02数值计算与数据分析.docx
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02数值计算与数据分析
第2章数值计算与数据分析
2.1基本数学函数
2.1.1三角函数与双曲函数
函数sin、sinh
功能正弦函数与双曲正弦函数
格式Y=sin（X）%计算参量X（可以是向量、矩阵，元素可以是复数）中每一个角度分量的正弦值Y，所有分量的角度单位为弧度。
Y=sinh（X）%计算参量X的双曲正弦值Y
注意：
sin（pi）并不是零，而是与浮点精度有关的无穷小量eps，因为pi仅仅是精确值π浮点近似的表示值而已；对于复数Z=x+iy，函数的定义为：
sin（x+iy）=sin（x）*cos（y）+i*cos（x）*sin（y），
，
例2-1
x=-pi:
0.01:
pi;plot（x,sin（x））
x=-5:
0.01:
5;plot（x,sinh（x））
图形结果为图2-1。
图2-1正弦函数与双曲正弦函数图
函数asin、asinh
功能反正弦函数与反双曲正弦函数
格式Y=asin（X）%返回参量X（可以是向量、矩阵）中每一个元素的反正弦函数值Y。
若X中有的分量处于[-1,1]之间，则Y=asin（X）对应的分量处于[-π/2,π/2]之间，若X中有分量在区间[-1,1]之外，则Y=asin（X）对应的分量为复数。
Y=asinh（X）%返回参量X中每一个元素的反双曲正弦函数值Y
说明反正弦函数与反双曲正弦函数的定义为：
，
例2-2
x=-1:
.01:
1;plot（x,asin（x））
x=-5:
.01:
5;plot（x,asinh（x））
图形结果为图2-2。
图2-2反正弦函数与反双曲正弦函数图
函数cos、cosh
功能余弦函数与双曲余弦函数
格式Y=cos（X）%计算参量X（可以是向量、矩阵，元素可以是复数）中每一个角度分量的余弦值Y，所有角度分量的单位为弧度。
我们要指出的是，cos（pi/2）并不是精确的零，而是与浮点精度有关的无穷小量eps，因为pi仅仅是精确值π浮点近似的表示值而已。
Y=sinh（X）%计算参量X的双曲余弦值Y
说明若X为复数z=x+iy，则函数定义为：
cos（x+iy）=cos（x）*cos（y）+i*sin（x）*sin（y），
，
例2-3
x=-pi:
0.01:
pi;plot（x,cos（x））
x=-5:
0.01:
5;plot（x,cosh（x））
图形结果为图2-3。
图2-3余弦函数与双曲余弦函数图
函数acos、acosh
功能反余弦函数与反双曲余弦函数
格式Y=acos（X）%返回参量X（可以是向量、矩阵）中每一个元素的反余弦函数值Y。
若X中有的分量处于[-1,1]之间，则Y=acos（X）对应的分量处于[0,π]之间，若X中有分量在区间[-1,1]之外，则Y=acos（X）对应的分量为复数。
Y=asinh（X）%返回参量X中每一个元素的反双曲余弦函数Y
说明反余弦函数与反双曲余弦函数定义为：
，
例2-4
x=-1:
.01:
1;plot（x,acos（x））
x=-5:
.01:
5;plot（x,acosh（x））
图形结果为图2-4。
图2-4反余弦函数与反双曲余弦函数图
函数tan、tanh
功能正切函数与双曲正切函数
格式Y=tan（X）%计算参量X（可以是向量、矩阵，元素可以是复数）中每一个角度分量的正切值Y，所有角度分量的单位为弧度。
我们要指出的是，tan（pi/2）并不是精确的零，而是与浮点精度有关的无穷小量eps，因为pi仅仅是精确值π浮点近似的表示值而已。
Y=tanh（X）%返回参量X中每一个元素的双曲正切函数值Y
例2-5
x=（-pi/2）+0.01:
0.01:
（pi/2）-0.01;%稍微缩小定义域
plot（x,tan（x））
x=-5:
0.01:
5;plot（x,tanh（x））
图形结果为图2-5。
图2-5正切函数与双曲正切函数图
函数atan、atanh
功能反正切函数与反双曲正切函数
格式Y=atan（X）%返回参量X（可以是向量、矩阵）中每一个元素的反正切函数值Y。
