随机过程习题解析.docx
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随机过程习题解析
习题一
1.某战士有两支枪，射击某目标时命中率分别为0.9及0.5,若随机地用一支枪，射击一发
子弹后发现命中目标，问此枪是哪一支的概率分别为多大？
2.设随机变量X的概率密度为
・A
f（x）=x21
【0
求：
（1）常数A;
⑵分布函数F（x）;（3）随机变量Y=lnX的分布函数及概率分布。
3.设随机变量（X,Y）的概率密度为
ji
f（x,y）=Asin（x+y）,0_x,y
2
方差DX,DY;（4）协方差及相关系
求：
⑴常数A;
（2）数学期望EX,EY;（3）
数。
4.设随机变量X服从指数分布
kx
_kex_0
0xc0
求特征函数（x）,并求数学期望和方差。
5.设随机变量X与Y相互独立，且分别服从参数为■1和•2的泊松分布，试用特征函数
求Z=X+Y随机变量的概率分布。
6.—名矿工陷进一个三扇门的矿井中。
第一扇门通到一个隧道，走两小时后他可到达安全区。
第二扇门通到又一隧道，走三个小时会使他回到这矿井中。
第三扇门通到另一隧道，走五个小时后，仍会使他回到这矿井中。
假定矿井中漆黑一团，这矿工总是等可能地在三扇门中选择一扇，让我们计算矿工到达安全区的时间X的矩母函数。
7.设（X,Y）的分布密度为
4xy,
0£Xc1.
（1）°（x,y）=」
0,
其他
&y,
0£Xc1.
（2）枣（x,y）=*
0,
其他
问X,Y是否相互独立?
8.设（X,Y）的联合分布密度为
问：
（1）1,■-取何值时X,Y不相关;
（2）:
•,1取何值时相互独立。
习题二
1.设有两个随机变量X、Y相互独立，它们的概率度分别为fX（x）和fY（y），定义如下
随机过程：
Z（t）=XYt，tR
试求Z（t）的均值函数m（t）和相关函数R（t1,t2）。
一1
2.从t=0开始每隔一秒丢掷一次硬币（均匀的），对每一个丢掷的时刻t，规定随机变量
2
S_cos^t,当时刻t掷出正面
x（t）=丿
、、2t,当时刻t掷出反面
试求：
11
（1）F（2；X1）,F（t1;X1）
（2）F（~2，1；X，X2）。
3•袋中有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t对应随机变量
v心、-,如果t时取得红球
X（t）二3
et,如果t时取得白球
试求这个随机过程的一维分布函数族。
4.设在时间区间0,t1内来到某商店的顾客数X（t）是参数入的泊松过程。
Yn为第n个顾客
来到的时刻，求Yn的分布函数。
5.设通过十字路口的车流可以看做泊松过程，如果1分钟内没有车子通过的概率为0.2,求
2分钟内有多于一辆车通过的概率。
6•令N（t）表示0,t时间内（单位：
分）顾客到达某商店的人数，设{NJ是泊松过程。
根据
30人。
求两个顾客相继到达的时间间
历史资料统计分析，顾客到达该商店的强度是每小时隔短于4分钟的概率。
7.—质点从坐标原点出发在数轴上做随机游动，每隔1秒以概率p向右移动一格（1单位长），或以概率q=1—p向左移动一格，以X（n）表示质点在第n秒至n+1秒之间的位置（坐标），则随机过程
牧（n）,n=0,，,2,?
由于质点随机游动的独立性，它是一个独立增量过程。
求X（n）的概率分布及增量X（t+）
—X（t）的概率分布。
8.求随机过程X（t）=Xsin•・t的一维概率密度，其中-■为常数，X~N（0,1）。
n
9.设复随机过程z（t）=、'A孑二'，0-1，其中Ak（1乞k乞n）是相互独立且服
kF
2
从N（0,二k）的随机变量，二k（1乞k三n）是常数，试求复随机过程Z（t）的均值函数与自相关函数。
10.设汶⑴，t-0?
