高中数学复习提升第一部分专题三第一讲 空间几何体的线面关系.docx
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高中数学复习提升第一部分专题三第一讲空间几何体的线面关系
专题·限时训练 单独成册
A卷 小题提速练
A组 巩固提升练（建议用时：
30分钟）
一、选择题
1．（2017·郑州模拟）设α，β分别为两个不同的平面，直线l⊂α，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：
依题意，由l⊥β，l⊂α可以推出α⊥β；反过来，由α⊥β，l⊂α不能推出l⊥β.因此“l⊥β”是“α⊥β”成立的充分不必要条件，选A.
答案：
A
2．l1，l2，l3是空间中三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）
A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面
D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面
解析：
在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两平行线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错．
答案：
B
3．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则以下选项正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m∥α，m∥β，则α∥β
C．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
D．若m∥α，α⊥β，则m⊥β
解析：
A项，当m∥α，n∥α时，m，n可能平行，可能相交，也可能异面，故错误；
B项，当m∥α，m∥β，α，β可能平行也可能相交，故错误；
C项，当m∥n，m⊥α时，n⊥α，故正确；
D项，当m∥α，α⊥β时，m可能与β平行，可能在β内，也可能与β相交，故错误．
答案：
C
4．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β”是“α∥β”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：
当m∥β时，过m的平面α与β可能平行也可能相交，因而m∥β
α∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m⊂α，所以m∥β.综上知，“m∥β”是“α∥β”的必要而不充分条件．
答案：
B
5．（2017·福州质检）“直线l垂直于平面α”的一个必要不充分条件是（ ）
A．直线l与平面α内的任意一条直线垂直
B．过直线l的任意一个平面与平面α垂直
C．存在平行于直线l的直线与平面α垂直
D．经过直线l的某一个平面与平面α垂直
解析：
A，B，C均为充要条件，因为“直线l垂直于平面α”可以推得“经过直线l的某一个平面与平面α垂直”，反之未必成立，故选D.
答案：
D
6．（2017·菏泽模拟）如图所示的三棱柱ABCA1B1C1中，过A1B1的平面与平面ABC交于DE，则DE与AB的位置关系是（ ）
A．异面 B．平行
C．相交D．以上均有可能
答案：
B
7．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，点E，F分别为AD，CD的中点，若过EF作平行于平面AB1C的平面，则所作平面在正方体表面截得的图形的周长为（ ）
A．6
B．
＋2
C．3
D．2
＋2
答案：
A
8．已知点E，F分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，AA1的中点，点M，N分别是线段D1E与C1F上的点，则满足与平面ABCD平行的直线MN有（ ）
A．0条B．1条
C．2条D．无数条
答案：
D
9．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M，N分别在AB1，BC1上，且AM＝
AB1，BN＝
BC1.给出下列结论：
①AA1⊥MN；②A1C1∥MN；③MN∥平面A1B1C1D1；④B1D1⊥MN.其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2
C．3D．4
答案：
B
10．直线m，n均不在平面α，β内，给出下列命题：
①若m∥n，n∥α，则m∥α；②若m∥β，α∥β，则m∥α；③若m⊥n，n⊥α，则m∥α；④若m⊥β，α⊥β，则m∥α.其中正确命题的个数是（ ）
A．1B．2
C．3D．4
解析：
由空间直线与平面平行关系可知①正确；由空间直线与平面平行关系可知②正确；由线面垂直，线面平行的判定和性质可知③正确；由线面垂直，面面垂直可知④正确，故选D.
答案：
D
11．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
B．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α∥β
C．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β
D．若m∥α，n⊥β，m∥n，则α∥β
解析：
当m∥α，n⊥β，m⊥n时，α，β可能垂直，可能相交也可能平行，故选项A，B错误；如图所示，由m∥n，得m，n确定一个平面γ，设平面γ交平面α于直线l，因为m∥α，所以m∥l，l∥n，又n⊥β，所以l⊥β，又l⊂α，所以α⊥β，故选项C正确，D错误，故选C.
答案：
C
12．已知α，β是两个不同的平面，有下列三个条件：
①存在一个平面γ，γ⊥α，γ∥β；
②存在一条直线a，a⊂α，a⊥β；
③存在两条垂直的直线a，b，a⊥β，b⊥α.
其中，所有能成为“α⊥β”的充要条件的序号是（ ）
A．①B．②
C．③D．①③
解析：
对于①，存在一个平面γ，γ⊥α，γ∥β，则α⊥β，反之也成立，即“存在一个平面γ，γ⊥α，γ∥β”是“α⊥β”的充要条件，所以①对，可排除B、C.
对于③，存在两条垂直的直线a，b，则直线a，b所成的角为90°，因为α⊥β，b⊥α，所以α，β所成的角为90°，即α⊥β，反之也成立，即“存在两条垂直的直线a，b，a⊥β，b⊥α”是“α⊥β”的充要条件，所以③对，可排除A，选D.
