排列与组合的应用.docx
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排列与组合的应用
排列与组合的应用
四川成都市大弯中学 李植武
摘要 在信息学奥林匹克竞赛中，多次出现了排列与组合的竞赛题目。
本文介绍了排列与组合的概念、公式，重点讲解了排列与组合的生成算法，最后通过几个竞赛题目的解决，体现了排列与组合在信息学竞赛中的应用。
关键词 排列 组合 生成 应用
说明：
本文中的pascal程序在Lazarusv0.9.22beta下调试完成，c程序dev-c++4.9.9.2下调试完成，所有程序通过相应数据测试。
一、排列与组合
1．排列及公式
（1）线排列
一般地，从n个不同元素中，取出m（m≤n）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个线排列；从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有线排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号
表示。
规定0！
＝1。
（2）圆排列
从n个不同元素中取出m个元素按照某种次序（如逆时针）排成一个圆圈，称这样的排列为圆排列，圆排列个数为
。
因为从n个不同元素中取出m个元素排成一列的个数是
。
不妨设一个排列是：
a1a2…am。
而这个排列与排列a2…ama1,a3…ama1a2,…,ama1a2…am-1，是一样的圆排列，共有m个，所以一个圆排列对应m个普通排列，所以有圆排列数
。
（3）无限重排列
从n个不同元素中取r个元素按次序排列，每个元素可以取无限次，这样的排列称为无限重排列。
显然，其排列数为nr。
（4）有限重排列
从k个不同元素{a1a2…ak}中取n个元素按次序排列，元素ai可以取ri次,r1+r2+...+rk=r，这样的排列称为有限重排列。
实际上,这个问题与下面的问题等价：
把r（r1+r2+...+rk=r）只彩色球放到n个编号不同的盒子中去的方法数
。
如r=n,则排列数有
。
（5）错排问题
一个排列使得所有的元素都不在原来的位置上，则称这个排列为错排。
例如有3个元素，原来位置为：
123，它的错排有两种312和231。
用f[n]表示n个元素的错排数，利用容斥原理可以推出（过程略）：
f[n]=
。
主要讲一下递推式。
考虑任意一个满足条件的排列a1,a2,a3,…,an,显然有an≠n,不妨设n=ai,考虑书i的位置，它有两种情况：
1）i=an
2）i≠an
对于1），数i在位置n,而数n在位置i上，则是n-2的错排问题，这种情况的方法数为f[n-2]。
对于２），可以把位置n看成位置i（位置i上不放数i,而此时位置n也不放数i，所以i和n可以等同看待）,则问题成了n-1个数的错排问题了。
由1）与2）及i有n-1种取值，所以有f[n]=（n-1）（f[n-2]+f[n-1]）。
：
2．组合及公式
（1）非重组合
一般地，从n个不同元素中，取出m（m≤n）个元素，不允许元素重复，不考虑元素次序，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个非重组合；从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号
表示.
组合数的两个性质：
（2）重组合
从n个不同元素中,取出r个允许重复的元素而不考虑其次序时，称为从n个不同元素中取r个允许重复的组合，简称重组合。
其组合数为
.
这个问题，可以看作用r个相同的标记去标明这n个不同的对象，而每一个对象可以被标上多个标记，一个对象上最多r个标记。
设n个元素为{a1a2…an}，记ai被记了k次为ai（k）,同一个元素标记不同次数，认为是不同的元素，那么第1次标记有n种方法，有n+1个元素{a1a2…anai（k）},第2次标记就有n+1种方法，有n+2个元素，……第r次标记有n+r-1种方法，有n-r个元素，而标记顺序对结果没有影响，所以有
种方法，即
。
二、排列与组合生成算法
1.排列生成
有N本不同的书摆在书架上，设其编号分别为１，２，３，......，Ｎ，编程求解这Ｎ本书的不同摆放方案和摆放方案总数。
程序名：
pailie.pas/c/cpp 输入文件：
pailie.in 输出文件：
pailie.out
输入文件的格式为：
仅为一个数N
输出文件的格式为：
依次为每一行为一种方案,每个数之间用一个空格隔开，最后一行为方案数
样例
input
2
output
12
21
2
数据规模 1=说明，排列方案字典顺序小的在前。
分析：
本题要求出所有具体方案，所以用不着排列公式来计算方案数。
生成排列方案的过程中可以统计出方案总数。
（１）按字典序生成排列法（根据上一个排列产生下一个排列）。
该算法的Ｎ—Ｓ流程图如图１。
Pascal版参考程序：
programpailie;
var
s,j,t,i,k,n:
Longint;
a:
array[1..10]oflongint;
functionfi:
longint;
var
i:
longint;
begin
i:
=n;
while（i>1）and（a[i-1]>a[i]）dodec（i）;
fi:
=i;
end;
functionfk:
longint;
var
k:
longint;
begin
k:
=n;
while（k>1）and（a[k]fk:
=k;
end;
procedureprint;
var
i:
longint;
begin
inc（s）;
fori:
=1ton-1dowrite（a[i],''）;
writeln（a[n]）;
end;
begin
assign（input,'pailie.in'）;
assign（output,'pailie.out'）;
reset（input）;
rewrite（output）;
readln（n）;
fori:
=1tondoa[i]:
=i;
s:
=0;
print;
i:
=fi;
whilei>1do
begin
k:
=fk;
t:
=a[i-1];
a[i-1]:
=a[k];
a[k]:
=t;
forj:
=ito（n+i）div2do
begin
t:
=a[n+i-j];
a[n+i-j]:
=a[j];
a[j]:
=t;
end;
print;
i:
=fi;
end;
writeln（s）;
close（input）;
close（output）;
end.
