排列与组合的应用.docx

1、排列与组合的应用排列与组合的应用四川成都市大弯中学李植武摘要在信息学奥林匹克竞赛中，多次出现了排列与组合的竞赛题目。本文介绍了排列与组合的概念、公式，重点讲解了排列与组合的生成算法，最后通过几个竞赛题目的解决，体现了排列与组合在信息学竞赛中的应用。关键词排列组合生成应用说明：本文中的pascal程序在Lazarus v0.9.22 beta下调试完成，c程序dev-c+ 4.9.9.2下调试完成，所有程序通过相应数据测试。一、排列与组合 1排列及公式 (1)线排列一般地，从n个不同元素中，取出m(mn)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个线排列；从n个不同元素中

2、取出m(mn)个元素的所有线排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示。 规定 0！1。(2)圆排列从n个不同元素中取出m个元素按照某种次序（如逆时针）排成一个圆圈，称这样的排列为圆排列，圆排列个数为。因为从n个不同元素中取出m个元素排成一列的个数是。不妨设一个排列是：a1a2am。而这个排列与排列a2ama1, a3ama1a2, ama1a2am-1，是一样的圆排列，共有m个，所以一个圆排列对应m个普通排列，所以有圆排列数。(3)无限重排列从n个不同元素中取r个元素按次序排列，每个元素可以取无限次，这样的排列称为无限重排列。显然，其排列数为nr。(4)有限重排列从k个

3、不同元素 a1a2ak 中取n个元素按次序排列，元素ai可以取ri次,r1+r2+.+rk =r，这样的排列称为有限重排列。实际上,这个问题与下面的问题等价：把r(r1+r2+.+rk =r)只彩色球放到n个编号不同的盒子中去的方法数。如r=n,则排列数有。(5)错排问题一个排列使得所有的元素都不在原来的位置上，则称这个排列为错排。例如有3个元素，原来位置为：1 2 3，它的错排有两种3 1 2和2 3 1。用fn表示n个元素的错排数，利用容斥原理可以推出（过程略）：fn=。主要讲一下递推式。考虑任意一个满足条件的排列a1,a2,a3,an,显然有ann,不妨设n=ai,考虑书i的位置，它有两

4、种情况：1)i=an2)ian 对于1)，数i在位置n,而数n在位置i上，则是n-2的错排问题，这种情况的方法数为fn-2。对于)，可以把位置n看成位置i（位置i上不放数i,而此时位置n也不放数i，所以i和n可以等同看待）,则问题成了n-1个数的错排问题了。由1)与2)及i有n-1种取值，所以有fn=(n-1)(fn-2+fn-1)。：2组合及公式 (1)非重组合一般地，从n个不同元素中，取出m(mn)个元素，不允许元素重复，不考虑元素次序，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个非重组合；从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号表示

5、. 组合数的两个性质：（2）重组合从n个不同元素中,取出r个允许重复的元素而不考虑其次序时，称为从n个不同元素中取r个允许重复的组合，简称重组合。其组合数为. 这个问题，可以看作用r个相同的标记去标明这n个不同的对象，而每一个对象可以被标上多个标记，一个对象上最多r个标记。设n个元素为 a1a2an ，记ai被记了k次为ai(k),同一个元素标记不同次数，认为是不同的元素，那么第1次标记有n种方法，有n+1个元素 a1a2an ai(k),第2次标记就有n+1种方法，有n+2个元素，第r次标记有n+r-1种方法，有n-r个元素，而标记顺序对结果没有影响，所以有种方法，即。二、排列与组合生成算法

6、 1.排列生成 有N本不同的书摆在书架上，设其编号分别为，.，编程求解这本书的不同摆放方案和摆放方案总数。程序名：pailie.pas/c/cpp输入文件：pailie.in输出文件：pailie.out输入文件的格式为：仅为一个数N输出文件的格式为：依次为每一行为一种方案,每个数之间用一个空格隔开，最后一行为方案数样例input2output1 22 12数据规模1=N1)and(ai-1ai) do dec(i); fi:=i; end; function fk:longint; var k:longint; begin k:=n; while (k1)and(ak1 do begin k

7、:=fk; t:=ai-1; ai-1:=ak; ak:=t; for j:=i to (n+i)div 2 do begin t:=an+i-j; an+i-j:=aj; aj:=t; end; print; i:=fi; end; writeln(s); close(input); close(output);end.（）回溯算法产生排列用pi记录一个排列的第i个数， 伪代码描述的产生排列的第i个数的方法Procedure try(i) Begin If in then begin 输出排列；返回end;/产生了一个完整排列，输出 For j=1 to n do If not aj the

8、n / j这个数没有用 Begin Pi=j; Aj=true;/占位 Try(i+1);/搜索下一个数 End; End;Pascal版参考程序：program pailie;var p:array1.10 of longint; a:array1.10 of boolean; n,tot,i:longint; fil:text;procedure print; var i:longint; begin inc(tot); for i:=1 to n do write(fil,pi, ); writeln(fil); end;procedure tryy(i:longint); var j:

9、longint; begin if in then begin print;exit end; for j:=1 to n do if not aj then begin aj:=true; pi:=j; tryy(i+1); aj:=false; end; end;begin assign(fil,pailie.in); reset(fil); readln(fil,n); close(fil); assign(fil,pailie.out); rewrite(fil); fillchar(a,sizeof(a),false); tot:=0; tryy(1); writeln(fil,to

10、t); close(fil);end.C语言版参考程序：# include long a15,n,s;bool f15;FILE *fp;void shu(long a) long i; for (i=1;i=n;i+) fprintf(fp,%d ,ai); fprintf(fp,n); s+; void pai(long i) long j,k; if (i=n+1) shu(a); return; for (j=1;j=n;j+) if (fj) fj=false; ai=j; pai(i+1); fj=true; int main() long i,j,k,m; fp=fopen(pa

11、ilie.in,r); fscanf(fp,%d,&n); fp=fopen(pailie.out,w); for (i=1;i=n;i+) fi=true; s=0; pai(1); fprintf(fp,%dn,s); fclose(fp); return 0;2.组合生成有N本不同的书摆在书架上，设其编号分别为，.，现要从其中取出本书，编程求解这本书的不同组合方案和方案总数。程序名：zuhe.pas/c/cpp输入文件：zuhe.in输出文件：zuhe.out输入文件的格式为：仅为一行，两个数N和，之间用一个空格隔开输出文件的格式为：依次为每一行为一种组合,每个数之间用一个空格隔开，最后

12、一行为组合方案数样例input3 2output1 21 32 33数据规模1=N，R=30说明，每一种组合，从小到大排列；组合方案字典顺序小的在前分析：本题要求出所有具体方案，所以用不着组合公式来计算方案数。生成组合方案的过程中可以统计出方案总数。（1） 根据上一个组合产生下一个组合。该算法的流程图如图2。Pascal版参考程序：program zuhe;var c:array1.30 of longint; n,r,i,j,tot:longint; fil:text;procedure print; var i:longint; begin inc(tot); for i:=1 to r do write(fil,ci, ); writeln(fil); end;function findi:longint; var i:longint; begin i:=r; while (