答案：
D
二、填空题
13．（2017·合肥检测）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，有以下四个命题．
①
⇒β∥γ；②
⇒m⊥β.
③
⇒α⊥β；④
⇒m∥α.
其中正确的命题是________．
解析：
对于②，直线m与平面β可能平行或相交或在平面内；对于④，直线m可能也在平面α内．而①③都是正确的命题．
答案：
①③
14．设α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，给出下列四个命题：
①若n⊂α，n∥β，α∩β＝m，则n∥m；
②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；
③若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β；
④若m⊥α，α⊥β，m∥n，则n∥β.
其中正确的命题序号为________．
解析：
逐个判断．由线面平行的性质定理知①正确；由面面平行的判定定理知直线m，n相交时才成立，所以②错误；由面面垂直的性质定理知③正确；④中，可以是n⊂β，所以④错误，即正确命题是①③.
答案：
①③
15．若α，β是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为________（写出所有真命题的序号）．
①若直线m⊥α，则在平面β内，一定不存在与直线m平行的直线；
②若直线m⊥α，则在平面β内，一定存在无数条直线与直线m垂直；
③若直线m⊂α，则在平面β内，不一定存在与直线m垂直的直线；
④若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线．
解析：
对于①，若直线m⊥α，如果α，β互相垂直，则在平面β内，存在与直线m平行的直线，故①错误；
对于②，若直线m⊥α，则直线m垂直于平面α内的所有直线，在平面β内存在无数条与交线平行的直线，这无数条直线均与直线m垂直，故②正确；
对于③，④，若直线m⊂α，则在平面β内，一定存在与直线m垂直的直线，故③错误，④正确．
答案：
②④
16．设x，y，z为空间不同的直线或不同的平面，且直线不在平面内，下列说法中能保证“若x⊥z，y⊥z，则x∥y”为真命题的序号为________．
①x为直线，y，z为平面；
②x，y，z都为平面；
③x，y为直线，z为平面；
④x，y，z都为直线；
⑤x，y为平面，z为直线．
解析：
①x⊥平面z，平面y⊥平面z，
∴x∥平面y或x⊂平面y.
又∵x⊄平面y，故x∥y，①成立；
②x，y，z均为平面，则x可与y相交，故②不成立；
③x⊥z，y⊥z，x，y为不同直线，故x∥y，③成立；
④x，y，z均为直线，则x与y可平行，可异面，也可相交，故④不成立；
⑤z⊥x，z⊥y，z为直线，x，y为平面，所以x∥y，⑤成立．
答案：
①③⑤
B组 “12＋4”组合练（建议用时：
45分钟）
一、选择题
1．若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是（ ）
A．α内所有的直线都与a异面
B．α内不存在与a平行的直线
C．α内所有的直线都与a相交
D．直线a与平面α有公共点
解析：
根据线面位置关系可以得到直线a与平面α相交或在平面α内，易知D正确．
答案：
D
2．设α，β，γ为不同的平面，m，n，l为不同的直线，则m⊥β的一个充分条件为（ ）
A．α⊥β，α∩β＝l，m⊥l
B．α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γ
C．α⊥γ，β⊥γ，m⊥α
D．n⊥α，n⊥β，m⊥α
解析：
对于A，α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，缺少条件m⊂α，故不正确；对于B；α∩γ＝m，α⊥γ，β⊥γ，则α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；对于C，α⊥γ，β⊥γ，则α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；对于D，n⊥α，n⊥β，则α∥β，又m⊥α，则m⊥β，故正确，故选D.
答案：
D
3.如图，在三棱锥DABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是（ ）
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BCD
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE
解析：
因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理，DE⊥AC，由于DE∩BE＝E，于是AC⊥平面BDE.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC⊂平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故选C.
答案：
C
4．（2017·天津模拟）如图所示，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在（ ）
A．直线AB上B．直线BC上
C．直线AC上D．△ABC内部
解析：
∵∠BAC＝90°，∴AB⊥AC，
又AC⊥BC1，BC1∩AB＝B，
∴AC⊥平面ABC1，
又AC⊂平面ABC，
∴平面ABC⊥平面ABC1.
∵平面ABC1∩平面ABC＝AB，
∴点C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上，故选A.
答案：
A
5．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P点在△AEF内的射影为O，则下列说法正确的是（ ）
A．O是△AEF的垂心
B．O是△AEF的内心
C．O是△AEF的外心
D．O是△AEF的重心
解析：
由题意可知PA、PE、PF两两垂直，
所以PA⊥平面PEF，从而PA⊥EF，
而PO⊥平面AEF，则PO⊥EF，因为PO∩PA＝P，
所以EF⊥平面PAO，
∴EF⊥AO，同理可知AE⊥FO，AF⊥EO，
∴O为△AEF的垂心．故选A.