（２）回溯算法产生排列
用p[i]记录一个排列的第i个数，
伪代码描述的产生排列的第i个数的方法
Proceduretry（i）
Begin
Ifi>nthenbegin输出排列；返回 end;//产生了一个完整排列，输出
Forj=1tondo
Ifnota[j]then //j这个数没有用
Begin
P[i]=j;
A[j]=true; //占位
Try（i+1）; //搜索下一个数
End;
End;
Pascal版参考程序：
programpailie;
var
p:
array[1..10]oflongint;
a:
array[1..10]ofboolean;
n,tot,i:
longint;
fil:
text;
procedureprint;
var
i:
longint;
begin
inc（tot）;
fori:
=1tondo
write（fil,p[i],''）;
writeln（fil）;
end;
proceduretryy（i:
longint）;
var
j:
longint;
begin
ifi>nthenbeginprint;exitend;
forj:
=1tondo
ifnota[j]then
begin
a[j]:
=true;
p[i]:
=j;
tryy（i+1）;
a[j]:
=false;
end;
end;
begin
assign（fil,'pailie.in'）;
reset（fil）;
readln（fil,n）;
close（fil）;
assign（fil,'pailie.out'）;
rewrite（fil）;
fillchar（a,sizeof（a）,false）;
tot:
=0;
tryy
（1）;
writeln（fil,tot）;
close（fil）;
end.
C语言版参考程序：
#include
longa[15],n,s;
boolf[15];
FILE*fp;
voidshu（longa[]）
{
longi;
for（i=1;i<=n;i++）
fprintf（fp,"%d",a[i]）;
fprintf（fp,"\n"）;
s++;
}
voidpai（longi）
{
longj,k;
if（i==n+1）{shu（a）;return;}
for（j=1;j<=n;j++）
if（f[j]）{f[j]=false;a[i]=j;pai（i+1）;f[j]=true;}
}
intmain（）
{
longi,j,k,m;
fp=fopen（"pailie.in","r"）;
fscanf（fp,"%d",&n）;
fp=fopen（"pailie.out","w"）;
for（i=1;i<=n;i++）f[i]=true;
s=0;pai
（1）;
fprintf（fp,"%d\n",s）;
fclose（fp）;
return0;
}
2.组合生成
有N本不同的书摆在书架上，设其编号分别为１，２，３，......，Ｎ，现要从其中取出Ｒ本书，编程求解这Ｎ本书的不同组合方案和方案总数。
程序名：
zuhe.pas/c/cpp 输入文件：
zuhe.in 输出文件：
zuhe.out
输入文件的格式为：
仅为一行，两个数N和Ｒ，之间用一个空格隔开
输出文件的格式为：
依次为每一行为一种组合,每个数之间用一个空格隔开，最后一行为组合方案数
样例
input
32
output
12
13
23
3
数据规模 1=说明，每一种组合，从小到大排列；组合方案字典顺序小的在前
分析：
本题要求出所有具体方案，所以用不着组合公式来计算方案数。
生成组合方案的过程中可以统计出方案总数。
（1）根据上一个组合产生下一个组合。
该算法的Ｎ—Ｓ流程图如图2。
Pascal版参考程序：
programzuhe;
var
c:
array[1..30]oflongint;
n,r,i,j,tot:
longint;
fil:
text;
procedureprint;
var
i:
longint;
begin
inc（tot）;
fori:
=1tordo
write（fil,c[i],''）;
writeln（fil）;
end;
functionfindi:
longint;
var
i:
longint;
begin
i:
=r;
while（
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