若X中有的分量为实数，则Y=atan（X）对应的分量处于[-π/2,π/2]之间。
Y=atanh（X）%返回参量X中每一个元素的反双曲正切函数值Y。
说明反正切函数与反双曲正切函数定义为：
，
例2-6
x=-20:
0.01:
20;plot（x,atan（x））
x=-0.99:
0.01:
0.99;plot（x,atanh（x））
图形结果为图2-6。
图2-6反正切函数与反双曲正切函数图
函数cot、coth
功能余切函数与双曲余切函数
格式Y=cot（X）%计算参量X（可以是向量、矩阵，元素可以是复数）中每一个角度分量的余切值Y，所有角度分量的单位为弧度。
Y=coth（X）%返回参量X中每一个元素的双曲余切函数值Y
例2-7
x1=-pi+0.01:
0.01:
-0.01;%去掉奇点x=0
x2=0.01:
0.01:
pi-0.01;%做法同上
plot（x1,cot（x1）,x2,cot（x2））
plot（x1,coth（x1）,x2,coth（x2））
图形结果为图2-7。
图2-7余切函数与双曲余切函数图
函数acot、acoth
功能反余切函数与反双曲余切函数
格式Y=acot（X）%返回参量X（可以是向量、矩阵）中每一个元素的反余切函数Y
Y=acoth（X）%返回参量X中每一个元素的反双曲余切函数值Y
例2-8
x1=-2*pi:
pi/30:
-0.1;x2=0.1:
pi/30:
2*pi;%去掉奇异点x=0
plot（x1,acot（x1）,x2,acot（x2））
x1=-30:
0.1:
-1.1;x2=1.1:
0.1:
30;
plot（x1,acoth（x1）,x2,acoth（x2））
图形结果为图2-8。
图2-8反余切函数与反双曲余切函数图
函数sec、sech
功能正割函数与双曲正割函数
格式Y=sec（X）%计算参量X（可以是向量、矩阵，元素可以是复数）中每一个角度分量的正割函数值Y，所有角度分量的单位为弧度。
我们要指出的是，sec（pi/2）并不是无穷大，而是与浮点精度有关的无穷小量eps的倒数，因为pi仅仅是精确值π浮点近似的表示值而已。
Y=sech（X）%返回参量X中每一个元素的双曲正割函数值Y
例2-9
x1=-pi/2+0.01:
0.01:
pi/2-0.01;%去掉奇异点x=pi/2
x2=pi/2+0.01:
0.01:
（3*pi/2）-0.01;
plot（x1,sec（x1）,x2,sec（x2））
x=-2*pi:
0.01:
2*pi;
plot（x,sech（x））
图形结果为图2-9。
图2-9正割函数与双曲正割函数图
函数asec、asech
功能反正割函数与反双曲正割函数
格式Y=asec（X）%返回参量X（可以是向量、矩阵）中每一个元素的反正割函数值Y
Y=asech（X）%返回参量X中每一个元素的反双曲正割函数值Y
例2-10
x1=-5:
0.01:
-1;x2=1:
0.01:
5;
plot（x1,asec（x1）,x2,asec（x2））
x=0.01:
0.001:
1;plot（x,asech（x））
图形结果为图2-10。
图2-10反正割函数与反双曲正割函数图
函数csc、csch
功能余割函数与双曲余割函数
格式Y=csc（X）%计算参量X（可以是向量、矩阵，元素可以是复数）中每一个角度分量的余割函数值Y，所有角度分量的单位为弧度。
Y=csch（X）%返回参量X中每一个元素的双曲余割函数值Y
例2-11
x1=-pi+0.01:
0.01:
-0.01;x2=0.01:
0.01:
pi-0.01;%去掉奇异点x=0
plot（x1,csc（x1）,x2,csc（x2））
plot（x1,csch（x1）,x2,csch（x2））
图形结果为图2-11。
图2-11余割函数与双曲余割函数图
函数acsc、acsch
功能反余割函数与反双曲余割函数。
格式Y=asec（X）%返回参量X（可以是向量、矩阵）中每一个元素的反余割函数值Y
Y=asech（X）%返回参量X中每一个元素的反双曲余割函数值Y
例2-12
x1=-10:
0.01:
-1.01;x2=1.01:
0.01:
10;%去掉奇异点x=1