答案：
A
6．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A．m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n
B．m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n
C．m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β
D．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
答案：
A
7．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，且m∥α，n⊂β，则下列叙述正确的是（ ）
A．若α∥β，则m∥n
B．若m∥n，则α∥β
C．若n⊥α，则m⊥β
D．若m⊥β，则α⊥β
答案：
D
8．在空间中，a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则真命题是（ ）
A．若a∥α，b∥α，则a∥b
B．若a⊂α，b⊂β，α⊥β，则a⊥b
C．若a∥α，a∥b，则b∥α
D．若α∥β，a⊂α，则a∥β
答案：
D
9．已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线m，n，则下列四个命题中不正确的是（ ）
A．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
B．若m⊥α，m⊥β，则α∥β
C．若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β
D．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n
答案：
D
10．若m，n为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，给出下列命题：
①若m∥α，m∥β，则α∥β；②若m⊥α，m∥β，则α⊥β；③若m∥α，m∥n，则n∥α；④若m⊥α，α∥β，则m⊥β.
其中为真命题的是（ ）
A．③④B．①②
C．②④D．①③
解析：
对于命题②，∵m∥β，∴存在直线n⊂β且m∥n.∵m⊥α，n⊥α，∴α⊥β，∴②正确．对于命题④，∵一条直线垂直于两平行平面中的一个，那么这条直线也与另一平面垂直．∴④正确．故选C.
答案：
C
11．在棱长均相等的正三棱柱ABCA1B1C1中，D为BB1的中点，F在AC1上，且DF⊥AC1，则下述结论：
①AC1⊥BC；②AF＝FC1；③平面DAC1⊥平面ACC1A1.其中正确的个数为（ ）
A．0B．1
C．2D．3
解析：
BC⊥CC1，若AC1⊥BC，则BC⊥平面AA1C1C，显然不成立（设棱长为2），∴①错；②连接AD，DC1，在△ADC1中，AD＝DC1＝
，而DF⊥AC1，∴F是AC1的中点，∴②对；由②知在△ADC1中，DF＝
，连接CF，易知CF＝
，而在Rt△CBD中，CD＝
，∴DF2＋CF2＝CD2，∴DF⊥CF，又DF⊥AC1，CF∩AC1＝F，∴DF⊥平面AA1C1C，又DF⊂平面DAC1，∴平面DAC1⊥平面ACC1A1，∴③对，故选C.
答案：
C
12．如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是（ ）
A．BM是定值
B．点M在某个球面上运动
C．存在某个位置，使DE⊥A1C
D．MB∥平面A1DE
解析：
取CD的中点F，连接MF，BF，AF（图略），则MF∥DA1，BF∥DE，∴平面MBF∥平面A1DE，∴MB∥平面A1DE，故D正确．
∵∠A1DE＝∠MFB，MF＝
A1D，FB＝DE，由余弦定理可得MB2＝MF2＋FB2－2MF·FB·cos∠MFB，∴MB是定值，故A正确．∵B是定点，BM是定值，∴M在以B为球心，MB为半径的球上，故B正确．∵A1C在平面ABCD中的射影是点C与AF上某点的连线，不可能与DE垂直，∴不存在某个位置，使DE⊥A1C.故选C.
答案：
C
二、填空题
13．设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正确的一个命题：
________（用代号表示）．
解析：
若①②③成立，则m与α的位置关系不确定，故①②③⇒④错误；同理①②④⇒③也错误；①③④⇒②与②③④⇒①均正确．
答案：
①③④⇒②或（②③④⇒①）
14.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：
①直线AM与CC1是相交直线；
②直线AM与BN是平行直线；
③直线BN与MB1是异面直线；
④直线MN与AC所成的角为60°.
其中正确的结论为________（把你认为正确结论的序号都填上）．
解析：
AM与CC1是异面直线，AM与BN是异面直线，BN与MB1为异面直线．因为D1C∥MN，所以直线MN与AC所成的角就是D1C与AC所成的角，为60°.
答案：
③④
15.如图，PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：
①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.其中正确命题的序号是________．
解析：
∵PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，
∴CB⊥PA，CB⊥AC，又PA∩AC＝A，
∴CB⊥平面PAC.
又AF⊂平面PAC，∴CB⊥AF.