为一个独立增量过程，且X（0）=0，证明X（t）是个马氏过程。
11.设随机过程X（t）=X。
・Vt,tT，其中Xo,V是相互独立的标准正态分布变量，试
证X（t）是--个正态过程。
2
12.设X（t^SVtAt，t-0,其中SV、A为相互独立的正态分布变量，试证X（t）是
一个正态过程。
习题二
1.一质点在区间［0,4］中的0,1,2,3,4上作随机游动，移动的规则是：
在0点以概率1向右移动
一个单位，在1,2,3点上各以概率1/3向左，向右移动一个单位或留在原处，试求转移概率矩
阵•
2.一个圆周上共有N格（按顺时针排列），一个质点在该圆周上作随机游动，移动的规则是：
质点总是以概率p顺时针游动一格，以概率q=1-p逆时针游动一格。
试求移动概率矩阵。
3.一个质点在全直线的整数点上作随机游动，移动的规则是：
以概率p从i移动到i-1,以
概率q从i移到i+1，以概率r停留在i，且r+p+q=1，试求转移概率矩阵。
4.波利亚（polya）罐子模型
波利亚（polya）罐子模型可描述如下：
一个罐子装有r格红球，I个黑球，现随机地从罐中
取出一个球，记录其颜色，然后将这个球放回罐中，并且再加进a个同颜色的球。
持续地进
行这一实验过程，设Xn表示第n次试验结束时罐中实有红球的数目：
Xn=i,日,I={0,1,2,•••,}
不论在时刻n时如何转移到i的，系统在时刻n+1时，必转移到状态i+a或i，因此，{Xn,
n-0}是马氏链。
使求它的一步转移概率，并说明此链不是时间齐次的马氏链。
5.设袋中有a个球，球为黑色的或白色的，今随机地从袋中取一个球，然后放回一个不同颜色的球。
若在袋里有k个白球，则称系统处于状态k，试用马尔可夫链描述这个模型（称为爱伦菲斯特模型），并求转移概率矩阵。
1,2,3。
在不同季
6•设水库的蓄水情况分为三个状态：
空库、半库、蓄满。
并分别记为
节水库蓄水状态可能转变，设它为齐次马氏链，其转移矩阵为
0.40.50.1
R=0.30.30.4
.0.10.70.2一
的概率。
7.一个开关有两个状态：
开、关，分别记为1,2。
设
&设马氏链的状态空间为1二{1,2,3},其进一步转移矩阵为
试研究各状态间的关系。
1
3
2
—
3
9•设马氏链，Xn,n-O.'的状态空间,9,12，其一步转移矩阵为
11。
1
22‘111
R=——一
|244
L12
0__-33一
试研究各状态间的关系，并画出状态传递图。
1
2
1
2
1
4
0
00
00
11
88
01
试研究各状态间的关系，并画出状态传递图。
11•设马氏链｛Xn,n_0｝的状态空间I二｛0,1,2｝,其一步转移矩阵为
试问此链是否具有遍历性，若有，则求其平稳分布。
12•天气预报问题若明天是否有雨仅与今天天气有关，与过去无关。
并设今日有雨、明
日也有雨的概率为:
，今日无雨、明日也有雨的概率为'。
试求：
（1）一步转移矩阵；
（2）
今日有雨且第4日仍有雨的概率（设〉=°.7,-=0・4）.。
13•考虑一个通信系统，它通过几个阶段传送数字0和1，设在每一阶段被下一阶段接受的
数字仍与者阶段相同的转移概率为0.75.且记第n阶段接受的数Xn，试求进入第1阶段的
数字是0，而且第5阶段被接受到的也是0的概率。
按损害的程度分为5种状态：
无损害称为
3，严重损害称为状态4，全部倒塌称为状
14.设建筑物受到地震的损害程度为齐次马氏链，状态1,轻微损害称为状态2，中等损害称为状态态5。
设一步转移概率为
-
0.8
0.2
0
0
01
0
0.5
0.4
0.1
0
R=
0
0
0.4
0.5
0.1
0
0
0
0.2
0.8
0
0
0
0
1一
又设初始分布为
Po
（1）=1,po
（2）=O,po（3）=0,po⑷=0,Po（5）=0试求接连发生二次地震时，该建筑物出现各种状态的概率是多少?