plot（x1,acsc（x1）,x2,acsc（x2））
x1=-20:
0.01:
-1;x2=1:
0.01:
20;
plot（x1,acsch（x1）,x2,acsch（x2））
图形结果为图2-12。
图2-12反余割函数与反双曲余割函数图
函数atan2
功能四象限的反正切函数
格式P=atan2（Y,X）%返回一与参量X和Y同型的、与X和Y元素的实数部分对应的、元素对元素的四象限的反正切函数阵列P，其中X和Y的虚数部分将忽略。
阵列P中的元素分布在闭区间[-pi,pi]上。
特定的象限将取决于sign（Y）与sign（X）。
例2-13
z=1+2i;
r=abs（z）;
theta=atan2（imag（z）,real（z））
z=r*exp（i*theta）
feather（z）;holdon
t=0:
0.1:
2*pi;
x=1+sqrt（5）*cos（t）;
y=sqrt（5）*sin（t）;
plot（x,y）;
axisequal;holdoff
计算结果为：
theta=
1.1071
z=
1.0000+2.0000i
图形结果为图2-13。
图2-13四象限的反正切函数图
2.1.2其他常用函数
函数fix
功能朝零方向取整
格式B=fix（A）%对A的每一个元素朝零的方向取整数部分，返回与A同维的数组。
对于复数参量A，则返回一复数，其分量的实数与虚数部分分别取原复数的、朝零方向的整数部分。
例2-14
>>A=[-1.9,-0.2,3.1415926,5.6,7.0,2.4+3.6i];
>>B=fix（A）
计算结果为：
B=
Columns1through4
-1.000003.00005.0000
Columns5through6
7.00002.0000+3.0000i
函数roud
功能朝最近的方向取整。
格式Y=round（X）%对X的每一个元素朝最近的方向取整数部分，返回与X同维的数组。
对于复数参量X，则返回一复数，其分量的实数与虚数部分分别取原复数的、朝最近方向的整数部分。
例2-15
>>A=[-1.9,-0.2,3.1415926,5.6,7.0,2.4+3.6i];
>>Y=round（A）
计算结果为：
Y=
Columns1through4
-2.000003.00006.0000
Columns5through6
7.00002.0000+4.0000i
函数floor
功能朝负无穷大方向取整
格式B=floor（A）%对A的每一个元素朝负无穷大的方向取整数部分，返回与A同维的数组。
对于复数参量A，则返回一复数，其分量的实数与虚数部分分别取原复数的、朝负无穷大方向的整数部分。
例2-16
>>A=[-1.9,-0.2,3.1415926,5.6,7.0,2.4+3.6i];
>>F=floor（A）
计算结果为：
F=
Columns1through4
-2.0000-1.00003.00005.0000
Columns5through6
7.00002.0000+3.0000i
函数rem
功能求作除法后的剩余数
格式R=rem（X,Y）%返回结果X-fix（X./Y）.*Y，其中X、Y应为正数。
若X、Y为浮点数，由于计算机对浮点数的表示的不精确性，则结果将可能是不可意料的。
fix（X./Y）为商数X./Y朝零方向取的整数部分。
若X与Y为同符号的，则rem（X,Y）返回的结果与mod（X,Y）相同，不然，若X为正数，则rem（-X,Y）=mod（-X,Y）-Y。
该命令返回的结果在区间[0，sign（X）*abs（Y）]，若Y中有零分量，则相应地返回NaN。
例2-17
>>X=[12233445];
>>Y=[3726];
>>R=rem（X,Y）
计算结果为：
R=
0203
函数ceil
功能朝正无穷大方向取整
格式B=floor（A）%对A的每一个元素朝正无穷大的方向取整数部分，返回与A同维的数组。
对于复数参量A，则返回一复数，其分量的实数与虚数部分分别取原复数的、朝正无穷大方向的整数部分。
例2-18
>>A=[-1.9,-0.2,3.1415926,5.6,7.0,2.4+3.6i];
>>B=ceil（A）