又∵F是点A在PC上的射影，
∴AF⊥PC，又PC∩BC＝C，PC，BC⊂平面PBC，
∴AF⊥平面PBC，
故①③正确．又∵E为A在PB上的射影，∴AE⊥PB，
∴PB⊥平面AEF，故②正确．
而AF⊥平面PCB，∴AE不可能垂直于平面PBC.故④错．
答案：
①②③
16．如图是一个正方体的平面展开图．在这个正方体中，①BM与ED是异面直线；②CN与BE平行；③CN与BM成60°角；④DM与BN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
解析：
由题意画出该正方体的图形如图所示，连接BE，BN，显然①②正确；对于③，连接AN，易得AN∥BM，∠ANC＝60°，所以CN与BM成60°角，所以③正确；对于④，易知DM⊥平面BCN，所以DM⊥BN正确．
答案：
①②③④
B卷 大题规范练（建议用时：
60分钟）
1.（2017·泰安模拟）如图，在四棱锥PABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC，BD相交于点O，点E，F，G分别为PC，AD，PD的中点，OP＝OA，PA⊥PD.
求证：
（1）FG∥平面BDE；
（2）平面BDE⊥平面PCD.
证明：
（1）连结OE（图略）．
在△APC中，E、O分别为PC、AC的中点，
∴OE∥PA，
在△APD中，F、G分别为AD、PD的中点，
∴FG∥PA，
∴FG∥OE，
又FG⊄平面BDE，OE⊂平面BDE，
∴FG∥平面BDE.
（2）∵PA⊥PD，OE∥PA，
∴OE⊥PD，
又OP＝OA，OA＝OC，
∴OP＝OC，
∴OE⊥PC，
又PC∩PD＝P，
∴OE⊥平面PCD，
又OE⊂平面BDE，
∴平面BDE⊥平面PCD.
2.（2017·德州模拟）在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，△ABC是等边三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又PA＝4，AB＝4
，∠CDA＝120°，点N在线段PB上，且PN＝2.
（1）求证：
BD⊥PC；
（2）求证：
MN∥平面PDC.
证明：
（1）∵△ABC是等边三角形，M是AC中点，
∴BM⊥AC，即BD⊥AC.
又∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，
又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.
∴BD⊥PC.
（2）在等边△ABC中，BM＝6.
在△ACD中，∵M为AC中点，DM⊥AC，∴AD＝CD.
∠ADC＝120°，∴DM＝2，
在直角△PAB中，PA＝4，AB＝4
，PB＝8，
∴
＝
＝
，
∴MN∥PD.
又MN⊄平面PDC，PD⊂平面PDC，
∴MN∥平面PDC.
3．如图①，矩形ABCD中，AB＝2BC＝4，M，N，E分别为AD，BC，CD的中点．现将△ADE沿AE折起，折起过程中点D仍记作D，得到图②所示的四棱锥DABCE.
（1）证明：
MN∥平面CDE；
（2）当AD⊥BE时，求四棱锥DABCE的体积．
解析：
（1）证明：
取AE的中点F，连接MF，NF，如图．
因为M，F分别为AD，AE的中点，所以MF∥DE，又MF⊄平面CDE，DE⊂平面CDE，所以MF∥平面CDE.
同理可证NF∥平面CDE.
又MF，NF⊂平面MNF，MF∩NF＝F，所以平面MNF∥平面CDE.
因为MN⊂平面MNF，所以MN∥平面CDE.
（2）在题图①中，因为AB＝2BC＝4，
所以BE＝AE＝2
，AE2＋BE2＝AB2，
所以BE⊥AE.
又AD⊥BE，AE，AD⊂平面ADE，AE∩AD＝A，
所以BE⊥平面ADE，又BE⊂平面ABCE，
所以平面ADE⊥平面ABCE.
连接DF，由△ADE为等腰三角形，F为AE的中点，得DF⊥AE，所以DF⊥平面ABCE，所以线段DF即为四棱锥DABCE的高．
因为AD＝DE＝2，所以AE＝2
，所以DF＝
.
四边形ABCE的面积为S＝
×2＝6，
所以四棱锥DABCE的体积为V＝
×6×
＝2
.
4.在四棱锥EABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，
F为BE的中点．
（1）求证：
DE∥平面ACF；
（2）若AB＝
CE，在线段EO上是否存在点G，使CG⊥平面BDE？
若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
解析：
（1）证明：
连接OF，因为O为DB中点，F为EB中点，
所以OF∥DE.
又OF⊂平面ACF，DE⊄平面ACF，
所以DE∥平面ACF.
（2）在线段ED上存在点G，使CG⊥平面BDE.
理由如下：
如图，取EO的中点G，连接CG.
在四棱锥EABCD中，
AB＝
CE，CO＝
AB＝CE，所以CG⊥EO.
又由EC⊥底面ABCD，BD⊂底面ABCD，所以EC⊥BD，
由四边形ABCD是正方形可知，AC⊥BD，
又AC∩EC＝C，
所以BD⊥平面ACE，而BD⊂平面BDE，
所以平面ACE⊥平面BDE，且平面ACE∩平面BDE＝EO，
因为CG⊥EO，CG⊂平面ACE，所以CG⊥平面BDE，
故在线段EO上存在点G，使CG⊥平面BDE.
由G为EO的中点，得
＝
.
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