15•设某河流每日的BOD（生物耗氧量）浓度为齐次马氏链{Xn,n—1}，状态空间
1={1,2,,4}是按BOD浓度极低、低、中、高分别表示为1,2,3,4,其转移矩阵为（以
天为单位）
-
「0.5
0.4
0.1
01
D一
0.2
0..5
0.2
0.1
p-
0.05
0.25
0.6
0.1
■
0
0.2
0.4
0.4一
如果BOD浓度高，则称河流处于污染状态。
（1）说明此马氏链为不可约非周期正常返链;
（2）求此链的平稳分布；
11
1
3
0
1
2
0
1=｛1,2,3,4,5｝，其一步转移矩阵为
试对其状态分类。
0
0.5
0.5
0
01
0
0
0
0.2
0.8
R=
0
0
0
0.4
0.6
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0一
试研究各状态的类及周期性。
17.设马氏链的状态空间
'0.50.50、R=0.50.50
<00b
试研究各状态的类，并讨论各状态的遍历性。
19.设马氏链的状态空间为1二｛1,2,3,4｝，其一步转移矩阵为
0
0
1
0
1
0
0
0
P1=
0.3
0.7
0
0
^0.6
0.2
0.2
0
试对各状态进行分类。
20.设‘X（t）,t_0』为一个时间连续的马氏链，其状态空间1二｛0,1｝。
假定X（t）在时间段t内改变一次状态（从一个值跳到另一个值）的概率为'：
t'。
（人t），未曾改变状态的概率为
。
（八t）。
试求时间t时的转移概率
1-'AoC：
t），而在这段时间内改变多于一次的概率为
习题四
试判断其连续性和可微
2
1.已知随机过程X（t）的自相关函数为RX（-）=-exp{-?
性。
tp
2.随机初相信号X（t）=Acos（「t+）,试中A和•■均为常数，已知mX（t）=O,
T
2[
RX（-）=Aco^'t/2,=t—s。
信号X（t）在时间T内的积分值为Y（T）=0X（t）dt,试求Y（T）的均值和方差。
2r2
3.讨论随机过程X（t）=At+Bt+C,（其中A,B,C独立同分布且服从N（0,、））的均方连续
1t
X（s）ds的均值函数和相关函数。
性、均方可微性和均方可积性。
并求X/（t）,Y（t）=t
22
4.讨论随机过程X（t）,（其中X（t）的均值为0，相关函数R（s,t）=1/[a+（s—t）]）的均方连续
性、均方可微性
1t
和均方可积性。
并求X/（t）,Y（t）=t0X（s）ds的均值函数和相关函数。
习题五
1.设Z（t）=Xsint+Ycost,其中X,Y是相互独立同分布的随机变量，其分布列为
爻、Y.、
-1
2
p
2/3
1/3
证明Z（t）是宽平稳过程。
2•设X（t）=Acos「t-Bsin^t，其中「是常数，A,B是相互独立，且都服从正态分布
N（0f2）的随机变量，试证明Z（t）是平稳过程。
3•设随机过程X（t）=cost，其中「是在0,2二上均匀分布的随机变量，试证
（1）Xn=X（n）=cos,n=0,一1,_2，…是一个平稳序列。
（2）X（t）,，不是一个平稳过程。
4•设随机过程X（t）=f（t•；）其中f（t）是周期为T的波形，；在区间内为均匀分布的随机变量，证明X（t）是平稳过程。
5•设随机过程X（t）由下列三个样本函数组成，且等概率发生，
X（t,e-i）=1，X（t,e2sint，X（t,e3cost
问：
（1）计算均值mx（t）和自相关函数Rx（t1,t2）；
（2）该随机过程X（t）是否平稳。
6•设随机过程X（t）=Asin（2兀％t+62）其中A为常数，91和62为相互独立的随机变量。
01的
概率密度为偶函数，62在L.二二1内均匀分布。
证明：
（1）X（t）为平稳过程；
（2）X（t）是均值遍历的
（3）
习题六
时，Xn'关于Yn'是下鞅；当「：
：
0时，'Xn，关于；Yn'是上鞅。
:
Xn;关于"丫;是鞅。
2.设{Yn}（n=°，1,2，…）表示生灭过程各代的个体数，且丫0，任意一个个体生育后代
的分布为均值”，证明Xn="」Yn是一个关于%'的鞅。
1
XX…P（Xi=1）=P（Xi=—1）=—
4.（公平博弈的问题）设X1，X2，独立同分布，分布函数为2，
于是，可以将Xi看作一个投硬币的游戏的结果：
如果出现正面就赢1元，出现反面则输1
元：
假设我们按以下的规则来赌博，每次投硬币之前的赌注都比上一次翻一倍，直到赢了赌博即停，令Wn表示第n次赌博后所输（或赢）的总钱数，Wo=0，则Wn是关于Xl，X2，…Xn的鞅。
5.设B（t）是布朗运动，则
2
（1）B（t）-t是鞅；
2
exp{uB（t）-中}
（2）对任何的实数u,2是鞅。
习题七
1.通常假设股票价格服从马尔科夫过程，是什么含义?