计算结果为：
B=
Columns1through4
-1.000004.00006.0000
Columns5through6
7.00003.0000+4.0000i
函数exp
功能以e为底数的指数函数
格式Y=exp（X）%对参量X的每一分量，求以e为底数的指数函数Y。
X中的分量可以为复数。
对于复数分量如，z=x+i*y，则相应地计算：
e^z=e^x*（cos（y）+i*sin（y））。
例2-19
>>A=[-1.9,-0.2,3.1415926,5.6,7.0,2.4+3.6i];
>>Y=exp（A）
计算结果为：
Y=
1.0e+003*
Columns1through4
0.00010.00080.02310.2704
Columns5through6
1.0966-0.0099-0.0049i
函数expm
功能求矩阵的以e为底数的指数函数
格式Y=expm（X）%计算以e为底数、x的每一个元素为指数的指数函数值。
若矩阵x有小于等于零的特征值，则返回复数的结果。
说明该函数为一内建函数，它有三种计算算法：
（1）使用文件expm1.m中的用比例法与二次幂算法得到的Pad近似值；
（2）使用Taylor级数近似展开式计算，这种计算在文件expm2.m中。
但这种一般计算方法是不可取的，通常计算是缓慢且不精确的；
（3）在文件expm3.m中，先是将矩阵对角线化，再把函数计算出相应的的特征向量，最后转换过来。
但当输入的矩阵没有与矩阵阶数相同的特征向量个数时，就会出现错误。
例2-20
>>A=hilb（4）;
>>Y=expm（A）
计算结果为：
Y=
3.25061.20680.83550.6417
1.20681.74030.54170.4288
0.83550.54171.41000.3318
0.64170.42880.33181.2729
函数log
功能自然对数，即以e为底数的对数。
格式Y=log（X）%对参量X中的每一个元素计算自然对数。
其中X中的元素可以是复数与负数，但由此可能得到意想不到的结果。
若z=x+i*y，则log对复数的计算如下：
log（z）=log（abs（z））+i*atan2（y,x）
例2-21下面的语句可以得到无理数π的近似值：
>>Pi=abs（log（-1））
计算结果为：
Pi=
3.1416
函数log10
功能常用对数，即以10为底数的对数。
格式Y=log10（X）%计算X中的每一个元素的常用对数，若X中出现复数，则可能得到意想不到的结果。
例2-22
>>L1=log10（realmax）%由此可得特殊变量realmax的近似值
>>L2=log10（eps）%由此可得特殊变量eps的近似值
>>M=magic（4）;
>>L3=log10（M）
计算结果为：
L1=
308.2547
L2=
-15.6536
L3=
1.20410.30100.47711.1139
0.69901.04141.00000.9031
0.95420.84510.77821.0792
0.60211.14611.17610
函数sort
功能把输入参量中的元素按从小到大的方向重新排列
格式B=sort（A）%沿着输入参量A的不同维的方向、从小到大重新排列A中的元素。
A可以是字符串的、实数的、复数的单元数组。
对于A中完全相同的元素，则按它们在A中的先后位置排列在一块；若A为复数的，则按元素幅值的从小到大排列，若有幅值相同的复数元素，则再按它们在区间[-π,π]的幅角从小到大排列；若A中有元素为NaN，则将它们排到最后。
若A为向量，则返回从小到大的向量，若A为二维矩阵，则按列的方向进行排列；若A为多维数组，sort（A）把沿着第一非单元集的元素象向量一样进行处理。
B=sort（A,dim）%沿着矩阵A（向量的、矩阵的或多维的）中指定维数dim方向重新排列A中的元素。
[B,INDEX]=sort（A,…）%输出参量B的结果如同上面的情形，输出INDEX是一等于size（A）的数组，它的每一列是与A中列向量的元素相对应的置换向量。
若A中有重复出现的相同的值，则返回保存原来相对位置的索引。
例2-23
