法建立单元刚度矩阵的思想和过程。

图1平面简支梁元及其计算模型57精选版ppt梁在横向外载荷（可以是集中力或分布力或力矩等）作用下产生弯曲变形，在水平载荷作用下产生线位移。

对于该平面简支梁问题：

梁上任一点受有三个力的作用：

水平力Fx，剪切力Fy，弯矩Mz。

相应的位移为：

水平线位移u，挠度v，转角z。

由上图可见：

水平线位移和水平力向右为正，挠度和剪切力向上为正，转角和弯矩逆时针方向为正。

通常规定：

58精选版ppt为使问题简化，可把图示的梁看作是一个梁单元。

如图1所示，当令左支承点为节点i，右支承点为节点j时，则该单元的节点位移和节点力可以分别表示为：

称为单元的节点位移列阵。

称为单元的节点力列阵单元的节点力列阵；若F为外载荷外载荷，则称为载荷列阵。

（1-1）（1-2）写成矩阵形式为q（e）=ui,vi,zi,vj,uj,zjTui,vi,zi,vj,uj,zjF（e）=Fxi,Fyi,Mzi,Fxj,Fyj,MzjTFxi,Fyi,Mzi,Fxj,Fyj,Mzj59精选版ppt显然，梁的节点力和节点位移是有联系的。

在弹性小变形范围内，这种关系是线性的，可用下式表示或（1-3b）（1-3a）60精选版ppt上式（1-3b）称为单元有限元方程单元有限元方程，或称为单元刚度方程，它代表了单元的载荷与位移之间（或力与变形之间）的联系；式中，K（e）称为单元刚度矩阵，它是单元的特性矩阵。

对于图1所示的平面梁单元问题，利用材料力学中的杆件受力与变形间的关系及叠加原理，可以直接计算出单元刚度矩阵K（e）中的各系数kst（s,t=i,j）的数值61精选版ppt2.虚功原理法虚功原理法下面以平面问题中的三角形单元为例，说明利用虚功原理法来建立单元刚度矩阵的步骤。

如前所述，将一个连续的弹性体分割为一定形状和数量的单元，从而使连续体转换为有限个单元组成的组合体。

单元与单元之间仅通过节点连结，除此之外再无其他连结。

也就是说，一个单元上的只能通过节点传递到相邻单元。

从分析对象的组合体中任取一个三角形单元：

设其编号为e，三个节点的编号为i、j、m，在定义的坐标系xoy中，节点坐标分别为（xj,yj）、（xi,yi）、（xm,ym），如图2所示。

图2三节点三角形单元62精选版ppt由弹性力学平面问题的特点可知，单元每个节点单元每个节点有两个位移分量，即每个单元有6个自由度，相应有6个节点载荷，写成矩阵形式，即单元节点载荷矩阵：

F（e）=Fxi,Fyi,Fxj,Fyj,Fxm,FymT单元节点位移矩阵：

q（e）=ui,vi,uj,vj,um,vmT图2三节点三角形单元63精选版ppt

（1）设定位移函数按照有限元法的基本思想：

首先需设定一种函数来近似表达单元内部的实际位移分布，称为位移函数，或位移模式。

三节点三角形单元有6个自由度，可以确定6个待定系数，故三角形单元的位移函数为（1-4）式（1-4）为线性多项式，称为线性位移函数，相应的单元称为线性单元。

u=u（x,y）=1+2x+3yv=v（x,y）=4+5x+6y64精选版ppt上式（5-5）也可用矩阵形式表示，即式中，d为单元内任意点的位移列阵。

（1-5）65精选版ppt由于节点i、j、m在单元上，它们的位移自然也就满足位移函数式（1-4）。

设三个节点的位移值分别为（ui,vi）、（uj,vj）、（um,vm），将节点位移和节点坐标代入式（1-4），得66精选版ppt（1-6）式中（1-7）由上可知，共有6个方程，可以求出6个待定系数。

解方程，求得各待定系数和节点位移之间的表达式为为三角形单元的面积。

其中：

67精选版ppt（1-8）将式（1-7）及式（1-8）、式（1-9）代入式（1-6）中，得到（1-9）（1-10）68精选版ppt式中，矩阵N称为单元的形函数矩阵；为单元节点位移列阵。