2.假设某股票的价格变化遵循维那过程，其初始价值为20元，估算的时间为一年。
在一
年结束时，若资产价值按正态分布，其期望值为10,标准差为1,那么在两年期结束时,资产价值的期望值和标准差是多少？
3.假定有一支股票价格S遵循一般维那过程，即dS=^dr-dW,在第一年中，=2，二
=3，若股票价格的初始值为30，则在第二年末股票价格的分布概率为多少?
4.考虑一种无红利支付的股票，假定价格S遵循过程：
△S二\.：
t
其中每年预期收益率为■'-0.1（以连续复利计），漂移率为--0.3，若初始值为S=20元,
试分别解释当时间间隔为一周、一月和一季度时，股票的价格变化规律？
习题八
0B2（S）dB（s）8B3（t）-.0B（s）ds,k_2
并求出EB4（t）,，EB6（t「的值。
4.设B（t）是标准布朗运动，It=1（B（u）,0岂U乞t），利用伊托公式证明下列随机过程是关
于It的连续鞅。
t
（1）X（t）=e2cosB（t）；
t
（2）X（t）二e^sinB（t）
习题九
1.若某种股票的初始价格为30美元，年预期收益为15%，年波动性为25%，问在六个月
后，该股票价格的概率分布是什么？
并判断在置信度为95%时股票价格的变化范围。
2.假设某种股票当前的价格为15元，每年的预期收益率为12%，每年的波动率为20%，
则在一年后股票价格的均值和方差是多少？
3.假设有一股票，其期望收益率为16%，波动性为30%，某天其股票价格为40元，计算
如下问题：
（1）预期下一天的股票价格为多少？
（2）下一天该股票的标准差为多少？
（3）下一天该股票95%的置信度区间为多少？
4.股票A和股票B均符合几何布朗运动，在任何短时间内二者的变化是不想关的，问由一股股票A和一股股票B构成的证券组合的价值是否也遵循几何布朗运动？
请解释原因。
5.若某种股票价格S遵循几何布朗运动，其期望收益率为，波动率为二，即
dS=JSdt+匚SdW则变量“S”也遵循几何布朗运动
习题十
1.求无红利支付股票的欧式看涨期权的价格。
其中股票的价格为52元，执行价格为50元,
无风险利率是5%，年波动率为30%,到期日为3个月。
2．求无红利支付股票的欧式看跌期权的价格，其中股票的价格为69元，执行价格为70元，无风险利率是5%，年波动率为35%，到期日为9个月。
3．假定某种股票期权的有效期尚剩六个月，此时股票价格为22元，股票期权的协定价格
是20元，无风险利率是5%，每年的易变性是20%。
4．求无红利支付股票的欧式看涨期权和看跌期权的价值。
无红利支付股票的期权，股票的价格为30元，执行价格为29元，无风险利率是5%，年波动率为25%，到期日为4个月。
问：
（1）如果是一个欧式看涨期权，计算其价格;
（2）如果这是一个欧式看跌期权，
计算其价格。
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