>>A=[-1.9,-0.2,3.1415926,5.6,7.0,2.4+3.6i];
>>[B1,INDEX]=sort（A）
>>M=magic（4）;
>>B2=sort（M）
计算结果为：
B1=
Columns1through4
-0.2000-1.90003.14162.4000+3.6000i
Columns5through6
5.60007.0000
INDEX=
213645
B2=
4231
5768
9111012
16141513
函数abs
功能数值的绝对值与复数的幅值
格式Y=abs（X）%返回参量X的每一个分量的绝对值；若X为复数的，则返回每一分量的幅值：
abs（X）=sqrt（real（X）.^2+imag（X）.^2）。
例2-24
>>A=[-1.9,-0.2,3.1415926,5.6,7.0,2.4+3.6i];
>>Y=abs（A）
计算结果为：
Y=
1.90000.20003.14165.60007.00004.3267
函数conj
功能复数的共轭值
格式ZC=conj（Z）%返回参量Z的每一个分量的共轭复数：
conj（Z）=real（Z）-i*imag（Z）
函数imag
功能复数的虚数部分
格式Y=imag（Z）%返回输入参量Z的每一个分量的虚数部分。
例2-25
>>imag（2+3i）
计算结果为：
ans=
3
函数real
功能复数的实数部分。
格式Y=real（Z）%返回输入参量Z的每一个分量的实数部分。
例2-26
>>real（2+3i）
计算结果为：
ans=
2
函数angle
功能复数的相角
格式P=angle（Z）%返回输入参量Z的每一复数元素的、单位为弧度的相角，其值在区间[-π，π]上。
说明angle（z）=imag（log（z））=atan2（imag（z）,real（z））
例2-27
>>Z=[1-i,2+i,3-i,4+i;
>>1+2i,2-2i,3+2i,4-2i;
>>1-3i,2+3i,3-3i,4+3i;
>>1+4i,2-4i,3+4i,4-4i];
>>P=angle（Z）
计算结果为：
P=
-0.78540.4636-0.32180.2450
1.1071-0.78540.5880-0.4636
-1.24900.9828-0.78540.6435
1.3258-1.10710.9273-0.7854
函数complex
功能用实数与虚数部分创建复数
格式c=complex（a,b）%用两个实数a，b创建复数c=a+bi。
输出参量c与a、b同型（同为向量、矩阵、或多维阵列）。
该命令比下列形式的复数输入更有用：
a+i*b或a+j*b因为i和j可能被用做其他的变量（不等于sqrt（-1）），或者a和b不是双精度的。
c=complex（a）%输入参量a作为输出复数c的实部，其虚部为0：
c=a+0*i。
例2-28
>>a=uint8（[1;2;3;4]）;
>>b=uint8（[4;3;2;1]）;
>>c=complex（a,b）
计算结果为：
c=
1.0000+4.0000i
2.0000+3.0000i
3.0000+2.0000i
4.0000+1.0000i
函数mod
功能模数（带符号的除法余数）
用法M=mod（X,Y）%输入参量X、Y应为整数，此时返回余数X-Y.*floor（X./Y），若Y≠0，或者是X。
若运算数x与y有相同的符号，则mod（X,Y）等于rem（X,Y）。
总之，对于整数x,y，有：
mod（-x,y）=rem（-x,y）+y。
若输入为实数或复数，由于浮点数在计算机上的不精确表示，该操作将导致不可预测的结果。
例2-29
>>M1=mod（13,5）
>>M2=mod（[1:
5],3）
>>M3=mod（magic（3）,3）
计算结果为：
M1=
3
M2=
12012
M3=
210
021
102
函数nchoosek
功能二项式系数或所有的组合数。
该命令只有对n<15时有用。
函数C=nchoosek（n,k）%参量n,k为非负整数
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