其中，为单元的形函数，它们反映单元内位移的分布形态，是x,y坐标的连续函数，且有（1-11）式（1-10）又可以写成（1-12）上式清楚地表示了单元内任意点位移可由节点位移插值求出。

69精选版ppt

（2）利用几何方程由位移函数求应变根据弹性力学的几何方程，线应变剪切应变则应变列阵可以写成式中，B称为单元应变矩阵，它是仅与单元几何尺寸有关的常量矩阵，即（1-13）70精选版ppt（1-14）上述方程（1-13）称为单元应变方程，它的意义在于：

单元内任意点的应变分量亦可用基本未知量即节点位移分量来表示。

71精选版ppt（3）利用广义虎克定律求出单元应力方程根据广义虎克定律，对于平面应力问题上式（1-15）也可写成（1-15）（1-16）式中，为应力列阵；D称为弹性力学平面问题的弹性矩阵，并有72精选版ppt则有如下单元应力方程由式（1-18）可求单元内任意点的应力分量，它也可用基本未知量即节点位移分量来表示。

（1-17）（1-18）73精选版ppt（4）由虚功原理求单元刚度矩阵根据虚功原理，当弹性结构受到外载荷作用处于平衡状态时，在任意给出的微小的虚位移上，外力在虚位移上所做的虚功AF等于结构内应力在虚应变上所存储的虚变形势能A，即设处于平衡状态的弹性结构内任一单元发生一个微小的虚位移，则单元各节点的虚位移为（1-20）（1-21）（1-19）则单元内部必定产生相应的虚应变，故单元内任一点的虚应变为74精选版ppt显然，虚应变和虚位移之间关系为设节点力为则外力虚功为（1-24）（1-22）（1-23）单元内的虚变形势能为75精选版ppt根据虚功原理因为（1-26）（1-25）代人式（1-25），则有式中，均与坐标x,y无关，故可以从积分符号中提出，可得：

76精选版ppt其中，单元刚度矩阵（1-27）式（1-27）称为单元有限元方程，或称单元刚度方程，其中是单元刚度矩阵。

（1-28）因为三角形单元是常应变单元，其应变矩阵B、弹性矩阵D均为常量，而，所以式（1-28）可以写成（1-29）77精选版ppt式中，t为三角形单元的厚度；为三角形单元的面积。

对于图2所示的三角形单元，将D及B代入式（1-28），可以得到单元刚度为（1-30）式中:

K为66阶矩阵，其中每个子矩阵为22阶矩阵，由下式给出（1-31）78精选版ppt按照力学的一般说法，任何一个实际状态的弹性体的总位能弹性体的总位能是这个系统从实际状态运动到某一参考状态（通常取弹性体外载荷为零时状态为参考状态）时它的所有作用力所做的功它的所有作用力所做的功。

弹性体的总位能是一个函数的函数，即泛函，位移是泛函的容许函数。

从能量原理能量原理考虑，变形弹性体受外力作用处于平衡状态时，在很多可能的变形状态中，使总位能最小的就是弹性体的真正变形，这就是最小位能原理。

用变分法变分法求能量泛函的极值方法就是能量变分原理。

能量变分原理除了可解机械结构位移场问题以外，还扩展到求解热传导、电磁场、流体力学等连续性问题。

3.能量变分原理法79精选版ppt该方法是将假设的场变量的函数（称为试函数）引入问题的控制方程式及边界条件，利用最小二乘法等方法使残差最小，便得到近似的场变量函数形式。

该方法的优点是不需要建立要解决问题的泛函式，所以，即使没有泛函表达式也能解题。

4.加权残数法80精选版ppt有限元解的收敛性有限元解的收敛性有限元解是近似解近似解是否收敛于真实解、近似解收敛速度、近似解的稳定性近似解的收敛条件:

1.完备性准则（必要条件）试探函数（插值函数）的次数（m）不小于场函数的最高可导阶数2.协调性准则（充分条件）试探函数在m-1次连续可导。

81精选版ppt有限元分析的误